小学奥数几何五大模型燕尾模型(共边定理)

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1、三角形中的模型(一)知识点详解1“燕尾模型”：面积比转化为边之比Q是方O上任意一点，Sd=SfS、=BD:DC第#页共11页证明：法_：Si与S4共边ED贝JSi与6同高，令Si：S4=BD:DC=ma:mb,同理，令S.abd：S,ADC=BD:DC=iia:nb贝ijS2:S3=(na-ma):(nb-mb)=a:b=BD:DC法二：宓与9同高，分别以乙9、QU为底，所以有S.S=BD.DC辺T与同高，SS、=EDE4；ACE与9同高，SS、=ED.EA、所以:另=送：鸟：综上可得S：S、=SS3=BD.DC2题目类型(1)基础类型可直接利用三角形三条边上的燕尾模型，由“底边之比决定面积之

2、比”来解题。往往题目会只给出两条由定点出发的分先，需自己添加第三条分线为辅助线，即形成“”形状。StS2=Sd=BE.ECSf.S2=S3zS4=AF:FCSj：S2=Sj：S4=AD:DB(2)拓展类型利用“多于两条分先围成的面积不可直接求”先判断哪些部分可利用燕尾模型直接求解，然后制定求解策略、逐一求解。例题详解B分析令眾咖为1份BD:DC=dnSuf时份A第#页共11页绞为3份S.iBF:SBFC=:=1：1O心S,ibf:Szfc=BD:DC=1:2=心陀为6份S.ief:Sefc=:=1:1n四边形而积为心吉例2分析：令S逅为1份AEEC=1:3=氐员疋为3份sZOB:Szc=BD:

3、DC=XaS如为2x(1+3)=8份/S、迪。:S、丫迹=8：1BO:OE=8:1例3分析：SSzoc=BD:DC=S；ob:Szoc=EA、EC3*4=12:16Syoc:Shboc=:FB=27:16例5分析:令甩逅为1份 Szge:SgEB=EB=1:1,忍&羽为1份 S.心:SXGB=CF:FB=1,跟为2份 Sxgc:S5gcb=4EEB=1:1,为2份/.四边形占正方形M刖1+1+2+27=2(l+l+2+2)x23DCB,?-例6分析：SyOF=r,SMOE=yc_cc216+jt_80鞋咙：仏迹=迓=乔齐=亦ec_c.ey_216+X2y-x=126解得Sy-3x=648誠40

4、(216+*)=803+45)整理得120，=45(216+才)S“OF=144，Szoe=135.r=144j=135Sg=12-x；=96w分析：AGHI是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略AAGC是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与AHB、ABIC完全一样，即SGHI=-3Sajgc求解SJGC:设S、bgc看成1份，则煜=2份,3=2x2=4份.=-,贝IJL=1-x3=1Sb.iBc1+2+47S.c7家庭作业1分析：令5k狞为1份BD.DCUd兀少r为3份$,血:Sefc=AE;EC=1:2n为2份Szbf:=BD:DC2:1=Gi一儕为(1+2)X2=6

5、份Szbf:Shbfc=4E:EC1:2=SbBFc6x2=12份SbfdS、fdc=BDDC=2:1=ixfdc=12*3=4份Sfdc=4x2=8份:iV=1+2+4+6+81 1_2+4_2_8_6_2，、EFDC=、S“BFD=，=分析：CE,令心勿为1份,M:Zr=3:l=匹观为3份SxbeS、bed=4E:DE=1:1=邑j2z为3份S.be:S.c=BD:DC=3:1=心匠为1份、3Shaef:Shk=SgiBE:Szec=:FC=3:4=心狞为;y份阴影部分占应积的上土以“戶1+1+3+37山3分析：Szg:SAGC=BD:DC=2:3=10:15SbABc:S、Bg=EA:E

6、C=5:3=10:6Sagc-Sbgc=:FB=15:6=5:2GHI是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略是由两条等分线围成的可分析：用燕尾直接求解，其求解过程与AHB、ZiBIC完全一样，即S=SzcJSwc求解甩烷：设S旄看成9份，则甩心为9-3x4=12份,Szb.荃竺=-=,则邑竺=13x3=丄:SSy12+16+937S5373712+16+937ABC为12-3x4=16份=74x=237分析：SADFE1跟步：玉啓=3:比=1:2,.无衣为2份*SgFC:S、cfG=L.DF3:S、bfg=DF:FG=1:1,/.氐为1+2=3份 dfb:S、bfc=BF:FC=1:

7、1,为3份 S、bgH:iGHD=DE：EC=1:2,S、bd为彳份3+25DEFL.FGC阴影部分占长方形38面枳的(3+3+3+l+2)x224=2x=cur24126分析：设SAOF=x,s、EOC=y才+22S4OBD:Smdc=:sxocn7=y+64TS：OF:Sbof=S.a:S、boc=y2 2+4解得产4U=62无一尹=26.r-2y=12超常挑战S、辽c=2+2+4+6+4+6=24分析:若知道磁少占厶少O的面积的比即可只厶少：的面积，如少是由3条等分线围成的不可直接用燕尾求面积。策略：lANG用一次燕尾可求出其占厶如的面积比，再用一次燕尾可求出厶個的占比。勺占比=1型比的

8、占比一DVU的占比一.朮J占比求刃VT占亠/C的面积比令心砒为1份:Sh=FC;BF=1:3=云如为3份；:S“nc=4G;GC=1:1n心为3份c_1c_1cc_3cSl.iNC+3+3$HABC=$ABC、SL,BNC$、A3C求占的面积比令s如为1份*S:甩必=BD.DC-1:3=甩必为3份；甩疣”：SSMC=AG.GC=1:1=兀册为】份求如v占厶個的面积比：1-1一丄一2=兰57735越玩越聪明分析：下图给出了16枚棋子的放法。由于题目规定，有2枚棋子必须占据中央的几个方格，因而排除了许多其他答案，否则它们也都可认作正确。第4页共11页基础班学案1 （2009年第七届希望杯五年级初试

9、试题）如图，三角形少O的面积是200cm2,E在AC点Q在方U上,且AEEC=3上、BDDC=2.3、AD与EE交于点F.则四边形Q&O的面积等于第5页共11页在UBC中，BD.DC=AE.ECf求OBOE=3第#页共11页第#页共11页3 如右图，三角形少O中，BD.DC=2.3,EACE=y求4F.FB.第#页共11页第#页共11页4如图在中，DC_Ed_FB_，求如的面枳的值.石玄_忑_3方邙勺面积提高班学案1 如图，在-/c,刀在方O上，且4EECaBD.DC=2、与宓交于点四边形少EO的面积等于22cm2,则三角形.30的面积.第#页共11页第#页共11页2如右图，三角形a中，BD.

10、DC=WAE.CE=、心求4FFB第#页共11页3如右图，三角形.30中，4F.FB=BD.DC=CE.4E=,.2、且三角形少7的面积是1,求三角形的面积.4 如图所示，在四边形中，4B=BE、4D=3AF、四边形個茁的面积是12,那么平行四边形BODC的面积为尖子班学案1如图，已知BDiDC.EC=2AE、宓与C9相交于点lABC被分成的4部分面积各占lABC面积的几分之几？2 如图所示，在.30中，BE.EC=Q是仏的中点，那么AF.FC=BEC3如图，正方形一的面积是120平方厘米，占是-3的中点，尸是方O的中点，四边形尿莎的面积是平方厘米.B第6页共11页2011年秋李五年级第十三讲

11、三角形中的模型（一）周艳丽4如图，三角形.30被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形.30的面积是多少?第7页共11页2011年秋李五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋李五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽拓展题1.已知四边形ABCD、为正方形，编：=1:8,与力是两个正方形的边长，求a.b=?A第#页共11页2011年秋李五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋李五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽2.如右图，扮C中，G是的中点，6E.尸是方U边上的四等分点、AD与BG交7、AF与BG交于N、已知lABM的面积比四

12、边形/TGV的面积大7.2平方厘米，则ABC的面积是多少平方厘米？第#页共11页2011年秋李五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋李五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽3如图，三角形.30的面积是1.BD=DE=EC、CF=FG=G4、三角形.30被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？如图，面积为1的三角形中，D、E.F、G、H、/分别是勺戻BC、CA的三等分点，求阴影部分面积B第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽基础班学案一答案1分析:令jzv为2份BD;DC=X3aS场为3份S.3F:ShbfcAE;EC=3:5n$一

13、毋为3份39Sa3f:Shafc=BD:DC=2:3=3厶讥为3x=9545AE:EC=3:5=SFFr=x=份停2816四边形少Zdl勺而积为200一(2+3+3+?)x(3+兰)=93r/z2216分析:令S迓为1份AE.EC=3:1=S迓为3份Smob:Saoc=BD:DC3:2n无上勿为(I+3)*2x3=6份:Szo.Sxe=S3=L：BOOE=2分析:S、OB:SiOC=BDDC2:3=10:15Smob、Sxoc=&：gO=5:4=10:8S：oc:S厶Boc=AF；FB=15:84分析:GHI是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略AAGC是由两条等分线围成的可用燕尾直

14、接求解，其求解过程与AHB、ABIC完全一样，即显创=S迓-3龟_心求解甩烷：设S旄看成1份，则S烷TxA3份，甩如=3x3=9份.荃竺=-亠贝IJ虽丝=1一玉3=?S“c1+3+913Sg1313提高班学案答案1分析：令心砂为1份,29:00=1:2n邑皿为2份S、ibf:Sbfc-虫：EC=2:3nS济为2份Sg:S“c=BD:Dc=1：2n为2x2=4份3AE:EC=2:3=4x=2.4份四边形少ZT的面积占勺2+2=些1+2+2+44522S、isc=22=45CM分析:GHI是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略厶人*是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与AHB

15、.ABIC完全一样，即S印=S迓-3S心求解Smgc：设収8必看成2份，则S氏心3份，S如=32x3=45份.S、4gc_3=6甩氐一2+3+45一1?则l=1_Ax3=S迓19194分析:第10页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽令S、beo、)71份l.boe:l.aoe=BE、AE=1:2,/.氐.宓为2份S/:Sbod=AF:勿=1:2,S观为(1+2)X2=6份SyoD:S、bod=AE:EB=2:L(仞为6x2=12份SZF:S、fod=4F:FD=d:.S如为12一3=4份，显砂为4x

16、2=8份四边形a切寸应2+4=6份,1:12弓6=2,Sbodc=2x(6x2)=24尖子班学案答案1分析:第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽令龟为1份AE.EC=1:2=S輕为2份S:Sg=BD、.DC=甩迹为(2+1)X3=9份:S=AJE:1:2=S比为9x2=18份3 15 汕*BD、DC=4*为18丁13.5份，*为18x-=4.5份第11页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽四部分分别占11+2+9+182+4.5莎30132_A仔56030lO,5o92

17、0第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽2分析:令S竝为1份BE、.EC=,.n氐遊为3份=DE=S.BD=SbBDE）、3份.竺=Srmd=3=3:4FCS“DC3+1分析：ABHCD、：4EGB&DGC箱似，可知夕7:GD=EB;CD=d,令3二迹为1份 S、bhf:ihfc=BF、FC1:1,眾加f为1份 S、bhc:S、DHC=BG、GD=1：2,为（1+1）x2=4份 Sbhd:S、dhc=BF:FC=1:1S份 S、bgh:l.ghd=BG:GD=1:2,4 4牡w为4m3=亍份，仓观为亍x2=份正方形（4+4+1+1）x2=20份277阴影占苛W弘2

18、0x矿14加第12页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽4分析：直S“OF=丫，SAOE=y84+X40人、=二（1）4OC=（1）卩+3530S5:Ss=Sz。:SBOC=曙琮唏即（1“（2）：聖土二牡2三乂P+3540+303035SOBD:S、ODC=S.iso:S、x=56整理得40X357+35.%=84+40+30+35+56+70=315解得30r沪70拓展题一案1分析：连接曲；OE.作O”垂直于必OV垂直&于刀sZE；Szof=EH;HF=a:b=宀ab一2岸1x5:S.iof=DE:

19、=b;a=b:（ib又二4E=EF:.OAfON=cr:b1AOE：gs乙=罟先=.什x=a3:3=1:8.：力=1:2BNHbF第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第13页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽2分析:第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽连接CM,（由燕尾），可得4叫=丄；连接NC,（由燕尾），可得玉空=U=S.iBc1+3+15S乂血1+1+6+628的面积比四边形/TGV的面积大7.2平方厘米/.S=7-2一（丄-？）

20、=336少5 283分析：若某一块的构成方式相同，则面积相等，不需重复求解:SXQG=SHBMDyS卜BPM、SQQyp=SbMNED由“多于两条分先围成的面积不可直接求”可知，能各用一次燕尾求出“1”、乍的面积，接下来可求“3”的面积，再用一次燕尾求“4”、“5”的面积，最后求出6的面积。可得5；=1+2+6+1221-rm11罰111131+2+253*352135c1+111cQ11151+2+6+363321642连接CQ,（由燕尾）,连接CP,（由燕尾）,连接CN,（由燕尾）,第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽诙11359贝=送一亠=3 335427

21、0第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽若某一块的构成方式相同，则面积相等，不需重复求解，可指定策略=l-3-3J2连接PC,（由燕尾），可得3=-=丄；连接AM,（由燕尾），可得Sq加=-1+2+251+2+6+36连接NB,（由燕尾），可得亦,=则Sj=Sgw2S比Qv=2x=1+2+6+1221-a62114ccc1113=13坊33=13x3x=阴够1251470第#页共11页2011年秋季五年级第十三讲三角形中的模型（一）周艳丽2分析：SzoSzc=BD.DC=4=53Swob、Sxoc=：=5:6=15:18ioc-b.BOC=-/5=20:18=10:9第14页共11页