221等差数列新人教A版必修5

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1、v主讲老师 潘学国第一课时第一课时1.数列定义数列定义:按照一定顺序排成的一列数按照一定顺序排成的一列数,简记作简记作:an2.通项公式通项公式:数列数列an中第中第n项项an与与n之间的关系式。之间的关系式。3.数列的分类数列的分类(1)按项数分：按项数分：有穷数列，有穷数列，(2)按项之间的大小关系：按项之间的大小关系：递增数列，递增数列，递减数列，递减数列，无穷数列无穷数列摆动数列，摆动数列，常数列。常数列。4.数列的实质数列的实质5.递推公式递推公式:如果已知如果已知an的第的第1项项(或前或前n项项),且任一项且任一项an与它与它的前一项的前一项an-1(或前或前n项项)间的关系可用

2、一个公式来表示间的关系可用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式这个公式叫做数列的递推公式.在过去的三在过去的三百多年里，人们百多年里，人们分别在下列时间分别在下列时间里观测到了哈雷里观测到了哈雷慧星：慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（）你能预测出下一次的大致时间吗？2062相差相差76 通常情况下，从地通常情况下，从地面到面到10公里的高空，气公里的高空，气温随高度的变化而变化温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你符合一定的规律，请你根据下表估计一下珠穆根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的温度。朗玛峰峰顶的温度。8844.43米(2)28,21.5,15,

3、8.5,2,-24.减少减少6.5 高度高度(km)温度温度()12328 21.5157-11458.526-4.59-24（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062它们有什么共同特点？它们有什么共同特点？（2）28,21.5,15,8.5,2,-24（3）1，1，1，1，.共同特点：共同特点：从第从第2项起，每一项与它的项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。前一项的差等于同一个常数。)2(1ndaann即d=76d=-6.5d=0)1(1ndaann或它们是等差数列吗？它们是等差数列吗？(2)5，5，5，5，5，5，公差公差 d=0公差公差 d=2x(1)1,3

4、,5,7,9,2,4,6,8,10【说明【说明】数列数列 an 为等差数列为等差数列an+1-an=d(n11)(3).，xxxxx9753 在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：就会成为一个等差数列：（1）2，()，4 （2）-12，()，0 3-6 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成成等差数列，那么等差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项。即：。即：2baA212nnnaaa思思 考考数列数列 an 为等差数列为等差数列【说明【说明】1，4，7，10，13，16，(),(

5、)1(1)3nan你能求出该数列的通项公式吗？你能求出该数列的通项公式吗？2413a 3743123a 4107 3 1 3 3a 5131031 4 3a 思考思考:根据规律填空根据规律填空?20a要是有通项公式要是有通项公式该有多好啊！该有多好啊！19225820a推导一推导一如果一个数列如果一个数列是等差数列，它的公差是是等差数列，它的公差是d，那么，那么,1a,2a,3a,nadaa12daa12daa233addada12da21daa344ada 3da31nadna)1(1通项公式：.)1(1dnaan归纳得归纳得:21aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得叠

6、加得1(1)naand推导二推导二个)1(n通项公式：.)1(1dnaan.)1(1dnaan，nanda1例例1 1：(1)求等差数列求等差数列8，5，2，的第，的第20项；项；解：解：49)3()120(820 a(2)401是不是等差数列是不是等差数列-5，-9，-13，的项？，的项？如果是，是第几项？如果是，是第几项？解：解：,401,4)5(9,51nada因此，因此，)4()1(5401n解得解得100ndnaan)1(1,20,385,81nda用一下用一下例例2 2：在等差数列中在等差数列中,已知已知a5=10,a12=31,解：解：由题意可知由题意可知即这个等差数列的首项是即

7、这个等差数列的首项是-，公差是，公差是.求首项求首项a1与公差与公差d。dnaan)1(1114101131adad123ad 解得：解得：说明：说明：在等差数列中，首项在等差数列中，首项a1与公差与公差d是两个最基本是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量。减少计算量。例例3 3：某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.2元元/km，起步价，

8、起步价10元，即最初的元，即最初的4km（不含（不含4km）计费）计费10元如果某人元如果某人乘坐该市的出租车去往乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅处的目的地，且一路畅通，等候时间为通，等候时间为0，需要支付多少车费？，需要支付多少车费？解：解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加时，每增加1km，乘客需要支付，乘客需要支付1.2元元.所以，我们可以建立一个等差数列所以，我们可以建立一个等差数列an来计算车费来计算车费.令令a1=11.2，表示，表示4km处的车费，公差处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至那么当出租车行

9、至14km处时，处时，n=11，此时需要支付，此时需要支付车费车费 a11=11.2(111)1.2=23.2答：需要支付车费答：需要支付车费23.2元。元。思考题：思考题：1、第第1515届现代奥运会于届现代奥运会于19521952年在芬兰赫尔辛年在芬兰赫尔辛基举行，每基举行，每4 4年举行一次。奥运会如因故不能年举行一次。奥运会如因故不能举行，届数照算。举行，届数照算。（1 1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式。的通项公式。（2 2）20082008年北京奥运会是第几届？年北京奥运会是第几届？（3 3）20502050年举行奥运会吗？年举行奥

10、运会吗？2、梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽，最低一级宽110，中间还有中间还有10级，各级的宽度成等差数列级，各级的宽度成等差数列.计算计算中间各级的宽中间各级的宽.例例4 4：已知数列已知数列an的通项公式为的通项公式为an=pn+q，其中，其中p、q为常数且为常数且p0，判断这个数列是不是等差数列，并证明，判断这个数列是不是等差数列，并证明你的判断。你的判断。证法证法1：取数列：取数列an中的任意相邻两项中的任意相邻两项an与与an-1(n2)，则，则11()()nnaapnqp nq()pnqpnpqp p是一个与是一个与n无关的常数无关的常数 an是一个等差数列。

11、是一个等差数列。解：数列解：数列an是一个等差数列。是一个等差数列。证法证法2：取数列：取数列an中的任意相邻三项中的任意相邻三项an，an+1 ，an+2，则有则有an+an+2 =(pn+q)+p(n+2)+q =2pn+2p+2q =2p(n+1)+q =2an+1an是一个等差数列。是一个等差数列。【说明【说明】判断等差数列的方法：判断等差数列的方法：1、数列、数列 an 为等差数列为等差数列an+1-an=d(n11)2、数列、数列 an 为等差数列为等差数列212nnnaaa等差数列的图象等差数列的图象1（1）数列：）数列：-2，0，2，4，6，8，10，1234567891012

12、3456789100()naf n等差数列的图象等差数列的图象2（2）数列：）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100等差数列的图象等差数列的图象3（3）数列：）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100从函数的角度来看等差数列通项公式：从函数的角度来看等差数列通项公式：dnaan)1(1dand1，的一次式是关于nNndandan)(*1所以等差数列通项公式也可以表示为：所以等差数列通项公式也可以表示为：bknan)(1dabdk，通项公式：.)1(1dnaan直线的一般形式：直线的一般形式：ykxb故等差数列的图象为相应直

13、线上的点。故等差数列的图象为相应直线上的点。探究：探究：已知等差数列已知等差数列 中，公差为中，公差为d，则，则 与与 (n,m N*)有何关系？有何关系？解：由等差数列的通项公式知解：由等差数列的通项公式知 ，nanama，dmaam)1(1，dnaan)1(1，dmnaamn)(（这是等差数列通项公式的推广形式（这是等差数列通项公式的推广形式）.)(dmnaamn推广后的通项公式：推广后的通项公式：(n-m)d daamnmnaamn 例例5 5：在在等差数列等差数列an中中 (1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+q；(3

14、)若若a12=23，a42=143，an=263，求，求n.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0d=4,n=721.求等差数列求等差数列3，7，11，的第的第4，7，10项；项；2.100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，中的项？中的项？3.-20是不是等差数列是不是等差数列0，-，-7中的项；中的项；,154a,277a3910adnaan)1(1157)1(2100nn)(74727)1(020舍nn练一练练一练72练一练练一练4.4.在等差数列中在等差数列中471(1)10,19,.aaad已知求 与11,3ad3912(2)9,3aaa已知，求111,1ad 120a

15、探究：探究：求出下列数列的公差求出下列数列的公差.（1）1，6，11，16，（2）-8，-6，-4，-2，（3）10，5，0，-5，（4）21，19，17，15，（5）3，3，3，3，【说明说明】已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，d是公差，则：是公差，则：当当d=0时，时，an为常数列；为常数列；当当d0时，时，an为递增数列；为递增数列；当当d0时，时，an为递减数列。为递减数列。思考：思考：上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？d=5d=2d=-5d=-2d=0 ,nmnpqam n p qNmnpqaaaa 在在等等差差数数列列中中，若若则

16、则例例6 6：在等差数列在等差数列an中，中，a619,a15=46，求，求a4+a17的值的值22mnpmnpaaa特特别别地地，若若，则则 解：解：a6 a1 +5d=19，a15=a1+14d=46，a6 +a15 =2a1 +19d=19+46=65，a4+a17=a1 +3d+a1 +16d =2a1 +19d =65.【说明【说明】练习练习:在等差数列在等差数列an中，中，(1)已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求：，求：a1+a20；(2)已知已知 a3+a11=10，求：，求：a6+a7+a8；(3)已知已知 a2+a14=10，能求出，能求出a16吗？吗？1015(

17、4)已知已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.d=_2a14=_3d=2a14=31或或不能不能例例7 7：在等差数列在等差数列an中，中，a158,a60=20，求，求a75的值的值 所以所以a15，a30，a45，a60,a75也成等差数列，其公也成等差数列，其公差为差为D，a15为首项，为首项，a60为第四项，则有为第四项，则有 a60 -a15=3D=208=12，D=4,a75=a60 +D=24.【说明【说明】解：解：因为因为 an是等差数列，是等差数列，等差数列等差数列an每隔一定距离抽取一项所组成的每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成

18、等差数列。即：数列仍成等差数列。即：am，am+k，am+2k，成等差数列。成等差数列。例例8 8：三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积也为积也为12，求此三数，求此三数.解：设这三个数分别为解：设这三个数分别为a-d，a，a+d 则则(a-d)+a+(a+d)=12，即，即3a=12 a=4 又又(a-d)(a+d)=12，即，即(4-d)(4+d)=12 解得解得 d=2 当当d=2时，这三个数分别为时，这三个数分别为2，4，6 当当d=-2时，这三个数分别为时，这三个数分别为6，4，2练习：练习：已知三个数成等差数列已知三个数成等差数列,其和

19、为其和为15,其平方和为其平方和为83,求此三个数求此三个数?dnaan)1(1daann1）（2ndmnaamn)(300 83+5（n-1）5001 1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1，则则 a 等于（等于（)A.1 1 B.-1 -1 C.-D.311152.在在数列数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=.(-3a-5)-(a-6-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：提示：提示：d=an+1-an=-43.在在等差数列等差数列an中中a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有 多少项在多少项在300到到500之间？之间？-35提示：提示：52845244 nn=45，46，8440