控制系统的状态空间描述

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1、1.1 状态向量与状态空间状态向量与状态空间一、状态的定义一、状态的定义 1、定义、定义所谓系统状态，是指在描述对象运动的所有变量中，必定可以找到数目最所谓系统状态，是指在描述对象运动的所有变量中，必定可以找到数目最小的一组变量，它们足以描述对象的全部运动。小的一组变量，它们足以描述对象的全部运动。状态变量状态变量:该变量组中的每个变量称为状态变量。该变量组中的每个变量称为状态变量。2、有关定义的两点说明、有关定义的两点说明1）足以描述系统全部运动的含义：只要确定了这组变量在某一初始时刻）足以描述系统全部运动的含义：只要确定了这组变量在某一初始时刻 的值，并且确定了从这一初始时刻起（的值，并且

2、确定了从这一初始时刻起（）的输入量函数，）的输入量函数，则对象的全部变量在此刻和则对象的全部变量在此刻和（）的运动都唯一确定了。）的运动都唯一确定了。0tt0tt0tt2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。二、状态向量二、状态向量若一个系统有若一个系统有n个状态变量：个状态变量：，用这，用这n个状个状态变量作为分量所构成的向量态变量作为分量所构成的向量 ，就称为该系统的状态向量，用，就称为该系统的状态向量，用 表示。表示。)(,),(),(21txtxtxn)(tx)(tx)()()()(21txtxtxtnx

3、三、状态空间三、状态空间 状态空间：所有状态空间：所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。维状态空间。状态轨迹：在状态空间中，时间状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间是一个参变量，某一时间t的状态是状的状态是状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。态轨迹，有时也称作相轨迹。四、输入向量和输出向量四、输入向量和输出向量 输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量 。)(tu)(

4、)()()(21tutututlul 输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量 。)(ty)()()()(21tytytytmym1、系统状态变量的选取不是唯一的，但状态的数目是一定的；、系统状态变量的选取不是唯一的，但状态的数目是一定的；2、系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。、系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的

5、线性组合。在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合。1.2 状态空间表达式状态空间表达式一、状态方程一、状态方程 1、状态方程的定义、状态方程的定义所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。一阶微分方程组。2、状态方程的标准形式、状态方程的标准形式),;,(),;,(),;,(212121212222121111lnnnnlnlnuuuxxxfxdtdxuuuxxxfxdtdxuuuxxxfxdtdx 向量矩阵形式为向量矩阵形式为)(),()(tttuxfx)()()()(:

6、)(21txtxtxttnxx状态向量状态向量luuutt21)(:)(uu输入向量输入向量)()()()(:)(21nfffff1n维的函数向量维的函数向量 3、线性定常系统的状态方程、线性定常系统的状态方程lnlnnnnnnnnllnnllnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111 向量矩阵形式为向量矩阵形式为)()()(tttBuAxxnnnnnnaaaaaaaaa212222111211Ann维的系数矩阵维的系数矩阵nlnnllbbbbbbbbb212222111211B

7、ln维的系数矩阵维的系数矩阵二、输出方程二、输出方程 1、输出方程的定义、输出方程的定义所谓输出方程，就是描述系统输出量与状态和输入量之间相互关系的代数所谓输出方程，就是描述系统输出量与状态和输入量之间相互关系的代数方程组。方程组。2、输出方程的标准形式、输出方程的标准形式),;,(),;,(),;,(2121212122212111lnmmlnlnuuuxxxgyuuuxxxgyuuuxxxgy 向量矩阵形式为向量矩阵形式为)(),()(tttuxgy)()()()(:)(21tytytyttmyy输出向量输出向量)()()()(:)(21nggggg1m维的函数向量维的函数向量 3、线性定

8、常系统的输出方程、线性定常系统的输出方程lmlmmnmnmmmllnnllnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111 向量矩阵形式为向量矩阵形式为)()()(tttDuCxy mnmmnnccccccccc212222111211Cnm维的系数矩阵维的系数矩阵mlmmllddddddddd212222111211Dlm维的系数矩阵维的系数矩阵三、状态空间表达式（状态空间模型）三、状态空间表达式（状态空间模型）线性定常系统的状态空间模型：将状态方程和输出方程合在一起，即线性定常系统

9、的状态空间模型：将状态方程和输出方程合在一起，即)()()()()()(ttttttDuCxyBuAxx 或或DCBA四、状态空间模型与传递函数的比较四、状态空间模型与传递函数的比较G(s)U(s)Y(s)状状 态态 方方 程程 输输 出出 方方 程程 nxxx21传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的变化，我们称之为外部描述。变化，我们称之为外部描述。状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，

10、用状态方程描述；第二段是系统内部的状态引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。较之传递函数，状态空间描述的优点有：较之传递函数，状态空间描述的优点有：3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数值计算。值计算。2、由前面的分析可以看出，对于不

11、同维数的系统，可以采用同一表达方、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统，只是计算复杂一些而已。统，只是计算复杂一些而已。1、可以方便地描述多输入、可以方便地描述多输入多输出系统；多输出系统；五、状态空间模型的结构图五、状态空间模型的结构图ADBC x uxy六、状态空间表达式的非唯一性六、状态空间表达式的非唯一性假设假设 和和 是我们为某一系统选定的两组不同状态变量，是我们为某一系统选定的两组不同状态变量，和和 之间有之间有一一对应的变换关系

12、即可逆变换关系，对于线性系统而言，这种关系就是一一对应的变换关系即可逆变换关系，对于线性系统而言，这种关系就是线性非奇异变换，既线性非奇异变换，既 与与 之间必有关系之间必有关系x*xx*xx*x*Pxx 其中其中 为非奇异常数矩阵为非奇异常数矩阵P设以设以 为状态向量时系统的状态空间表达式为为状态向量时系统的状态空间表达式为xDuCxyBuAxx 而以而以 为状态向量时系统的为状态向量时系统的状态空间表达式为状态空间表达式为*xuDxCyuBxAx*下面我们来推导两者之间的对应关系。下面我们来推导两者之间的对应关系。DuCxyBuAxx*Pxx DuCPxyBuAPxxP*DuCPxyBuP

13、APxPx11*DDCPCBPBAPPA*1*1*设以设以 为状态向量时系统的为状态向量时系统的状态空间表达式为状态空间表达式为xDuCxyBuAxx 表明，在同一系统中，不同的状态向量所对应的系数表明，在同一系统中，不同的状态向量所对应的系数矩阵之间有相似变换关系。矩阵之间有相似变换关系。APPA1*C Ccui1uRL2u例例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。解：解：（1）描述系统的微分方程为）描述系统的微分方程为 dttduCtitutudttdiLtRi)()()()()()(212 12211111xCxuLxLxLRx选择系统

14、的状态变量为选择系统的状态变量为 ，输入，输入 ix 1)(22tux 1uu 写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为uLxxCLLRxx 010112121输出输出 ，写成向量矩阵形式为，写成向量矩阵形式为2uy 2110 xxy （2）描述系统的微分方程为）描述系统的微分方程为 dtdqtituCqdttdiLtRi)()()()(1 1221111xxuLxLCxLRx选择系统的状态变量为选择系统的状态变量为 ，输入，输入 ix 1qx 21uu 写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为uLxxLCLRxx 010112121输出输出 ，写成向量矩阵形式为，写成向量矩阵形式为221xCCquy

15、 2110 xxCy qiuicxx,011,011LCLRCLLRAA C1001Pcu1i2i1u1R2R1L2LC2u例例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。22221111121iRdtdiLuudtdiLiRuidtduCiccc 122223121,uuiRuyixixuxc 32212231111111221111111xLRxLdtdixuLxLRxLdtdixiCiCdtduxc 32121321222111321000100101110 xxxRyuLxxxLRLLRLCCxxx1.3 传递函数矩阵传递函数矩阵例：系统如

16、下图所示，输入为例：系统如下图所示，输入为 和和 ，输出为，输出为 。1u2u2x1uR2uRRCC1x2x1i2i3i解：列写回路的电压方程和节点的电流方程解：列写回路的电压方程和节点的电流方程322211223122111idtdxCiidtdxCixuRixRxxuRix选取选取 为状态变量，输出为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为，得系统的状态空间表达式为21,xx2xy 222121211121112xyuRCxRCxRCxuRCxRCxRCx设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得)(1)(2)(2)()(1)(1)(2)

17、(22121211suRCsxRCsxRCsxssuRCsxRCsxRCsxs消去消去 并整理得并整理得)(1sx)(342)(341)(222212222suRCssCRRCssuRCssCRsx写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为)()(342341)(212222222susuRCssCRRCsRCssCRsx)()()(ssGsuy其中其中:)(su 输入变量的输入变量的Laplace变换象函数变换象函数:)(sy 输出变量的输出变量的Laplace变换象函数变换象函数)()(2sxs y)()()(21sususu:)(sG 传递函数矩阵传递函数矩阵一、传递函数矩阵一、传递函数矩阵)

18、()()()(21sususulsu)()()()(21sysysymsy:)(tu 维输入向量维输入向量l:)(ty 维输出向量维输出向量m)()()()()()()()()()(212222111211ssssssssssGmlmmllggggggggg则对应的系统的传递函数矩阵为则对应的系统的传递函数矩阵为)()()()()()()(2211sussussussyliliiiggg)(0)()()(jkujiijksusys所有g)(sGuy多输入量多输出量的对象常用复线框来表示多输入量多输出量的对象常用复线框来表示二、传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系二、传递函数矩阵与状态空间表达

19、式之间的关系DuCxyBuAxx)()()()()()(1ssssssuDxCyuBAIx)()()()()()(11ssssssuDBAICuDuBAICyDBAIC1)()(ssG)()()()()()(sssssssuDxCyuBxAx)()()()()()(ssssssuDxCyuBxAI三、传递函数矩阵的不变性三、传递函数矩阵的不变性对于一个系统而言，其状态空间表达式不是唯一的，但其传递函数矩阵是对于一个系统而言，其状态空间表达式不是唯一的，但其传递函数矩阵是不变的。不变的。DuCxyBuAxx*1*)()(DBAICssGuDxCyuBxAx*DBPAPPICP111)(sDBPP

20、AIPCP111)(sDBPPAICPP111)(sDBAIC1)(s)(sG例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。DuCxyBuAxx其中其中100003,121112,1101,3210DCBA解：解：DBAIC1)()(ssG10000311013211211121ss10000311012131211122312ssss1000032631222632312ssssssss1132122111)2(3ssssssss例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。DuCxyBuAxx其中其中1000,100011,200101,220233245DCB

21、A解：解：DBAIC1)()(ssG1)(1 AI s）先求（220233245)(ssssAIAIAIAIssadjs)()(1)3)(1()5(26)2(2)2)(5()2(3)1(2)1(4)2)(1()2()1(12sssssssssssss)(2sG阵）求系统的传递函数矩（DBAIC1)()(ssG1000200101)2()1()3)(1()5(26)2(2)2)(5()2(3)1(2)1(4)2)(1(1000112sssssssssssss)2()1(496)1(2)2()1(4)1(1223222sssssssss四、组合系统的状态空间表达式和传递函数矩阵四、组合系统的状态空

22、间表达式和传递函数矩阵 1、并联连接、并联连接1111111111uDxCyuBxAx 2222222222uDxCyuBxAx uDDxxCCyuBBxxA00Axx21212111212121)()()(21sGsGsG)()()()(21sGsGsGsGn 2、串联连接、串联连接1111111111uDxCyuBxAx 2222222222uDxCyuBxAx uDDxxCCDyuDBBxxACB0Axx212212112121212121)()()(12sGsGsG)()()()()(121sGsGsGsGsGnn 3、反馈连接、反馈连接 11111111xCyuBxAx 222222

23、22xCyuBxAx 21112121221121xx0Cyu0BxxACBCBAxx)()()()()()()(11sQsFsQsQsFsQsHmlIIyu 在反馈连接中，若在反馈连接中，若 则称为单位矩阵反馈（单位反馈）则称为单位矩阵反馈（单位反馈）或直接反馈。或直接反馈。,)(IsFlm且1k1k11s11s11s)(1su)(2su)(1sy)(2sy控制器控制器被控被控对象对象1001)(sGc1001)(sH1111011)(ssssGP)()()()()()(12sGsGsHsGsGsGcPcP I1001111101110011001111101110011ssssss1111

24、0111111101111ssssss21)2(10212ssss)(21)(11sussy)(21)()2(1)(2122sussusssy1.4 根据系统的微分方程建立状态空间表达式根据系统的微分方程建立状态空间表达式一、微分方程右边输入函数中不含有导数项的情况一、微分方程右边输入函数中不含有导数项的情况)()()()()(01)1(1)(tbutyatyatyatynnn)1(21nnyxyxyxbuxaxaxabuyayayayxxyxxyxnnnnnn12110)1(110)(3221 1xy ubxxxaaaxxxnnn 000000102111021nxxxy21001二、微分方

25、程右边输入函数中含有导数项的情况二、微分方程右边输入函数中含有导数项的情况ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(uuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnnn12)2(1)1(0)1(111011201uxaxaxauuuuyxuxuuyxuxuyxnnnnnnnnn121101)2(2)1(1)(0)(231)2(0)2(21201uxy01uxxxxaaaaxxxxnnnnnnn1211211210121100001000010uxxxxyn032100011.5 根据系统的传递函数建立状态空间表达式根据系统的传递函数建立状态空间表达式一、直接分解

26、（虚拟输出法）一、直接分解（虚拟输出法）实现：由输入输出模型建立状态空间模型的过程称为实现。实现：由输入输出模型建立状态空间模型的过程称为实现。最小实现：维数最小的实现。最小实现：维数最小的实现。本节讨论单输入单输出系统的几种实现方法，即采用分解的方法，将一个本节讨论单输入单输出系统的几种实现方法，即采用分解的方法，将一个n 阶系统分解成阶系统分解成 n 个一阶系统。传递函数的分解有三种方法：直接分解个一阶系统。传递函数的分解有三种方法：直接分解(虚拟输出法）、串联分解和并联分解。虚拟输出法）、串联分解和并联分解。这种方法适用于传递函数的分母和分子多项式没有分解成因式的形式。这种方法适用于传递

27、函数的分母和分子多项式没有分解成因式的形式。01220122)()()(asasabsbsbsUsYsG)()(01220122sUasasabsbsbsY 引入虚拟输出量引入虚拟输出量)(sM)()()()(1)(01220122sMbsbsbsYsUasasasM)()()()()()()()(012012tmbtmbtmbtytutmatmatma )(),(21tmxtmx令)()()()()(12222211122001021222221120221tuabxababxababxbxbxbtytuaxaaxaaxxx)(1010221212021tuaxxaaaaxx)(222122

28、112200tuabxxababababy)(222121tuabxxccy1c2b2c21aa20aa21a1x2xuy01110111)(asasasabsbsbsbsGnnnnnnnnuabxxxababababababyuaxxxaaaaaaxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnn211111002111021)()()(100000010 ，按这种方法得到的状态空间模型，通常称为能控标准型。，按这种方法得到的状态空间模型，通常称为能控标准型。时当1na二、串联分解二、串联分解 这种方法适用于传递函数已被分解为因式的形式，如这种方法适用于传递函数已被分解为因式的形式，如221122)

29、()()(pszspszsabsUsYsG是实常数。式中2121,ppzz22pz 2p22ab2xuy11pz 1p1x)1)(1()()()(22211122221122pspzpspzabpszspszsabsUsYsGuababxxppzpxx2222212221210uabxxpzpzy22212211)()(三、并联分解（部分分式法）三、并联分解（部分分式法）这种方法适用于传递函数的分母多项式已经分解为因式的形式，如这种方法适用于传递函数的分母多项式已经分解为因式的形式，如)()()()()()(21npspspssQsUsYsG 1、系统极点两两互异、系统极点两两互异niiips

30、kdsG1)()()(limsGpskipsii ni,2,1uy1k1p1xnknpnx2k2p2xduy1k1p1xnknpnx2k2p2xda图b图 (1)、根据图、根据图 a 可写出状态方程和输出方程为可写出状态方程和输出方程为uxxxpppxxxnnn11100000212121duxxxkkkynn2121 (2)、根据图、根据图 b 可写出状态方程和输出方程为可写出状态方程和输出方程为ukkkxxxpppxxxnnnn 21212121000000duxxxyn21111 2、系统极点有重根、系统极点有重根11221113)()(pskpskpskdsGniii)()(limsG

31、pskipsii ni,4,3)()()!1(1lim211111sGpsdsdikiipsi 2,1i1x2xuy11k1pnknpnx3k3p3xd1p12kuxxxxppppxxxxnnn1110000000000001321311321duxxxxkkkkynn32131211 例例 已知控制系统的微分方程式为已知控制系统的微分方程式为uuuyyyy 4359,30a试写出系统的状态空间表达式。试写出系统的状态空间表达式。解：解：方法一、直接根据微分方程求解方法一、直接根据微分方程求解,51a,92a,10b03b,12b,41b030 b10221ab5011212aab4100112203aaabu4151953100010 xx x001y,30a方法二、根据传递函数求解方法二、根据传递函数求解,51a,92a,10b03b,12b,41b35914)()()(232ssssssUsYsGu100953100010 xx x141y