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1、第四节第四节 高阶导数高阶导数本节要点本节要点 本节引入高阶导数的概念及计算方法本节引入高阶导数的概念及计算方法,并给出高阶导并给出高阶导数的莱布尼兹公式数的莱布尼兹公式.高阶导数高阶导数记为记为 或或0()fx0002222dd(),.ddxxxxxxyfxyxx 若若 在在 处都可导处都可导,则由极限则由极限,()xI fx x0()()lim,xfxxfxxIx 则很自然地会考虑函数则很自然地会考虑函数 的可导性的可导性.若若 在在 处可导处可导,f f 0 x 若函数若函数 在区间在区间 中点点可导中点点可导,即即()yf x(),fD II()fx0 x()f x0 x则称则称 在在
2、 处的导数为处的导数为 在在 处的处的二阶导数二阶导数,2222dd(),(),.ddyfxyfxxx由定义由定义,知知()().fxfx同样可以定义三阶、四阶导数同样可以定义三阶、四阶导数,及更高阶的导数及更高阶的导数.(4)()(),(),().nfxfxfx确定了一个以确定了一个以 为定义域的函数为定义域的函数,称其为称其为 的的二阶导二阶导()f xI函数函数,简称为简称为二阶导数二阶导数.记为记为 按照定义按照定义,我们有我们有 1,2nnfxfxn为了记号上的方便为了记号上的方便,我们约定我们约定 0.fxf x例例1 求函数求函数2exy 解解 22 e,xyx222 12e,x
3、yx 23128e.xyxx的三阶导数的三阶导数.例例2 求函数求函数1arctanyx解解 222111,111yxxx 例例3 求求 的的 阶导数阶导数.exy n e,e,e.nxxxyyy解解的二阶导数的二阶导数.222.1xyx例例4 求求 的的 阶导数阶导数.sinyxn解解 cossin,2yxx cossin2,22yxx sin.2nyxn例例5 求求ln 1yx的的 阶导数阶导数.n解解 1,1yx 一般一般,若若 则则ln,yabx 111!.nnnnnbyabx 111!,.1nnnnyx21,1yx 31 2,1yx 例例6 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐
4、函数sin01yxy解解 方程两边对方程两边对 求导求导,得得x1cos.yy y 因因 ,所以所以 即有即有11cos0,y1.1cosyy y 的二阶导数的二阶导数.上式两边继续求导上式两边继续求导,得得23sinsin.1cos1cosyyyyyy 例例7 求由方程求由方程 确定的隐函数确定的隐函数 y57230yyxx解解 方程两边对方程两边对 求导求导,得得x整理后有整理后有00,xy46521210,y yyx 641210,25xyy 0 x 在在 的二阶导数的二阶导数.因因即有即有 10.2y对对式继续求导式继续求导,得得234520521260,yyy yyx将将 代入代入得
5、得,10,0,2xyy 00.y 上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数,在在 设函数设函数 和和 为二阶可导函数为二阶可导函数,且且 xt yt 232d.dttttyxt 但更多的情况下但更多的情况下,我们宁可采取直接求导的方法来求我们宁可采取直接求导的方法来求二阶可导的条件下二阶可导的条件下,我们建立相应的的二阶导数公式我们建立相应的的二阶导数公式.出高阶导数出高阶导数,而不是死记这个烦琐的公式而不是死记这个烦琐的公式.0,t则由方程所确定的函数的二阶导数为则由方程所确定的函数的二阶导数为例例8 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程sin
6、1 cosxa ttyat所确定的函数的二阶导数所确定的函数的二阶导数.解解 1 cosdsincot,d1 cos2sinatyattxata tt22cotd2dsintyxa tt2,.tkkZ221csc12 2,1 cos1 costatat 阶导数的莱布尼茨公式阶导数的莱布尼茨公式:设设 n(),()uu x vv x 1212nnnnn nuvuvnuvuv若记若记 则有则有:0,uu 0.nnn kkknkuvC uvxn在在 处有处有 阶导数阶导数,则则:121.!n kknn nnnkuvuvk例例9 已知已知22e,xyx解解 设设 22e,xuvx 22 e0,1,2,20,kkxuk代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式,得得20202219218220 192 e20 2 e22 e22!xxxyxx 2,2,03,4,20,kvx vvk20222 e2095.xxx求求20.y则则
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