三角形四心的向量表示ppt课件

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1、三角形三角形“四心的向量表四心的向量表示示一、一、外心外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明外心定理证明外心定理证明证明:设设AB、BC的中垂线交于点的中垂线交于点O，那么有那么有OA=OB=OC，故故O也在也在AC的中垂线上，的中垂线上，由于由于O到三顶点的间隔相等，到三顶点的间隔相等，故点故点O是是ABC外接圆的圆心外接圆的圆心 因此称为外心因此称为外心OO点评：此题将平面向量模的定义与三角形外心点评：此题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等

2、相关知识巧妙结合。的定义及性质等相关知识巧妙结合。OABCOABC到到的三顶点间隔相等。的三顶点间隔相等。故故 是是解析：由向量模的定义知解析：由向量模的定义知的外心的外心，选，选B。ABC O是是的外心的外心OABCOAOBOC OABC假设假设 为为内一点，内一点，那么那么 是是 的的 A A内心内心 B B外心外心 C C垂心垂心 D D重心重心222OAOBOCOAOBOC ()()()OAOBABOBOCBCOCOA CA 0B 二、垂心二、垂心ABCABCABC三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。DEF证明证明:AD、BE

3、、CF为为ABC三条高，三条高，过点过点A、B、C分别作对边的平行线分别作对边的平行线 相交成相交成ABC，AD为为BC 的中垂线；同理的中垂线；同理BE、CF也分别为也分别为 AC、AB的中垂线，的中垂线，由外心定理，它们交于一点，由外心定理，它们交于一点，命题得证命题得证证明垂心定理证明垂心定理ABC例例1如图，如图，AD、BE、CF是是ABC的三条高，的三条高，求证：求证：AD、BE、CF相交于一点。相交于一点。ABCDEFH,BHAC CHAB ()0()()()0.()0h a bh a bh b ah b ah b a .AHBC 又又点点D在在AH的延伸线上，的延伸线上，AD、B

4、E、CF相交于一点相交于一点,ABa ACb AHh 令,BHh a CHh b BCb a 则证：设证：设BE、CF交于一点交于一点H，垂心垂心ABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 则证：设证：设例例2知知O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足:,.ABOC BCOA CAOB 求证：求证：222222|.OABCOBCAOCAB 化简：化简：222222:|.OABCOBCAOCAB 由题设222222()()()ac bba ccb a 同理：同理：,.BCOA CAOB ()0,AB OCbacb ca c 从而从而:c ba cb a

5、得.ABOC 垂心垂心ABC OAOCOCOBOBOA 1.O是是的垂心的垂心2.()|cos|cosABACABBACC 0,)是是ABC的边的边BC的高的高AD上的恣意向量，过垂心上的恣意向量，过垂心.12例例3 O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，动点动点 P 满足满足(),|cos|cosABACOPOAABBACC ()|cos|cos|cos|cosABACBC ABBC ACBCABBACCABBACC|cos()|cos|0|cos|cosBCABBBCACCBCBCABBACC ()|cos|cosABACBCABBAC

6、C ()|cos|cosABACABBACC ()|cos|cosABACOPOAABBACC 那么那么P的轨迹一定经过的轨迹一定经过ABC的的 _ 在在ABC的边的边BC的高的高AD上上.P的轨迹一定经过的轨迹一定经过ABC的垂心的垂心.所以，所以，时，时，解解:OCOBOBOA解解:例例4.2019全国全国点点O是是ABC所在平面上一点，所在平面上一点，假设假设 ，那么点那么点O是是ABC的的 A三个内角的角平分线的交点三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点三条中线的交点D三条高线的交点三条高线的交点OAOCOCOBOBOA0)(OCOA

7、OB0CAOBCAOB那么那么O在在CA边的高线上边的高线上,同理可得同理可得O在在CB边的高线上边的高线上.DOCBA 垂心垂心 5.(2019湖南湖南)P是是ABC所在平面上一点，假设所在平面上一点，假设 那么那么P是是ABC的的 A外心外心B内心内心C重心重心D垂心垂心,PA PBPB PCPC PA D设中线BE,CF交于点G,连结EF,则EF/BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.同理中线AD,BE交于G,连结DE,则:DE/AB,且EG:G B=DG:G A=DE:AB=1:2,故G(,证明同一法:)G 重合.三、重心三、重心ABCABCABC三角形三边中线交于一点，

8、这一点叫三角形的重心。三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。证明重心定理证明重心定理 E F D GABC 0OCOBOA 3.O是是的重心的重心14.()3PGPAPBPC GABC为为的重心的重心.1.(),0,)ABAC 是是BC边上的中线边上的中线AD上的恣意向量，过重心上的恣意向量，过重心.ABC1,2ADABAC ABC2.在在中，给出中，给出等于知等于知AD是是中中BC边的中线边的中线;1()3PGPAPBPC 例例1 P是是ABC所在平面内任一点所在平面内任一点.G是是ABC的重心的重心CGPCBGPBAGPAPG3()()PGAGBGCGPAPBPC 0GAGBGC

9、0,AGBGCG 证明证明:G是是ABC的重心的重心PCPBPAPG3)(31PCPBPAPG即即由此可得由此可得反之亦然证略反之亦然证略1()3OGOA OB OC 思索：思索：假设假设O为为ABC外心，外心，G是是ABC的重心，那么的重心，那么_.OGO为为ABC的内心、垂心呢？的内心、垂心呢？例例2证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍 A B C E F D G11,.22ACb CBaADAC CD ba EBEC CBb a 则证：设证：设A,G,D共线，共线，B,G,E共线共线,.AGAD EGEB 可设可设即

10、：即：AG=2GD 同理可得：同理可得：AG=2GD,CG=2GF 11(),2211().22AGADbabaEGEBbaba 则,AE EGAG ADAG32313202121021111:().222bbaba即111()()0.,222aba b 不平行,重心重心例例2证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍证明：三角形重心与顶点的间隔等于它到对边中点间隔的两倍另证另证:连结EF,则EF为 ABC的中位线,EF/BC,且EF:BC=1:2,由平行线分线段成比例得 FG:GC=1:2,同样可得 EG:GB=1:2,DG:GA=1:2.A B C E F D G 重心重心想想

11、看？想想看？四、内心四、内心ABCABCABCABCABC三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明内心定理证明内心定理证明证明:设设AA、CC的平分线相交于的平分线相交于I,I,过过I I作作IDBCIDBC，IEACIEAC，IFAB IFAB，那么有，那么有IE=IF=IDIE=IF=ID 因此因此I I也在也在CC的平分线上，的平分线上，即三角形三内角平分线即三角形三内角平分线 交于一点交于一点I II I E F D1.设设a,b,c是三角形的三条边长，是三角形的三条边长，O是三角形是三角形AB

12、C内心的内心的 充要条件是充要条件是0OCcOBbOAa|0BC OACA OBAB OC ACBO Oa ab bc c2019天津文科高考题A AB BA AC CO OP P=O OA A+(+),0 0,+).|A AB B|A AC C|2.O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，动点动点P满足满足 那么那么P的轨迹一定经过的轨迹一定经过ABC的的 A外心外心 B内心内心 C重心重心 D垂心垂心B 内心内心(),|ABACRABAC 是是BAC的角平分线上的恣意向量，过内心；的角平分线上的恣意向量，过内心；3.2019陕西知非零向量

13、陕西知非零向量 与与 满足满足 那么那么ABC为为 A三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形 B直角三角形直角三角形 C等腰非等边三角形等腰非等边三角形 D等边三角形等边三角形AB AC1()0,2|ABACABACBCABACABAC 且解法一：根据四个选择项的特点，此题可采用验证法来处置解法一：根据四个选择项的特点，此题可采用验证法来处置.无妨先验证等边三角形，刚好适宜题意，那么可同时无妨先验证等边三角形，刚好适宜题意，那么可同时 排除其他三个选择项，故答案必选排除其他三个选择项，故答案必选 D.D 解法二：由于解法二：由于 所在直线穿过所在直线穿过ABCABC的内心，的内心，那么由那么

14、由 (等腰三角形的三线合一定理等腰三角形的三线合一定理)；又；又 ，所以所以 ,即即ABCABC为等边三角形，故答案选为等边三角形，故答案选D.D.3A|ABACABAC ()0|ABACBCABACABAC 知|=|12|ABACABAC 注注:等边三角形等边三角形(即正三角形即正三角形)的的“外心、垂心、外心、垂心、重心、内心、中心重心、内心、中心 五心合一！五心合一！法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,是处置此题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向是处置此题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个量表达式与三角形某个“心的关系

15、，如心的关系，如 所在所在直线一定经过直线一定经过ABC的内心的内心;所在所在直线过直线过BC边的中点，从而一定经过边的中点，从而一定经过ABC的重心；的重心；所在直线一定经过所在直线一定经过ABC的垂心等的垂心等.|ABACABAC ABAC|cos|cosABACABBACC 【总结】【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式是用数量积给出的三角形面积公式;(2).那么是用向量坐标给出的三角形面积公式那么是用向量坐标给出的三角形面积公式.4.在在ABC中中:(1)假设假设CAa，CBb，求证，求证ABC的面积的面积 (2)假设假设CA(a1，a2)，CB(b1，b2)，求证：求证：AB

16、C的面积的面积 2221babaS122121babaS解解:22(1).cos(1cos)sinS2222211221122aba babababab222212121 12 21 22 11 22 1(2).|Saabbabababababab222211221122由(1)知:a ba b5.222 例如 图,在ABC内 求 一 点 P,使 得:|AP|+|BP|+|CP|的 值 最 小.ABC P222222222.|()()23()()3APBPCPb 设AP=m,AB=a,AC=b,则BP=m-a,CP=m-bmmambamaba b3解:b222a当 m=时,即 P 为A B C

17、 的 重 心 时,3|A P|+|B P|+|C P|的 值 最 小.费 尔 马 点(即 正 等 角 中 心-当|A P|+|B P|+-P 对 三扩 展:顶 点 A|C P,B,|的 值 最 小 时,点C 的 张 角 均 为 1 2P 是A B C0的).ABC230,OAOBOC 思索思索:如图，设点如图，设点O在在内部，且有内部，且有那么那么 ABCAOC的面积与的面积与的面积的比为的面积的比为_(2019年全国奥赛题年全国奥赛题)3作作AC、BC边上的中点边上的中点E、D，2(1)(1)2(2)2(2)232(2)0.|,2,22 1122233 43COECODAOCCOECDEAB

18、COBOCODOA OCOEOAOBOCODOEOD OEODOE SSSSSSS 与共线且2|ABC解解1:DEABC OOCBA作作AC边上的中点边上的中点E，2,6332()2,3,|3.|ABCAOCOEOA OCOEOAOCOA OBBAOEBASBASOE 解解2:ABC230,OAOBOC 思索思索:如图，设点如图，设点O在在内部，且有内部，且有那么那么 ABCAOC的面积与的面积与的面积的比为的面积的比为_(2019年全国奥赛题年全国奥赛题)3EOCBA如图，延伸如图，延伸OB至至D，使，使OB=BD；解解3:ABC230,OAOBOC 思索思索:如图，设点如图，设点O在在内部，且有内部，且有那么那么 ABCAOC的面积与的面积与的面积的比为的面积的比为_(2019年全国奥赛题年全国奥赛题)3ED延伸延伸OC至至E，使，使CE=2OC.那么那么:2OB=OD,3OC=OE.230,0,OAOBOCOAODOE .OADE点是的重心11,391111,96183:3:1AOCAOEADEABCADEADEADEADEABCAOCSSSSSSSSSS