固体物理学第三章ppt课件

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1、第三章第三章 晶体振动和晶体的热学性质晶体振动和晶体的热学性质l材料的热学性能材料的热学性能?l材料的热学性能主要有热容、热膨胀、材料的热学性能主要有热容、热膨胀、热传导、热稳定性等。热传导、热稳定性等。l有什么用？有什么用？l为选材、用材、改善材料热学性能、探为选材、用材、改善材料热学性能、探索新材料和新工艺等打下物理理论基础。索新材料和新工艺等打下物理理论基础。l材料的热学性能和材料中什么东西有联材料的热学性能和材料中什么东西有联系？系？l原子振动，电子运动原子振动，电子运动 分子、原子都在不停地运动。气体、固体、分子、原子都在不停地运动。气体、固体、液体的分子原子的运动形式不同。液体的分

2、子原子的运动形式不同。晶体中的分子原子在其平衡位置做振动。晶体中的分子原子在其平衡位置做振动。由于热运动，各原子离开了它们的平衡位置，由于热运动，各原子离开了它们的平衡位置，由于原子间的相互作用，有回到平衡位置的趋势。由于原子间的相互作用，有回到平衡位置的趋势。这两个矛盾相互作用的结果，使每个原子在平衡这两个矛盾相互作用的结果，使每个原子在平衡位置附近作微振动。位置附近作微振动。原子间的相互作用使晶体中各个原子间的运动原子间的相互作用使晶体中各个原子间的运动是相互耦合的、相互有关系的。晶格系统可以看是相互耦合的、相互有关系的。晶格系统可以看成是一个相互耦合的振动系统，这种运动称为：成是一个相互

3、耦合的振动系统，这种运动称为：晶格振动晶格振动(Lattice Vibrations)或晶体振动或晶体振动Crystal Vibrations）晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波格波格波的研究：格波的研究：先计算原子之间的相互作用力先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程方程 晶格振动的近似处理方法：晶格振动的近似处理方法：绝热近似绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响。的常量势场来描述电子对离子运动的影响。简谐近似简谐

4、近似晶体的两原子间的平衡间距为晶体的两原子间的平衡间距为r0r0，原子振动时，间距变化量为，原子振动时，间距变化量为，则相，则相互作用能为：互作用能为：周期边界条件周期边界条件20222022000)(21)(21)()()(rrrdruddruddrdururu)(22druddrduf22drud2/2/2NhNllNaq为整数且设原子链为一维，那么：原子间距为设原子链为一维，那么：原子间距为a;a;第第n n个原子的平衡位置为个原子的平衡位置为rn=narn=na第第n n个原子离开平衡位置的位移为个原子离开平衡位置的位移为xnxnl原子间发生相对位移原子间发生相对位移(=xn-xn-1

5、)后，两原子间的后，两原子间的互作用势能因原子微振动而由平衡时的互作用势能因原子微振动而由平衡时的U(a)变为变为U(a+)。l因为是微振动，因为是微振动，很小，所以将很小，所以将U(r)在平衡点在平衡点a附近，附近，按泰勒级数展开，得：按泰勒级数展开，得：l简谐项：简谐项：l非简谐项：非简谐项：222)(!21)()()(aadrUddrdUaUrUnannadrUdndrUd)(!1.)(!31333简谐近似简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。222)(!21)()()(aadrUddrdUaUrU222)(21)()(adrUdaUrU两

6、原子间相互作用力两原子间相互作用力F为：为：原子做简谐振动时，可以用量子力学中谐振子的原子做简谐振动时，可以用量子力学中谐振子的简谐运动描述其振动特性简谐运动描述其振动特性222)(21)()(adrUdaUrUdrdUdrrdUF)()(adrUd)(22简谐振动的动力学基本特征：力与平衡位置简谐振动的动力学基本特征：力与平衡位置的位移大小成正比、方向相反。的位移大小成正比、方向相反。只考虑最邻近原子的相互作用，对第只考虑最邻近原子的相互作用，对第n个原子，个原子，考虑考虑n-1,n+1原子对它的作用，它的简谐振动的运动原子对它的作用，它的简谐振动的运动方程可写成：方程可写成：)2()()(

7、111122nnnnnnnnxxxxxxxdtxdmNn,.2,1Fma一个质点的振动会影一个质点的振动会影响到其他质点振动响到其他质点振动 设方程组的解是一振幅为设方程组的解是一振幅为A，角频率为，角频率为的简的简谐振动谐振动：2sin221qamqnatinAex把它代入到运动方程组中，可得振动频率把它代入到运动方程组中，可得振动频率和和波矢波矢q之间的关系式之间的关系式:即与即与n n无关，表明无关，表明N N 个联立方程都归结为同一个方程。个联立方程都归结为同一个方程。l方程组解的意义：方程组解的意义：l晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位

8、相关系，也即在晶格中存在着角频率定的位相关系，也即在晶格中存在着角频率为为的平面波，这种波称为格波。的平面波，这种波称为格波。l一个格波解表示所有原子同时做频率为一个格波解表示所有原子同时做频率为的的振动，不同原子之间有位相差。振动，不同原子之间有位相差。l此波的波长此波的波长=2/qqnatinAex3.1.2 格波频率与波矢关系格波频率与波矢关系色散关系色散关系与与q q的这种函数关系称为色散关系或色散曲线。的这种函数关系称为色散关系或色散曲线。2sin221qam格波的传播速度：格波的传播速度：qvp格波传播速度是波长格波传播速度是波长的函数，波长不同的格波传播速的函数，波长不同的格波传

9、播速度不同，这与可见光通过三角棱镜的情况相似，不同度不同，这与可见光通过三角棱镜的情况相似，不同波长的光，在棱镜中的传播速度不同，折射角就不同，波长的光，在棱镜中的传播速度不同，折射角就不同，从而导致色散。所以称从而导致色散。所以称与与q的这种关系为色散关系。的这种关系为色散关系。因为：因为：即即qa改变改变2的整数倍，原子的振动是一样的。的整数倍，原子的振动是一样的。这样，这样，q的取值范围只需要控制在的取值范围只需要控制在/a之间即可。之间即可。这个区间称为第一布里渊区。这个区间称为第一布里渊区。小结：格波是晶体中所有原子共同参与的一种频率小结：格波是晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的

10、振动，不同原子间有振动位相差，这种振动相同的振动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播。以波的形式在整个晶体中传播。色散关系的上述二个性质对更为复杂的晶格色散关系的上述二个性质对更为复杂的晶格振动也是适用的。振动也是适用的。它们实际上与晶格振动系统的对称性有关，它们实际上与晶格振动系统的对称性有关，前者涉及时间反演对称性，后者与晶格的周期结前者涉及时间反演对称性，后者与晶格的周期结构有关。构有关。由于色散关系的周期性，可以把它约化到第由于色散关系的周期性，可以把它约化到第一或简约布里渊区中来表示。一或简约布里渊区中来表示。此时频率与波矢为线性关系。相速度与群速度相等，为此

11、时频率与波矢为线性关系。相速度与群速度相等，为与波矢无关的常数。与波矢无关的常数。由于由于q q取小值属于长波振动模，故上述线性关系为长波近取小值属于长波振动模，故上述线性关系为长波近似时的结果。似时的结果。由于长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格就由于长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格就象一个连续介质。象一个连续介质。在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，它是在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，它是与波矢无关的常数。与波矢无关的常数。故单原子链中传播的长波近似下的格波叫声学波。故单原子链中传播的长波近似下的格波叫声学波。q=0波长无穷大，整个晶格象刚体一样作整体运

12、动，波长无穷大，整个晶格象刚体一样作整体运动，原子间没有相对位移，因而恢复力为原子间没有相对位移，因而恢复力为0，=0。q=/a时时,=2a，邻近原子反向运动，邻近原子反向运动(位相相反位相相反)，所以，恢复力和频率取极大值。所以，恢复力和频率取极大值。3.1.4 周期边界条件周期边界条件对长度有限的原子链，必须考虑边界条件。对长度有限的原子链，必须考虑边界条件。玻恩玻恩-卡曼卡曼Born-Von Karman提出了周期边提出了周期边界条件：由界条件：由N个原子组成一个环状链个原子组成一个环状链原原子数目有限，但各原子完全等价。第子数目有限，但各原子完全等价。第j个原个原子的运动与第子的运动与

13、第mN+j个原子的运动情况完全个原子的运动情况完全一样。一样。一维链的一维链的Born-Von Karman条件：条件：在在Born Von Karman条件下，第一个原子与第条件下，第一个原子与第N+1个原子的运动状态一样：个原子的运动状态一样：因而：因而：n为整数。表明描述有限晶格振动状态的波矢为整数。表明描述有限晶格振动状态的波矢q不不能连续取值，只能取一些分立的值。能连续取值，只能取一些分立的值。对一维布拉维晶格，对一维布拉维晶格，对一维单原子链组成的布拉维晶格：对一维单原子链组成的布拉维晶格：n的取值只的取值只能取从能取从-N/2到到N/2包括包括0在内的在内的N个整数值。个整数值。

14、q也只能也只能取取N个不同的值。个不同的值。q的取值数目恰好等于晶体中原胞的数目。的取值数目恰好等于晶体中原胞的数目。每个每个q对应一个格波，对应一个格波，N为一维单原子链的自由度为一维单原子链的自由度数，表明已经得到了全部振动模。数，表明已经得到了全部振动模。3.2 一维双原子链一维双原子链 许多晶体的原胞里含有的原子数多于一个。许多晶体的原胞里含有的原子数多于一个。为了表示复式格子的晶格振动特性，考虑由为了表示复式格子的晶格振动特性，考虑由两个不同原子组成的一维双原子链：两个不同原子组成的一维双原子链：红色原子质量红色原子质量M M，绿色原子质量，绿色原子质量m m对绿色原子：对绿色原子：

15、对红色原子：对红色原子：当原子链包含当原子链包含N N个原胞即有个原胞即有N N个绿色原子和个绿色原子和N N个红色原子共个红色原子共2N2N个原子时，应有个原子时，应有2N2N个方程组成个方程组成的联立方程组。的联立方程组。令方程有解：令方程有解：代入：代入：同理：同理：同样与同样与n无关，表明无关，表明2N 个联立方程都归结为同一个方程。个联立方程都归结为同一个方程。整理后改写为：整理后改写为：齐次方程组有非零解的条件是：齐次方程组有非零解的条件是：一维双原子链的色散关系：一维双原子链的色散关系：l长光学支格波与长声学支格波的本质差别：长光学支格波与长声学支格波的本质差别：l 长光学支格波

16、的特征是每个原胞内的不同原子长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动做相对振动,振动频率较高振动频率较高,它包含了晶格振动频它包含了晶格振动频率最高的振动模式率最高的振动模式.。l 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移相对位移,原胞做整体运动原胞做整体运动,振动频率较低振动频率较低,它包含它包含了晶格振动频率最低的振动模式了晶格振动频率最低的振动模式,波速是一常数。波速是一常数。它代表原胞质心的振动。它代表原胞质心的振动。l 任何晶体都存在声学支格波任何晶体都存在声学支格波,但简单晶格但简单晶格(非复非复式格子式格子)晶体不存在光学

17、支格波晶体不存在光学支格波.由格波解：由格波解：可知：相邻原胞之间的位相差为可知：相邻原胞之间的位相差为2qa(2qa(原胞长度为原胞长度为2a)2a)如果把如果把2qa2qa改变改变22倍，则原子的运动状态没有改变：倍，则原子的运动状态没有改变：即一维双原子链的布里渊区。即一维双原子链的布里渊区。仍然采用周期性边界条件：仍然采用周期性边界条件：又因为：又因为：即即n n共有共有N N个不同的取值：个不同的取值：由由N N个原胞共含个原胞共含2N2N个原子组成的的一维双原个原子组成的的一维双原子链，子链，q q可以取可以取N N个不同的值，每个个不同的值，每个q q对应两个解。对应两个解。一共

18、一共2N2N个不同的格波，数目正好等于链的自由度，个不同的格波，数目正好等于链的自由度，得到了链全部的振动模式。得到了链全部的振动模式。三、三、晶格振动的一般结论晶格振动的一般结论一般地：对一般地：对m维，原胞包含维，原胞包含n个不同种类原子个不同种类原子的晶体的晶体晶格振动的波矢数晶格振动的波矢数=晶体的原胞数晶体的原胞数单个原胞中的格波支数单个原胞中的格波支数=原胞内原子的自由度原胞内原子的自由度数数mn其中有其中有m支声学波，有支声学波，有m(n-1)支光学波支光学波晶格振动的模式数晶格振动的模式数=晶体的自由度数即原胞晶体的自由度数即原胞数乘以原胞中的自由度数）数乘以原胞中的自由度数）

19、晶体的弹性力常数晶体的弹性力常数约为约为15N/m，若一个原，若一个原子的质量为子的质量为610-27Kg，则晶格振动的最大圆频，则晶格振动的最大圆频率为率为m=1014弧度弧度/秒，最大频率秒，最大频率m约为约为1013Hz即即10THz。THz波段在微波与红外光之间。波段在微波与红外光之间。不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征，不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征，可以作为这个材料的可以作为这个材料的“指纹指纹”，THz谱技术作为谱技术作为一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可以鉴别和探测材料。以鉴别和探测材料。例：金刚石结构有几支格波例：金刚

20、石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支几支光学波光学波?设晶体有设晶体有N N个原胞，晶体振动模式数为个原胞，晶体振动模式数为多少？多少？解：金刚石结构为复式格子解：金刚石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2 2个原个原子。子。有有6 6支格波，支格波，3 3支声学波，支声学波，3 3支光学波。支光学波。振动模式数为振动模式数为6N6N。晶体中的原子或分子是按一定的规律排列在晶晶体中的原子或分子是按一定的规律排列在晶格上的，彼此间有相互作用。原子并非是静止的，格上的，彼此间有相互作用。原子并非是静止的，它们总是围绕着其平衡位置在作不断的振动。另一它们总是围绕着其平衡位置在作不断的振动。

21、另一方面，这些原子又通过相互作用力而连系在一起，方面，这些原子又通过相互作用力而连系在一起，即它们各自的振动不是彼此独立的。原子之间的相即它们各自的振动不是彼此独立的。原子之间的相互作用力一般可以很好地近似为弹性力。形象地讲，互作用力一般可以很好地近似为弹性力。形象地讲，若把原子比作小球的话，整个晶体犹如由许多规则若把原子比作小球的话，整个晶体犹如由许多规则排列的小球构成，而小球之间又彼此由弹簧连接起排列的小球构成，而小球之间又彼此由弹簧连接起来一般，从而每个原子的振动都要牵动周围的原子，来一般，从而每个原子的振动都要牵动周围的原子，使振动以弹性波的形式在晶体中传播。这种振动在使振动以弹性波的

22、形式在晶体中传播。这种振动在理论上可以认为是一系列基本的振动即简正振动理论上可以认为是一系列基本的振动即简正振动的叠加。的叠加。当原子振动的振幅与原子间距的比值很小时，当原子振动的振幅与原子间距的比值很小时，如果我们在原子振动的势能展开式中只取到平方如果我们在原子振动的势能展开式中只取到平方项的话即所谓的简谐近似），那么，这些组成项的话即所谓的简谐近似），那么，这些组成晶体中弹性波的各个基本的简正振动就是彼此独晶体中弹性波的各个基本的简正振动就是彼此独立的。换句话说，每一种简正振动模式实际上就立的。换句话说，每一种简正振动模式实际上就是一种具有特定的频率是一种具有特定的频率、波长、波长和一定传

23、播方向和一定传播方向的弹性波，整个系统也就相当于由一系列相互独的弹性波，整个系统也就相当于由一系列相互独立的谐振子构成。按照量子力学，这些谐振子的立的谐振子构成。按照量子力学，这些谐振子的能量则必须是量子化的，只能取能量则必须是量子化的，只能取 的整数倍，的整数倍，即即 （其中（其中 为零点能）。为零点能）。这样，相应的能态这样，相应的能态n就可以认为是由个就可以认为是由个 能量能量为为 的的“激发量子相加而成。而这种量子化了激发量子相加而成。而这种量子化了的弹性波的最小单位就叫声子。的弹性波的最小单位就叫声子。)2/1(nEn2/1思考题：温度一定，一个光学波的声子数目多呢思考题：温度一定，

24、一个光学波的声子数目多呢,还是声学波的声子数目多还是声学波的声子数目多?解：频率为解：频率为的格波的的格波的(平均平均)声子数为：声子数为：因为光学波的频率比声学波的频率高因为光学波的频率比声学波的频率高,大于大于 ,所以在温度一定情况下所以在温度一定情况下,一个光一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.1/TkBOe1/TkBAe 计算题：试求由计算题：试求由5个原子组成的一维单原子晶格的个原子组成的一维单原子晶格的格波频率，设原子质量格波频率，设原子质量m8.351027kg，恢复，恢复力常数力常数15Nm1 解：一维单原子链的解为解：一维单原子

25、链的解为 据周期边界条件据周期边界条件，此处此处N=5,代入上式即得：代入上式即得：（n为整数）为整数）由于格波波矢取值范围：由于格波波矢取值范围：故故n可取可取2，1，0，1，2这五个值这五个值 )(qnatinAex11Nxx1)5(qaie25 naqaqa2525n：则相应波矢：相应波矢：由于，由于，代入，代入，m及及q值值则得到五个频率依次为以则得到五个频率依次为以rad/sec为单位）为单位）8.061013，4.991013，0，4.991013，8.061013aaaa54,52,0,52,542sin2qamvVNm3/126 德拜温度德拜温度固体比热理论中的一个参量，确定固

26、体比热理论中的一个参量，确定了由固体原子振动所形成的弹性波可达到的最高了由固体原子振动所形成的弹性波可达到的最高固有频率。不同固体的德拜温度不同。当温度远固有频率。不同固体的德拜温度不同。当温度远高于德拜温度时，固体的摩尔比热容遵循经典规高于德拜温度时，固体的摩尔比热容遵循经典规律，即符合杜隆一珀替定律，是一个与构成固体律，即符合杜隆一珀替定律，是一个与构成固体的物质无关的常量。反之，当温度远低于德拜温的物质无关的常量。反之，当温度远低于德拜温度时，摩尔比热容将遵循量子规律，而与热力学度时，摩尔比热容将遵循量子规律，而与热力学温度的三次方成正比，随着温度接近绝对零度而温度的三次方成正比，随着温度接近绝对零度而迅速趋近于零。迅速趋近于零。BDkmax