对坐标曲线积分

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1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,ABLxy求移常力沿直线所作的功动过程中变力所作的功W.ABF),(,),(),(yxQyxPyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 1kMkMABxy1)“大化大化小小”

2、.2)“常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替,),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的概念,0.),(,).,;,

3、2,1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲

4、线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第第二二类类曲曲线线积积分分存存在在上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中.LdsF4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10

5、iiiniixPdxzyxP .RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 3.性质性质(2)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(3)用L 表示 L 的反向弧,则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则机动 目录 上页 下页 返回 结束（1）线性性质线性性质三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续

6、导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos，taysin，2,0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？特殊情形特殊情形.)(:

7、)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为.)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为.),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则.,)()()(:)3(终终点点起起点点推推广广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(例例1.)1,1()1,1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解 OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10

8、232dxx.54 xy 2)1,1(A)1,1(B ABLxydxxydx 1122)(dyyyy 1142dyy.54 xy 2)1,1(A)1,1(B.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1(ayaxL，变到变到从从 0)0,(aA)0,(aB 0原式原式 daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB .343a ,0:)2(yL，变到变到从从aax aadx0原原式式.0 03a)

9、(cos)cos1(2 d 例例3).1,1(),0,1()0,0(,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0,1(A)1,1(B解解 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式,上

10、上在在 OA,10,0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上上在在 AB,10,1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB.1 10 原原式式.1)0,1(A)1,1(Bozyx例例4.求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(costt d)cos41(220)sin)(cos2(tt 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设在力场作用下,质点由沿移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(AB解

11、解:(1)zzyxxydddttkR2022d)(2)的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中为),(zxyFsFWdsFWd机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(,)(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(

12、0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd,),(RQPA)d,d,(ddzyxs)cos,cos,(cost sA d sA dstAd记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0,2()0,0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddco

13、s,22xxsyddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.设,max22QPM曲线段 L 的长度为s,证明),(,),(yxQyxP续,sMyQxPLdd在L上连 1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对

14、坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(,)(),(tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcos

15、coscos)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd 对空间有向光滑弧:机动 目录 上页 下页 返回 结束 F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到,),0(bB),(yxMxyo)0,(aA),0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解见 P139 例5),),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.),(yxkFF),(xyk思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机

16、动 目录 上页 下页 返回 结束)0,0,1(A)0,1,0(B)1,0,0(Coxyz2.已知为折线 ABCOA(如图),计算zyyxIddd提示提示:I001d)1(yy10dx2)211(12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P141 3 (2),(4),(6),(7);4;5;7;8第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.解解:zxoyABzk222zyxkzjyi xzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz)10:(t101d3ttk2ln3k)1,2,2(A线

17、移动到,)2,4,4(B向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r)1,2,2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设曲线C为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0,0(的交线az从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解:(1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)原式=ta38sin3tttadcos)cos1(2283令tu20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1(2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223机动 目录 上页 下页 返回 结束