控制系统数学模型(PPT)

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1、自动控制原理自动控制原理 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 2-1 2-1 拉普拉斯变换有关知识拉普拉斯变换有关知识 2-2 2-2 传递函数传递函数 2-3 2-3 动态结构图及其等效函数动态结构图及其等效函数 2-4 2-4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 2-5 2-5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数 2-6 MATLAB2-6 MATLAB应用应用 自动控制原理课程的任务与体系结构自动控制原理课程的任务与体系结构2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理时域模型时域模型 微分方程微分方程复域模型复域模型 传递函数传递函数引

2、言引言数学模型数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数的数 学表达式学表达式 建模方法建模方法 解析法解析法（机理分析法）（机理分析法）根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程 实验法实验法（系统辨识法）（系统辨识法）给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性 表达形式 时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性线性系统线性系统传递函数传

3、递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换 建立数学模型的一般方法(举例)例例1 1：如图所示的：如图所示的RLCRLC电路，试建立以电容上电路，试建立以电容上电压电压uc(t)uc(t)为输出变量，输入电压为输出变量，输入电压ur(t)ur(t)为输为输入变量的运动方程。入变量的运动方程。RLCur(t)uc(t)i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律 由（由（2 2）代入（）代入（1 1）得：消去中间变量）得：消去中间变量i(t)i(t)（两边求导）（两边求导）()()()(),(1)rcdi tutRi tLutdt22()()()()CCCrd utdutLCR

4、Cutu tdtdt1()(),(2)Cuti t dtC()()Cduti tCdt根据上述的例子，可以得到列写系统微分根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：方程的一般步骤：1 1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量；2 2）根据已知的电学、物理或化学定律，写出系统）根据已知的电学、物理或化学定律，写出系统过程的微分方程；过程的微分方程；3 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；程；4 4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列

5、。关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（1 1）1 1 复数有关概念复数有关概念（1 1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数复函数复函数 js )()()(sFsFsFyx 例例1 1 jssF 22)(（2 2）模、相角）模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan （3 3）复数的共轭）复数的共轭 yxjFFsF )(（4 4）解析）解析 若若F(s)在在 s 点的各阶导数都存在，则点的各阶导数都存在，则F(s)在在 s 点解析。点解析。模模相角相角 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（2 2）2 2 拉氏变换的定

6、义拉氏变换的定义 0)()()(dtetfsFtfLts )()(tfsF像像原像原像3 3 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换（1）数学表达式数学表达式 时间波形时间波形由拉氏变换定义式由拉氏变换定义式单位阶跃信号的导数单位阶跃信号的导数f ttt(),1000 0 t f(t)1 Ltedtsesstst()111100ddttt1()()（2）单位斜坡信号）单位斜坡信号 数学表达式数学表达式 时间波形时间波形由分部积分公式由分部积分公式f tttt(),000 0 t f(t)t udvuvvduabbaab00)(1)(1ststedtsdtetttL20011sdtetesstst

7、（3）等加速函数）等加速函数tOf(t)数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 210()200ttf tt 200200231()()()eded21 1eed211100ststststF sf tf tttttttssss L L（4）指数函数）指数函数e-at数学表达式为数学表达式为 其拉氏变换为其拉氏变换为 e0()()00attaf tt 为为实实数数0()0()eeed1edatatsts a tF sttsa L L（5 5）正弦函数）正弦函数 0sin00t t t f(t)dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-

8、(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj（6）单位脉冲信号）单位脉冲信号 数学表达式数学表达式 时间波形时间波形令令所以所以(),ttt000 0 f(t)t 0(t)t 1 时间波形 表示为 1)(00dttLttedttdtst()()()0001 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（3 3）（1 1）线性性质）线性性质4 4 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 00左tdfedtetfstst 000

9、01221 nn-n-n-nnfsffsfssFstf dtetfs-fst 000 右0 fssF st-stdetftfe 00证明：证明：0 0初条件下有：初条件下有：sFstfLnn 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（3 3）例例1 1 求求?)(tL 解解.t1t tLtL1 例例2 2 求求?)cos(tL 解解.tt nsi1cos tLtL nsi1cos 011ss101 221 ss22 ss 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（3 3）（3 3）积分定理）积分定理 0111-fssFsdttfL 零初始条件下有：零初始条件下有：sFsdttf

10、L 1进一步有：进一步有：0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL 个个例例3 3 求求 Lt=?=?解解.dttt 1 dttLtL1例例4 4 求求解解.dttt 220222111 ttsss?22 tL0111 ttsss21s dttLtL2231s 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（3 3）（4 4）位移定理）位移定理证明：证明：例例5 5解解.)(1)(1)(atttf )(1)(1)(attLtfL )()(00sFetfLs F(s),at 0at 0 10t 0tf 求求 sesas11 seas 1dtetfst 00)(左令令 0t

11、defs 00)()(defess 00)(右 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（3 3）（5 5）初值定理）初值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s 21)(ssF 例例6 6 )0()(lim)(lim0fsFsdtedttdfst ss 0lim)(0 dtedttdft ss左 0)0()(lim fsFss)(lim)(lim)0(0sFstffst ttf)(lim)0(sFsfs 01lim2 sss 复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（3 3）（6 6）终值定理）终

12、值定理证明：由微分定理证明：由微分定理)(lim)(lim0sFstfst )0()()(0fsFsdtedttdft s )(1)(bsasssF 例例7 7（终值确实存在时）（终值确实存在时）)0()(lim)(lim000fsFsdtedttdfst ss dtedttdft ss 00lim)(左 0)(tdf tttdf0)(lim )0()(limftft )0()(lim0fsFss 右右 abbsasssfs11lim0 22ssF ttfsin例例8 80lim220 sss用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程用拉普拉斯方法求在给定初始条件下微分用拉普拉斯方法求在给定

13、初始条件下微分方程的步骤如下：方程的步骤如下：对微分方程两端进行拉氏变换，将微分对微分方程两端进行拉氏变换，将微分方程变为以象函数为变量的代数方程，方方程变为以象函数为变量的代数方程，方程中初始条件是程中初始条件是t=0-时的值。时的值。解代数方程，求出象函数的表达式。解代数方程，求出象函数的表达式。用部分分式法进行反变换，求得微分用部分分式法进行反变换，求得微分方程的解。方程的解。用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程)(1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L变换变换0)0()0(yy)(1)(212asasssY )(1sYLty 系统微分方程系

14、统微分方程L-1变换变换 课程小结课程小结 1 1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2）单位阶跃）单位阶跃2 2 常见函数常见函数L变换变换)(tfs1（5 5）指数函数）指数函数ate)(1as)(sF)(1 t（1 1）单位脉冲）单位脉冲1)(t（3 3）单位斜坡）单位斜坡21 st（4 4）单位加速度）单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数）正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数）余弦函数t cos)(22 ss 课程小结课程小结 （2 2）微分定理）微分定理3 3 L变换重要定理变换重要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质

15、）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL 0111-fssFsdttfL )()(0sFetfLs )()(AsFtfeLtA )(lim)(lim0sFstfst )(lim)(lim0sFstfst 自动控制原理自动控制原理 本次课程作业本次课程作业（3）2 1,2,3附加作业附加作业:1 1 已知已知f(t)f(t)，求，求F(s)F(s)tTetf11)()1()2cos1(03.0)()2(ttf )35sin()()3(ttft

16、etft12cos)()4(4.0 )42)(2(823)(222 sssssssF,求求f(0),f()f(0),f()。2.2.1 2.2.1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程（3 3）反馈口：反馈口：放大器：放大器：电动机：电动机：减速器：减速器：绳绳 轮：轮：电电 桥：桥：rmmmmmuTKKKKKLTKKKKKLTL432143211 消去中间变量可得：消去中间变量可得：LKuKLKuKTuKuuuupmmmmmpr423321 例例4 X-Y 4 X-Y 记录仪记录仪控制系统的数学模型控制系统的数学模型课程小结课程小结 (1)(1)时域模型时域模型 微分方程微分

17、方程 元部件及系统微分方程的建立元部件及系统微分方程的建立 线性定常系统微分方程的特点线性定常系统微分方程的特点 非线性方程的线性化非线性方程的线性化 微分方程求解微分方程求解2.2 2.2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型微分方程微分方程)(1)(1)()(22tuLCtuLCdttduLRdttudrccc dttduCtic)()()()()()(tutRidttdiLtucr )()()(22tudttduRCdttudLCccc 2.2.12.2.1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程例例1 R-L-C 1 R-L-C 串连电路串连电路2.2.1 2.2.1 线

18、性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程（1 1）)()(1ommmiixxfFxxKF 02xKFo oommixKxxfxxK21)()(:BAioooooimoimxxfKxKKKxxfKxKKxxxKxKxK 2121212211iooxKKKxKKfKKx2112121)(例例2 2 弹簧弹簧阻尼器系统阻尼器系统2.2.1 2.2.1 线性元部件及系统的微分方程线性元部件及系统的微分方程电磁力矩：电磁力矩：安培定律安培定律电枢反电势：电枢反电势：楞次定律楞次定律电枢回路：电枢回路：克希霍夫克希霍夫力矩平衡：力矩平衡：牛顿定律牛顿定律brERiu mebcE icMmm mm

19、mmmmmMfJ 电机时间常数电机时间常数 电机传递系数电机传递系数 )/()/(memmmmemmmccfRcKccfRRJTrmmmmrmmmmuKTuKT 消去中间变量消去中间变量 i,Mm,Eb 可得：可得：例例3 3 电枢控制式直流电动机电枢控制式直流电动机2.2.2 2.2.2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化（举例（举例1 1）)(cos)(0txExy)()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令取一次近似，且令 既有既有 例例5 5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。20

20、0000)(!21)()()(xxxyxxxyxyxy解解.在工作点在工作点(x0,y0)处展开泰勒级数处展开泰勒级数)(sin000 xxxE 2.2.2 2.2.2 非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化（举例（举例2 2）rQShSdtdh1 hhhhdthdhhh 00021|0)(1)21()(0000rrQQShhhSdthhd SQhSdtdhr000 rQShhSdthd 120 解解.在在 处泰勒展开，取一次近似处泰勒展开，取一次近似 0h代入原方程可得代入原方程可得在平衡点处系统满足在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程上两式相减可得线性化方程 例例6

21、6 某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程 式中式中 S 为液位容器的横截面积。若为液位容器的横截面积。若 h 与与 Q 在其工作点附近做微量在其工作点附近做微量 变化，试导出变化，试导出 h h 关于关于 Q Q 的线性化方程。的线性化方程。复习拉普拉斯变换有关内容复习拉普拉斯变换有关内容（8 8）（5 5）复位移定理）复位移定理证明：证明：)()(AsFtfeLtA dtetfestAt 0)(左令令sAs dtetfts 0)()(sF 右 dtetftAs 0)()()(AsF ate L teLt-5cos3 )t(eLt35cos2222155 sss-sse 例例7 7例例8 8例例9 9 22533 ss3225 ssss atetL 1asss 1 )(teLt155cos2 22215522 ssesas 1 线性定常微分方程求解线性定常微分方程求解微分方程求解方法微分方程求解方法