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1、等差数列、等比数列的证明例1.已知数列a满足a，1,a，3a+2n-3(n2),n1nn-1(I) 求证：数列a+n是等比数列;n(II) 求数列a的通项公式。n例2已知数列an满足ai，2，an+1，血n(I) 求证：数列j+j是等差数列;n(II) 求数列a的通项公式。n例3.已知数列aS是它的前n项和，且S，4a+2(neN*,a，1nnn+1n1(I) 设b，a一2a(neN*),求证：数列b是等比数列；nn+1nn(II) 设c，求证：数列c是等差数列；n2nn(III) 求数列a的通项公式。n1练习1.已知数列a满足a，5,a，2a+3nneN*n1n1n(I) 求证：数列a-3n
2、是等比数列；n(II) 求数列a的通项公式。n2.已知数列a满足a，1，a，2a+2n(n2),n1nn-1(I)求证：数列an2n是等差数列；2#(II)求数列a的通项公式。3.数列a的前n项和Snnn且S，-(a-1,(1)证明数列a等比数列；(2)求通项公式.n3nn4.已知数列a的前n项和为S,a，1,数列L+S是公差为2的等差数列.nn1nn(1)证明仁-2是等比数列；(2)求通项公式.n5.已知数列a的前n项和为S,a，1,正整数n对应的n,a,S成等差数列.nn1nn(1)证明S+n+2成等比数列；(2)求Snn求通项公式一)给出递推公式求通项公式类型一、已知关系式a=af(n)
3、,可利用累加法n1n例1在数列匕中，已知a=1,当n2时，有a=a2n-1(n2)，求数列的通项公式.n1nn1变式：在数列a中，a=1,a=3n-1+a(n2)，求通项.n1nn1类型二、已知关系式a=af(n)，可利用累乘法n1n例2在数列L中，已知a=1，有na=C11(n2)，求数列的通项公式.n1n-1n变式在数列匕中，已知a=丄，有a=2na，求数列的通项公式.n12n1n类型三、构造新数列递推关系形如a=paq(p丰0,p丰1),利用待定系数法求解n1n令ac=p(ac)，n1n其中C为待定系数，化为等比数列Lc求通项.n3(n1)，求数列匕的通项公式.n例3已知数列匕中，若a=
4、1,a=2an1n1n变式上例中递推关系变为a=-a3(n1)，求数列的通项公式.n1n递推关系形如a-pa=qaa(p,q丰0),两边同除以aann-1nn-1nn-1递推关系形如“a，pan-i(p,q,r0)”，取倒数法nqa+rn-1例4已知数列a中，a-a，2aa(n2),a，2,求数列a的通项公式.nnn-1nn-11n变式已知数列a中，a，2，an1n+1(neN)，求数列a的通项公式.4+a+nn5#练习1.已知数列a满足a，a+2x3n+1，a，3，求数列a的通项公式。nn+1n1n2.在数列a中，已知a，1，有na，C+2)aC2)，求数列的通项公式.n1n-1n3.已知数
5、列a中，3n12，且满足2a，3a+1,neN，求数列a的通项公式.n+1nn#4.已知数列中,na1，1aann+13na+1求通项公式a.n#an+1an3a+2n求通项公式an#(二)给出S求anna,n，11SS,n2nn-1#例5已知下列两数列L的前n项和S的公式，求L的通项公式.nnn(1)S=3n2n(2)S=2n2一3nn6#例6已知数列a中，a2a3ana=3n1，求通项a.n123nn例7已知数列L满足Sa=2n1，其中S是L的前n项和，求的通项公式.nnnnnn例8已知数列中，a=1,S=n-i，求的通项公式.n1n2S1nn-1例9设S是数列的前n项和,nna=1,S2
6、=a1nn22)求an的通项公式.#练习1.在数列a中，且满足s1-a，求数列a的通项公式.nn3nn2.已知各项均为正数的数列的前n项和S满足S,1，且6S(a+1)(a+2),nN，求nn1nnn+t的通项公式.n4设数列a满足a+3a+32ab3n-ia(nN*).n123n3(1) 求数列的通项公式.nn(2) 设b，求数列方的前n项和S.nannn7数列求和的方法介绍一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。rn(a+a)n(n一1),1、等差数列求和公式：Sn，化+r-d8#(q，1)(q丰1)2、等比数列求和公式：Snnai，a(1一qn)a一aq1，1n
7、1一q1一q#1、已知数列a是等差数列，设其前n项和为S，若a，9,S，25nn55(I) 求数列a的通项公式a；nn(II) 设b，3an，求数列b的前n项和Tnnn、裂项相消法裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解，其中裂项是手段，相消是目的。常见的裂项法有：1)n(n+1)2)n(n一1)n一1-(n2)3)n(n+2)2nn+25)(2n-1)(2n+1)_4)若a等差，公差为d丰0，则裂项原理】aan-1an-15)若a等差，公差为d丰0，则aa2、已知数列a是等差数列，设其前n项和为S，若S，35，S510，120I)求
8、数列a的通项公式a和S；(II)设b，SS，求数列b的前n项和。三、分组求和法4、数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+2n-i),的通项公式a，,前n项和S，nn5、求数列2,22,222,2222,.的前n项和。6、在数列a中，a，2,a，4a-3n+1,(1)证明数列a-n是等比数列；(2)求数列an1n+1nnn的前n项和。四、错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列b的前nnn项和，其中a、b分别是等差数列和等比数列nn7、已知数列a的通项公式为a=(2n+1)3，求前n项和Snnn8、求数列10,200,3000,n.lOn的前n项的和S。nn2，求数列a的n9、数列l+3q+5q2+7q3+9q4=11、已知数列a对任意neN*,都有一+弋+n222232n前n项和S。n10
等差数列、等比数列的证明及数列求和
