解析几何全册课件

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1、解析几何课件(第四版)第四章第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第一章第一章 向量与坐标向量与坐标第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 向量的概念向量的概念1.3 数量乘向量数量乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影 1.5 标架与坐标标架与坐标1.7 两向量的数量积两向量的数量积1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量的向量积两向量的向

2、量积第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程 2.2 曲面的方程曲面的方程2.3 空间曲线的方程空间曲线的方程第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 平面的方程平面的方程3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置3.4 空间直线的方程空间直线的方程3.7 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置3.6 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置第四章第四章 柱面锥面旋转曲面柱面锥面旋转曲面 与二次曲面与二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋转曲面旋转曲面4.2 锥面

3、锥面 4.4 椭球面椭球面 4.5 双曲面双曲面 4.6 抛物面抛物面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化简与分类 5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称矢，或称矢量量.向量向量既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量的几何表示

4、：向量的几何表示：|a21MM|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.a21MM或或两类量两类量:数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示向量向量的方向的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示向量向量的大小的大小,1M2M a1.1 1.1 向量的概念向量的概念返回下一页所有的零向量都相等所有的零向量都相等.ab模为模为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模为模为0 0的向量的向量.0单位向量：单位向量：定义定义1.1.21.1.2 如果两个向

5、量的模相等且方向相同，那么叫做如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量相等向量.记为记为ba 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量反向量.向BAAB量互为反与a向a 量记为的反a a上一页下一页返回0a零向量与任何共线的向量组共线零向量与任何共线的向量组共线.定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做共线向量共线向量.定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组向量叫做平行于同一平面的一组向量叫做共面向量共面向量.零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共

6、面.上一页返回abOAB这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则.OBOA、OBOAOC 定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边组成一个平行四边形为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量那么对角线向量 bacba,cOBBOOABbABaOAOba1.2.1 的和，记做与叫做两矢量的矢量到另一端点，从折线的端点得一折线，接连作矢量为始点，以空间任意一点、设已知矢量定义1.2 1.2 向量的加法向量的加法下一页返回OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律

7、：.abba （2 2）结合律：）结合律：cbacba )().(cba （3）.0)(aa上一页下一页返回法则推广法则推广求和求和相加可由矢量的三角形相加可由矢量的三角形有限个矢量有限个矢量naaa,21.,12112121122111nnnnnnnnAAAAOAOAaaanaOAAAOAaAAaAAaOAO 的的和和，即即个个矢矢量量就就是是于于是是矢矢量量由由此此得得一一折折线线开开始始，依依次次引引自自任任意意点点OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回abcba cba 1a2ananaaa 21向量减法向量减法)(baba abb b cbaba

8、c )(ba ba ab.2.2.1bacbacacbacb 的的差差，并并记记做做与与叫叫做做矢矢量量时时，我我们们把把矢矢量量，即即的的和和等等于于矢矢量量与与矢矢量量当当矢矢量量定定义义上一页下一页返回1,.a bc 例设互不共线的三矢量与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零矢量,0,0a b cABCABaBCb CAcABBC CA AAabc 证 必要性 设三矢量，可以构成三角形，即有，那么即0,0,.abcABa BCbACabACccACc CAa b cABC 充分性 设，作那么所以从而 是的反矢量，因此，所以，可构成一个三角形ABC上一页

9、返回例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab,0)1(a 与与a同同向向，|aa ,0)2(0 a,0)3(a 与与a反反向向，|aa aa2a21 1.3.1,00.aaaaaaa定义实数 与矢量 的乘积是一个矢量，记做它的模是；的方向，当时与 相同，当时与相反我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘1.3 1.3 数乘向量数乘向量下一页返回对于非零向量 总可以作出一个和它同方向的单

10、位向量 01,|aaa0|aa aa0a定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)(（2 2）第一分配律：）第一分配律：aaa )(baba )(（3 3）第二分配律：）第二分配律：上一页下一页返回0.ababa设向量，那么向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使定定理理两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且

11、aab.b.的唯一性的唯一性，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)(a ，即即0 a ，0 a，故故0 .即即上一页下一页返回0 a b当或除这些情况外，现分别按下面两种情况证明中有一个为零向量时，显然成立，1)baba )(2)ab,baba|ba|ba()()(1)abaaaaaaaab和平行可以找到数使得这只需按与同向或相反，取或abOAB11,OAB和不平行如图，是以向量为边的三角形，按相似比为可得出相似且3)a b111,OAOAABA Baabb 1.OBOB 1,OBOBabab ().abab由相似三角形对应边成比例的关系，可以得出而故例例1 1设设AM是三

12、角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 1()2AMABAC 如图如图 因为,AMABBM AMACCM 2()(),AMABACBMCM 所以 但 0,BMCMBMMB 因而 2AMABAC 即 1()2AMABAC ABCM(图1.11)上一页下一页返回例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半等于第三边的一半.证证设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么，那么MNANAM 1122ACAB 1()2ACAB 12BC 所以所以/MNBC 且且12MNBC 上一页

13、返回例例3 3 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例4 4 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形四边形.证证:只要证只要证 HGEF 结论得证结论得证.ACDCADDGHDHG212121 ACBCABBFEBEF212121 HGEF ABCDEFGH.,1.4.12122112121的的线线性性组组合合叫叫做做矢矢量量所所组组成成的的矢矢量量与与数数量量由由矢矢量量定定义义nnnnnaaaaaaaaaa .,)14.1(01.4.1唯一确定唯一确定被

14、被并且系数并且系数，的线性组合，即的线性组合，即是是线性表示，或者说线性表示，或者说可以用矢量可以用矢量线的充要条件是线的充要条件是共共与矢量与矢量，那么矢量，那么矢量如果矢量如果矢量定理定理rexexrererere .共共线线矢矢量量的的基基底底称称为为用用线线性性组组合合来来表表示示这这时时e1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解下一页返回.,24.1,2.4.1212121212121唯一确定唯一确定被被并且系数并且系数）（的线性组合，即的线性组合，即可以分解成可以分解成或者说向量或者说向量线性表示，线性表示，可以用向量可以用向量共面的充要条件是共面的充要

15、条件是与与不共线，那么向量不共线，那么向量如果向量如果向量定理定理reeyxeyexreereereeree .,)34.1(,3.4.1321321321321321唯一确定唯一确定被被并且其中系数并且其中系数的线性组合，即的线性组合，即可以分解成向量可以分解成向量任意向量任意向量线性表示，或说空间线性表示，或说空间可以由向量可以由向量任意向量任意向量不共面，那么空间不共面，那么空间如果向量如果向量定理定理reeezyxezeyexreeereeereee .,21叫做平面上向量的基底叫做平面上向量的基底这时这时ee上一页下一页返回 例例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分证明四

16、面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,321叫做空间向量的基底叫做空间向量的基底这时这时eee.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD 上一页下一页返回),(211AFAEAP 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以

17、有 又因为又因为AF1是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有),(21)(2132eeADACAF ,21211eABAE 而而),(41)(2121213213211eeeeeeAP 从而得从而得)3,2(),(41321 ieeeAPi同同理理可可得得321APAPAP所所以以.,321三点重合，命题得证三点重合，命题得证从而知从而知PPP上一页下一页返回.,)44.1,0,)1(2.4.12122112121关的向量叫做线性无关关的向量叫做线性无关性相性相叫做线性相关，不是线叫做线性相关，不是线个向量个向量那么那么（使得使得个数个数在不全为零的在不全为零的，如果存，如果存个

18、向量个向量对于对于定义定义nnnnnaaanaaanaaann .0 aa 线性相关的充要条件为线性相关的充要条件为一个向量一个向量推论推论.线性相关线性相关量，那么这组向量必量，那么这组向量必一组向量如果含有零向一组向量如果含有零向推论推论.5.4.1相关相关那么这一组向量就线性那么这一组向量就线性分向量线性相关分向量线性相关如果一组向量中的一部如果一组向量中的一部定理定理.,24.4.121组合组合向量是其余向量的线性向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个充要条件是其中有一个线性相关的线性相关的时，向量时，向量在在定理定理naaan 上一页下一页返回.6.4.1是它们线性相关是它们线性相

19、关两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件定理定理上一页下一页返回.7.4.1件是它们线性相关件是它们线性相关三个向量共面的充要条三个向量共面的充要条定理定理.8.4.1线性相关线性相关空间任何四个向量总是空间任何四个向量总是定理定理例例6 6 设设 为两不共线向量，证明为两不共线向量，证明 ,a b bbaau11bbaav22共线的充要条件是共线的充要条件是 02121bbaa按照这个定理，要判别三向量只要判别是否存在不全为零的三个数使得是否共面，证证 共线 vu,vu,线性相关，即存在不全为0的实数,使 0vu即 0)()(2121bbbaaa又因为 不共线 ,a b,a b 线性无关

20、002121bbaa有唯一零解 02121bbaa上一页返回 1.5 标架与坐标标架与坐标 1.5 标架与坐标标架与坐标 1.5 标架与坐标标架与坐标x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 1、三个坐标轴的正方向符合、三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标下一页返回xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限2、坐标面与卦限坐标面与卦限 上一页下一页返回xyzo向径3、在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组),(zyx 1

21、1)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);rrM坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzoxyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),(zyxM xyzoijk以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.rOMr kzj yi xr 称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.rN.,kzORj yOQi xOP 设设NMPNOPOROQOP4 4、空间向量的坐标、空间向量的坐标 上一页下一页

22、返回显然，显然，MOMr kzj yi x ),(zyx向量的坐标向量的坐标：,zyx),(zyxr 记记为为.),(OMMzyx，又表示向量，又表示向量既表示点既表示点OMr 向径：向径：.,kzj yi x在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：r(点点M关于原点关于原点O)xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR),(zyxM rN上一页下一页返回5、利用坐标作向量的线性运算、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa )

23、,(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 上一页下一页返回解解),(111zzyyxxOAOMAM ),(222zzyyxxOMOBMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 1 1 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两为两已知点，而在已知点，而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为两部分为两部分AM、MB，使它们的值的比等，使它们的值的比等于某数于某数)1(，即，即 MBAM，求分点坐标，求分点坐标.ABMx

24、yzo6、线段的定比分点坐标、线段的定比分点坐标上一页下一页返回由题意知：由题意知：MBAM ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 上一页下一页返回定理定理1.5.4 已知两个非零向量7、其它相关定理、其它相关定理111,a x y z222,b xyz则则,a b 共线的充要条件是共线的充要条件是 111222xyzxyz定理定理1.5.6 已知三个非零向量

25、111,a x y z222,b xyz，则，则,a b c 共面的充要条件是共面的充要条件是 333,c xy z1112223330 xyzxyzxyz上一页返回空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影(Projection)u AA 过过点点A作作轴轴 u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影下一页返回空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uOMM 向量向量r在轴在轴 u上的投影上的投影.e.轴轴上上的的分分向向量量在在称称为为向向量量则则向向量量uOMrMO 为为则则称称设设 ,eMO uurr

26、j)(Pr或或记为记为上一页下一页返回e为单位向量关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos|AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos|AB u 由此定义，由此定义，则则设设),(zyxaaaa ,Prajaxx,Prajayy.Prajazz 上一页下一页返回定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；0)1(,2 2

27、)2(,)3(,2 上一页下一页返回关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和.PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a上一页下一页返回关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（3 3）ajajuuPrPr 上一页下一页返回 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影例例 1 1 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求向量，求向量pnma 34在在x轴轴上的投影及在上的投影及在y轴上的分向量轴上的

28、分向量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.上一页返回 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW(其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.FM1M2s 1.7 1.7 两向量的数性积两向量的数性积下一页返回ab,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbb

29、abPr|.Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积量的方向上的投影的乘积.向向量量a与与b的的数数量量积积记记为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义上一页下一页返回关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2(ba.ba)(,0 ba,0|a,0|b,0cos .ba.|)1(2aaa )(,ba ,0cos .0cos|baba,0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2,2 )0,0(ba上

30、一页下一页返回数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba ),()()(bababa 若若 、为数为数：).()()(baba （3 3）若）若 为数为数：上一页下一页返回 1.7 两向量的数性积两向量的数性积,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式上一页下一页返回xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)

31、,(zyxM rNOMr 由勾股定理由勾股定理OMr 222OROQOP.,kzORj yOQi xOP 由由,zORyOQxOP 有有222zyxr 向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式OROQOP向量的模与空间两点间距离公式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回xyzo),(222zyxB),(111zyxA),(111zyxA设设),(222zyxB为空间两点为空间两点.?ABdOAOBAB 由由),(),(111222zyxzyx ),(121212zzyyxx 212212212zzyyxxAB 空间两点间距离公式空间两点间距离公式ABd 上一页下一页返回解解设设P点坐标为点坐

32、标为),0,0,(x因因为为P在在x轴轴上上，1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x,22 x 1PP,22PP112 x222 x,1 x所求点为所求点为).0,0,1(),0,0,1(cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回解解ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,2

33、1 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 上一页下一页返回证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(上一页下一页返回空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：,0 a,0 bab),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.0()方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回非零向量非零向量 的的方向角方向角：r非

34、零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角.、,0 ,0 .0 xyzo M 上一页下一页返回由图分析可知由图分析可知 cos|rx cos|ry cos|rz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.),(zyxOMr 设设xyzo),(zyxM 上一页下一页返回0222 zyx当当 时，时，,cos222zyxx ,cos222zyxy .cos222zyxz 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0r|rr).cos,c

35、os,(cos 上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向量就是与的方向余弦为坐标的向量就是与 同方向的单同方向的单位向量位向量 rr rzryrx,上一页返回0r1.引例引例 设设O点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点,力力F作用于杠杆上作用于杠杆上点点P处处,求力求力 F对支点对支点O的力矩的力矩.根据物理学知识根据物理学知识,力力F对点对点 O的力矩是向量的力矩是向量M,其大其大小为小为|sinMdOP FF|sinF dFOP.其中其中d为支点为支点O到力到力F的作用线距的作用线距离离,为矢量为矢量F与与OP 的夹角的夹角.力矩力矩M的方向规定为：的方向规定为：OP,F,M依次

36、符合依次符合右手螺旋法则右手螺旋法则.O F d P 1.8 1.8 两向量的矢性积两向量的矢性积下一页返回因此因此,力矩力矩 M是一个与向量是一个与向量OP和向量和向量 F有关的有关的向量向量,其大小为其大小为|sinOPF,其方向满足：（其方向满足：（1 1）同时垂）同时垂直于向量直于向量OP和和 F；（；（2 2）向量）向量 OP,F,M依次符合右依次符合右手螺旋法则手螺旋法则.2 2 向量积的定义向量积的定义 定义定义2 2 两个向量两个向量a和和b的叉积（也称为向量积）的叉积（也称为向量积）是一个向量是一个向量,记作记作 a b,并由下述规则确定：并由下述规则确定：（1 1）sin(

37、,)a ba ba b （2 2）a b的方向规定为的方向规定为:注：注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于b,并且按顺序并且按顺序 ,a b a b符符 合右手螺旋法则合右手螺旋法则.b a c=a b 上一页下一页返回若把若把a,b的起点放在一起的起点放在一起,并以并以a,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形,则向量则向量a与与b叉积的模叉积的模 sina ba b 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积.（1 1）a bb a （反交换律）（反交换律）;（2 2）()abca ba c（左分配律）（左分配律）;（3 3）()bcab aca（右分配律）（右分配律）;（4

38、 4）000()bcab aca 向量向量积的运算规律：积的运算规律：a b a b 上一页下一页返回上一页返回例例 试证试证:0i ijjkkaa.证证 只证只证0aa，因为，因为 a与与a平行（即共线）平行（即共线）,所以其夹角所以其夹角0或或 ,从而从而sin0,因此因此|sin0aaaa,而模为而模为0的向量为零向量的向量为零向量,所以所以 0aa.定理定理 两个非零向量平行的充分必要条件是它们的两个非零向量平行的充分必要条件是它们的向向量量积为零向量积为零向量.上一页下一页返回定义定义cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx

39、 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式 1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积下一页返回（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面.0 cba上一页下一页返回解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为

40、为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 上一页下一页返回,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择保证结果为正式中正负号的选择保证结果为正.上一页返回 已已知知2 cba，计计算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba.4 例例1上一

41、页下一页返回水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：（1 1）曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),(zyxF就就叫叫做做曲曲面面 S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形 曲面的实例：曲面的实例：2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程下一页返回以下给出几

42、例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例 1 1 建立球心在点建立球心在点),(0000zyxM、半径为、半径为R的球面方程的球面方程.解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 上一页下一页返回得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 2202020Rzzyyxx 由由由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的

43、一般式方程为：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 （*）上一页下一页返回2220AxByCzDxyEyzFxzGxHyKzL0,0,ABCDEF2222220 xyzgxhykzl 222222()()()xgxhzkghkl2220ghkl 2220ghkl(,);ghk2220ghkl 反过来，对于三元二次方程 如果则可化为配方得 则当时，(3)式表示一个实球面；当时，(3)式表示一个点当时，(3)式无图形(3)习惯上，把上面的点称为点球，把无图形时称为虚球面，三种情形统称为球面因此有：球面的方程是一个三元二次方程，它的平方项系数相等，没有交叉项；反之，一个三元二次方程，如果它的平

44、方项系数相等，没有交叉项，那么它表示一个球面，例例 2 2 求与原点求与原点O及及)4,3,2(0M的距离之比为的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面方程的点的全体所组成的曲面方程.解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为上一页下一页返回例例 3 3 已知已知)3,2,1(A，)4,1,2(B，求线段，求线段AB的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222

45、321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程.07262 zyx解解上一页下一页返回zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在),2,1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法.上一页下一页返回以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲

46、面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程上一页返回 )()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一、空间曲线的参数方程2.3 2.3 空间曲线的方程空间曲线的方程下一页返回 0),(0),(zyxG

47、zyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，不在曲曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC二、空间曲线二、空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：2.3 2.3 空间曲线的方程空间曲线的方程下一页返回例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？632122zxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，632 zx表示平面，表示平面，632122zxyx交线为椭圆交线为椭圆.上一页下一页返回例例2 2 方程组方程组 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxa

48、z 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？上一页返回 动点从动点从A点出发，经过点出发，经过t时间，时间，运动到运动到M点点 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo上一页下一页返回螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上

49、升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 上一页返回几何上就是在一张长方形的纸上画一条斜线，然后把纸卷成圆柱面，该直线可形成圆柱螺旋线 解解xozyxozyyx22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面yx22 xy 抛物柱面抛物柱面方程：方程：平面方程：平面方程：),(zyxM)0,(1yxM 2.3 2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程下一页返回从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征：只只含含yx,而而缺缺 z的的方方程程0),(yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于 z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线 C:0

50、),(yxF.（其他类推）（其他类推）实实 例例12222byax椭圆柱面，椭圆柱面，z12222bzax双曲柱面双曲柱面，ypxy22抛物柱面，抛物柱面，z母线母线/轴轴母线母线/轴轴母线母线/轴轴上一页下一页返回12222 byaxabzxyo椭圆椭圆上一页下一页返回zxy=0y12222 bzaxo 双曲双曲上一页下一页返回pxy22 zxyo抛物抛物上一页返回xyzo0MM 如果一非零向量垂直于一平面，这如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的向量就叫做该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0

51、000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程3.1 3.1 平面的方程平面的方程下一页返回,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形程称为平面的方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx上一页下一页返回例例 1 1 求求过过三三点点)4,1,2(A

52、、)2,3,1(B和和)3,2,0(C的的平平面面方方程程.解解6,4,3 AB1,3,2 AC取取ACABn ,1,9,14 所求平面方程为所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得.015914 zyx上一页下一页返回例例 2 2 求求过过点点)1,1,1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1,1,11 n12,2,32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10,0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得.0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解上一页下一页返回由平面的点法式方程由平面的点法式方程0

53、)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示0 DCzByAx（A,B,C不同时为零）不同时为零）不妨设不妨设0 A，则，则 000 zCyBADxA，为一平面，为一平面.上一页下一页返回平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；,0)2(A ,0,0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x,0)3(BA平面平行于平面平行于 坐

54、标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0,0 CBCA0,0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程,0)4(DBA.,0面面即即有有xoyz 上一页下一页返回例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2,3,6(，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知,0 D由由平平面面过过点点)2,3,6(知知0236 CBA,2,1,4 n024 CBA,32CBA .0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解上一页下一页返回例例 4

55、4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0,0,(aP、)0,0(bQ、),0,0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c），求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为,0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 ,0,0,0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解上一页下一页返回,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距xyzoabc上一页下一页返回例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成

56、成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程.设平面为设平面为,1 czbyaxxyzo,1 V,12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解上一页下一页返回,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t,1,6,1 cba.666 zyx所求平面方程为所求平面方程为或或.666 zyx上一页返回 设设),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一点，求外一点，求0P

57、到平面的距离到平面的距离.),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P nnePPPPj 0101Pr,10101001zzyyxxPP 解解3.2 3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置下一页返回 222222222,CBACCBABCBAAen222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx nnePPPPj 0101Pr上一页下一页返回0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平

58、面距离公式上一页下一页返回间间的的距距离离.求求两两平平面面4363,121zyxyxz 例例,解解)363),121(21 ,n,n(.先先判判断断两两平平面面是是否否平平行行./31623121nn 在第一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），），.6373634130603222 )(d上一页返回定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111 DzCyBxA,0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 3.3 3.3 两平面的相关位

59、置两平面的相关位置下一页返回按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(;0212121 CCBBAA21)2(/.212121CCBBAA 上一页下一页返回例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.6

60、01arccos 上一页下一页返回)2(,1,1,21 n2,2,42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.上一页返回xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L（注：两平面不平行）（注：两平面不平行）一一、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程

61、3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程下一页返回xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的这个向量称为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms ,0000zzyyxxMM 二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式方程）（点向式方程）上一页下一页返回,:pzznyyxx,p,nm0000000 时时，方方程程仍仍然然写写为为为为零零时时，比比如如当当方方向向向向量量

62、的的某某个个坐坐标标注注,时时，方方程程也也仍仍然然写写为为标标为为零零时时，比比如如当当方方向向向向量量的的某某两两个个坐坐pzzyyxx,p,nm00000000 pzznyyxx0000线线此此时时理理解解为为二二平平面面的的交交(考考虑虑其其几几何何意意义义)理理解解为为交交线线 0000yyxx上一页下一页返回因此因此,所求直线方程为所求直线方程为 22121 zyx例例1 1 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与直又与直线线 垂直的直线方程垂直的直线方程.14213zyx 解解:设所求线的方向向量为设所求线的方向向量为,s已知平面的法向量

63、已知平面的法向量),1,4,3(n已知直线的方向向量已知直线的方向向量 ,1,4,11 s取取1sns 1411431kjisns 2,1,248,4,8 上一页下一页返回三、空间直线的参数式方程三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程pzznyymxx000 由由直线的对称式方程直线的对称式方程上一页下一页返回例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上

64、任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(上一页下一页返回因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3,1,4(对称式方程对称式方程,321041 zyx得参数方程得参数方程.3241 tztytx,321041tzyx 令令上一页下一页返回例例 3 3 一一直直线线过过点点)4,3,2(A，且且和和y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ),4,0,2(所求

65、直线方程所求直线方程.440322 zyx.44223 zxy或或上一页返回定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平称为直线与平面的夹角面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns,2),(ns 0.2 3.5 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置下一页返回222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm.2cos 2cossin上一页下一页返回

66、解解),2,1,1(n),2,1,2(s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角上一页下一页返回直线与平面的交点直线与平面的交点0000 xxyyzzLmnpAxByCzDLL设设直直线线：,平平面面：与与不不平平行行，求求 与与的的交交点点.：解解题题步步骤骤点点坐坐标标。的的参参数数方方程程，即即可可得得交交入入.代代Lt03,的的值值的的方方程程，求求得得.代代入入平平面面02tt的的参参数数方方程程：.写写出出L1ptzznt,yymt,xx 000上一页下一页返回分析分析:关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1.M.M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交,交点既在交点既在P P1 1上上,又在又在 L L上上,因此是因此是L L与与P P1 1的交点的交点.例例2 2 求过点求过点 M(-1,2,-3),且平行于平面且平行于平面 ,532131:zyxL,013