((完整版))九年级圆的基础知识点、经典例题与课后习题-推荐文档

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1、1圆圆【知识梳理知识梳理】1.1.圆的有关概念和性质圆的有关概念和性质 (1)(1)圆的有关概念圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径（2 2）圆的有关性质）圆的有关性质 圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧说明说明：根据垂径定理与推论可知对于一

2、个圆和一条直线来说，如果具备：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；过圆心；垂直于弦；垂直于弦；平分弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的优弧；平分弦所平分弦所对的劣弧。对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以 CD 为端点的弧记为“”，读作“圆弧 CD”或“弧 CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表

3、示。)弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.（3 3）对圆的定义的理解）对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2.2.与圆有关的角与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心

4、的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数 （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半2 （3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角3.点与圆的位置关系及其数量特征：点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则 点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的

5、距离相等。4.确定圆的条件确定圆的条件:1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.2.经过三点作圆要分两种情况:(1)经过同一直线上的三点不能作圆.(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心

6、.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.5.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系1.直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系的数量特征:设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交.d=r 直线 L 和O 相切.dr 直线 L 和O 相离.3.切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.

7、4.切线的性质定理:3 圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.垂直于切线;过切点;过圆心.5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.6.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的顶点

8、,该线平分三角形的这个内角.6.圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系.1.外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离:两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切:两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一

9、个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例.2.两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 dR+r(2)两圆外切 d=R+r(3)两圆相交 R-rdR+r(Rr)(4)两圆内切 d=R-r(Rr)(5)两圆内含 dr)3.相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.4.相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦.7.圆内接四边形圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.8.弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积1.圆周长公式

10、:圆周长 C=2R(R 表示圆的半径)2.弧长公式:4图 5OBCACBAOCBAO弧长(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数)180Rnl3.扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4.弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5.圆的面积公式.圆的面积(R 表示圆的半径)2RS6.扇形的面积公式:扇形的面积(R 表示圆的半径,n 表示弧所对的圆心角的度数)3602RnS扇形弓形的面积公式:(如图 5)(1)当弓形所含的弧是劣弧时,三角形扇形弓形SSS(2)当弓形所含的弧是优弧时,三角形扇形弓形SSS(3)当弓形所含的

11、弧是半圆时,扇形弓形SRS2215OCBAABCDO例题解析例题解析【例题例题 1】1】如图 1，是的外接圆，是直径，若，则OABCAB80BOC等于（）A A60 B50 C40 D30 图 1 图 2 图3【例题例题 2】2】如图 2，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，若大圆半径为10cm，小圆半径为 6cm，则弦 AB 的长为 cm【例题例题 3】3】如图 3，ABC 内接于O，AB=BC，ABC=120，AD 为O 的直径，AD6，那么 BD_【例题例题 4】4】如图 4 已知O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，A=70o，c=50o，那么 sinA

12、EB 的值为（）A.21 B.33 C.22 D.23 图 4【例题例题 5】5】如图 5，半圆的直径，点 C 在半圆上，10AB 6BC（1）求弦的长；ACPBCEA（图 8）6CBAOBCAOCABS1S2（2）若 P 为 AB 的中点，交于点 E，求的长PEABACPE 三、课堂练习三、课堂练习 1、如图 6，在O 中，ABC=40，则AOC 度 图 6 图 7 图 82、如图 7，AB 是O 的直径，AC 是弦，若ACO=32，则COB 的度数等于 3、已知O 的直径 AB=8cm，C 为O 上的一点，BAC=30，则BC=_cm.4、如图 8，已知在中，分别以，为RtABCRtACB

13、4AB ACBC直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 1S2S1S2S5、如图 9，O 的半径 OA10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为_cm。图 976、如图 10，在O 中，ACB=BDC=60，AC=，cm32（1）求BAC 的度数；（2）求O 的周长7、已知：如图 11，O 的直径 AB 与弦 CD 相交于，弧 BC弧 BD，O的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点 F(1)求证:CDBF(2)连结 BC,若O 的半径为 4,cosBCD=,求线段 AD、CD 的长34 8、如图 12，在ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的O 与 AC 交于

14、点 D，过 D 作 DFBC，交 AB 的延长线于 E，垂足为 F(1)求证：直线 DE 是O 的切线；(2)当 AB=5，AC=8 时，求 cosE 的值 图 12 8四、经典考题解析四、经典考题解析 1.如图 13，在O 中，已知A CBCDB60，AC3，则ABC 的周长是_.图 13 图 14 图 152.“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图 14，CD 为O 的直径，弦 ABCD于点 E，CE1 寸，AB=10 寸，则直径 CD的长为（）A125 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸3

15、.如图 15，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD 和 BC 相交于点 P，那么等于（CDAB）AsinBPD BcosBPD CtanBPD DcotBPD4.O 的半径是 5，AB、CD 为O 的两条弦，且 ABCD，AB=6，CD=8，求 AB 与 CD 之间的距离95.如图 16，在M 中，弧 AB 所对的圆心角为 1200，已知圆的半径为 2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点 C 是 y 轴与弧 AB 的交点。（1）求圆心 M 的坐标；（2）若点 D 是弦 AB 所对优弧上一动点，求四边形 ACBD 的最大面积 图 16 五、课后训练五、课后训练 1.如图 17，在O 中，弦

16、AB=1.8cm，圆周角ACB=30，则 O 的直径等于_cm 图 17 图 18 图 192.如图 18，C 是O 上一点，O 是圆心若C=35，则AOB 的度数为（）A35 B70 C105 D150 3.如图 19，O 内接四边形 ABCD 中，AB=CD，则图中和1 相等的角有_ 4.在半径为 1 的圆中，弦 AB、AC 分别是3和2，则 BAC 的度数为多少？5.如图 20，弦 AB 的长等于O 的半径，点 C 在O 上，则C 的度数是_.CDABOMYX10图 20 图 21 图 22 6.如图 21，四边形 ABCD 内接于O，若BOD=100，则DAB 的度数为（）A50 B8

17、0 C100 D1307.如图 22，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，点 E 在 CD 的延长线上，如果BOD=120，那么BCE 等于（）A30 B60 C90 D1208.如图，O 的直径 AB=10，DEAB 于点 H，AH=2 （1）求 DE 的长；（2）延长 ED 到 P，过 P 作O 的切线，切点为 C，若 PC=225，求 PD的长11九年级数学圆练习题九年级数学圆练习题一、一、填空题：（填空题：（2121 分）分）1、如图，在O 中，弦 ABOC，则=_115AOCBOC2、如图，在O 中，AB 是直径，则=_15CBAD3、如图，点 O 是的外心，已知，则=_ABC40

18、OABACB（1 题图）（2 题图）（3 题图）（4 题图）4、如图，AB 是O 的直径，弧 BC=弧 BD，则 25ABOD （5 题图）（6 题图）（7 题图）5、如图，O 的直径为 8，弦 CD 垂直平分半径 OA，则弦 CD 6、已知O 的半径为 2cm，弦 AB2cm，P 点为弦 AB 上一动点，则线段 OP 的范围是 7、如图，在O 中，B=50，C=20，则BOC 的=_二、解答题（二、解答题（7070 分）分）1、如图，AB是O的直径.若ODAC，与 的大小有什么关系？为什么？BOCACAOBDOABCDOABCDBOACDBOACOABPBDABCO122、已知：如图，在O

19、中，弦 AB=CD.求证：弧 AC=弧 BD；AOC=BOD3、如图，已知：O 中，AB、CB 为弦，OC 交 AB 于 D，求证：（1）ODBOBD，（2）ODBOBC；4、已知如图，AB、AC 为弦，OMAB 于 M，ONAC 于 N，MN 是ABC 的中位线吗？5、已知如图，AB、CD 是O 的直径，DF、BE 是弦，且 DF=BE，求证：D=BDBCAOABCDOOABCDFENMOAB136、已知如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，CDAB 于 D，CE 平分DCO，交O 于 E，求证：弧 AE=弧 EB 7、如图，已知ABC，AC=3，BC=4，C=90，以点C为圆心作C

20、，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在C外.(2)当r在什么范围时，点A在C内，点B在C外.(2)当r在什么范围时，C与线段 AB 相切。A B C 三、计算下列各题：（三、计算下列各题：（4040 分）分）1、如图，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC 交 AC 于 D，OD=，求cm2BC 的长；OABCDEABCDO142、如图，在 RtABC 中，C90，AC3，BC4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、BC 分别交于点 D、E，求 AB、AD 的长3、如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，且 AE=1cm，EB=5cm，DEB=60，求 CD 的

21、长。4、如图，在直径为 100 mm 的半圆铁片上切去一块高为 20 mm 的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.A B 5、如图所示，已知矩形 ABCD 的边ABcmADcm34，。（1）以点 A 为圆心，4cm 为半径作A，则点 B、C、D 与A 的位置关系如何？（2）若以点 A 为圆心作A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A 的半径 r 的取值范围是什么？ABCDEEOABCD15四、作图题：（四、作图题：（9 9 分）分）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心,并将它还原成一个圆要求：、尺规作图；、保留作图痕迹（可不写作法）五、探究拓展与应用（五、探究拓展与应用（1010 分）分）1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：AOC 是ABO 的外角AOC=ABO+BAO又OA=OBOAB=OBA AOC=2ABO即ABC=AOC21如果ABC 的两边都不经过圆心，如图(2)、（3），那么上述结论是否成立？请你说明理由。(3)(2)(1)ABCOABCOOCBAACDB