F第七章一阶电路二阶电路(第五版)

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1、南昌航空大学电工电子教研部第七章第七章 一阶电路一阶电路和二阶电路的时域分析和二阶电路的时域分析教学目的和要求：教学目的和要求：1、熟练掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应的分、熟练掌握一阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应的分析与计算；析与计算；2、理解时间常数及固有频率的概念；、理解时间常数及固有频率的概念；3、理解暂态与稳态的概念；、理解暂态与稳态的概念；4、掌握二阶电路方程的建立；、掌握二阶电路方程的建立；5、理解、理解RLC电路零输入响应过阻尼、欠阻尼及临界阻尼情况。电路零输入响应过阻尼、欠阻尼及临界阻尼情况。重点：重点：1、换路定理及初始值的求解；、换路定理及初始值的求解

2、；2、一阶电路方程的建立；、一阶电路方程的建立；3、直流激励下的一阶电路三要素法；、直流激励下的一阶电路三要素法；4、阶跃响应与冲激响应；、阶跃响应与冲激响应；5、RLC电路零输入响应过阻尼、欠阻尼及临界阻尼情况电路零输入响应过阻尼、欠阻尼及临界阻尼情况难点：难点：1、初始值的求解、初始值的求解 2、时间常数的求解、时间常数的求解 3、阶跃响应与冲激响应、阶跃响应与冲激响应“稳态稳态”与与“暂态暂态”的概的概念念:稳定状态：稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。例如直流电路中电压、电流大小和方向都不变，例如直流电路中电压、电流大小和方向都

3、不变，交流电路中大压和电流的大小不变。交流电路中大压和电流的大小不变。7-1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件动态元件动态元件:电压和电流的约束关系是通过导数或积分电压和电流的约束关系是通过导数或积分表达的元件。表达的元件。一、一阶动态电路：一、一阶动态电路：电路中仅含有电路中仅含有含一个动含一个动态元件的电路态元件的电路。所建立的电路方程是一阶所建立的电路方程是一阶线性常微分方程。线性常微分方程。当电路中含有当电路中含有n个动态元件时，建立的方程为个动态元件时，建立的方程为n阶阶微分方程，成为微分方程，成为n阶动态电路。阶动态电路。二、换路：二、换路：电路结构或电路参数发

4、生突变而引起电路变化统称电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。为换路。在动态电路中，换路时电路一般不能从原状态突变到另在动态电路中，换路时电路一般不能从原状态突变到另一状态，需要经历一个过程，即一状态，需要经历一个过程，即过渡过程过渡过程（暂态过程暂态过程）1.电路接通、断开电源电路接通、断开电源2.电路中电源的升高或降低电路中电源的升高或降低3.电路中元件参数的改变电路中元件参数的改变三、换路定律三、换路定律设：设：t=0 时换路时换路00-换路前瞬间换路前瞬间-换路后瞬间换路后瞬间uc0EKR+_CuC意义：意义：能量不能发生突变能量不能发生突变若若ic有限，则：有限，则：u

5、c(o+)=uc(o-)1、引例、引例1:图示电路图示电路t=0，K闭合，有闭合，有tccd)(iC1)t(ut0，K在在“1”，有有 Uuc)0(tccdiCdiC00)(1)(1tccdiCu0)(1)0(00)(1)0()0(diCuuccc或或 q(o+)=q(o-)意义：意义：能量不能发生突变能量不能发生突变2、引例、引例2:图示电路图示电路若若uL有限，则：有限，则：iL(o+)=iL(o-)t=0，K闭合，有闭合，有tLLd)(uL1)t(it0，K打开，有打开，有 0)0(LitLLduLduL00)(1)(1tLLduLi0)(1)0(00)(1)0()0(duLiiLLL或

6、或 (o+)=(o-)在换路前后电容电流和电感电压为有限值的在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。举例举例:图示电路，图示电路，t0，开关，开关K闭合，电路稳定；闭合，电路稳定；t=0时刻，开时刻，开关关K打开，求打开，求uc(0+)和和iL(0+)。3、换路定律：、换路定律：t0，开关，开关K闭合，电路稳定，有闭合，电路稳定，有uc(o-)=10Vuc(o+)=uc(o-)=10ViL(o-)=5A根据换路定律，有根据换路定律，有iL(o+)=iL(o-)=5A（1）若）若ic有限，则：有限，则：

7、uc(o+)=uc(o-)或或q(o+)=q(o-)（2 2）若）若u uL L有限，则：有限，则：i iL L(o(o+)=i)=iL L(o(o-)或或 (o(o+)=)=(o(o-)四四 初始值的确定初始值的确定求解要点求解要点：2.)0()0()0()0(LLCCiiuu4.根据电路的基本定律和根据电路的基本定律和0+时刻等效电路，确定其时刻等效电路，确定其它电量的初始值。它电量的初始值。初始值初始值（起始值）：（起始值）：电路中电路中 u、i 在在 t=0+时时 的数值。的数值。直接利用换路定律求解；直接利用换路定律求解；3.画出画出0+时刻等效电路时刻等效电路-电容当成恒压源电容当

8、成恒压源 电感当成恒流源电感当成恒流源)0(0cuE)0(LSiI1、画出、画出0-时刻的电路图，并计算时刻的电路图，并计算uc（0-）和）和iL（0-）已知已知:电压表内阻电压表内阻H1k1V20LRU、k500VR设开关设开关 K 在在 t=0 时打开。时打开。求求:K打开的瞬间打开的瞬间,电压表两的电压表两的 电压。电压。解解:换路前换路前mA20100020)0(RUiL(大小大小,方向都不变方向都不变)换路瞬间换路瞬间mA20)0()0(LLii例例1 1K.ULVRiLt=0+时的等时的等效电路效电路mA20)0()0(LLiiVLVRiu)0()0(V10000105001020

9、33VmA20)0(LSiIVSI注意注意:实际使用中要加保护措施实际使用中要加保护措施KULVRiL已知已知:K 在在“1”处停留已久，在处停留已久，在t=0时合向时合向“2”求求:LCuuiii、21的初始值，即的初始值，即 t=(0+)时刻的值。时刻的值。例例3 3 iE1k2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2kmA5.1)0()0(11RREiiLV3)0()0(11RiuC解：解：iE1k2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2k换路前的等效电路换路前的等效电路ER1+_RCuR21i）（0Cut=0+时的等效电路时的等效电路mA5.1)0()0()0(1LLiiim

10、A3)0()0(22RuEiCmA5.4)0()0()0(21iiiV3)0()0(11RiEuL)0(LiE1k2k+_R2R1i1i2i3V1.5mA+-Lu计算结果计算结果电量电量iLii 12iCuLu0t0tmA5.1mA5.4mA5.1mA5.10mA3V3V3V30iEk2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2k求求ic(o+)、u L1(o+)、u L2(o+)。例例:图示电路，图示电路，t0，K开，电路稳定，开，电路稳定，t=0，K闭。闭。解：解：t0，K开，开，电路稳定，有电路稳定，有0)0(1iAi3)0(2Vuc18)0(t=0，K闭，有闭，有Vuucc18)0(

11、)0(12(0)0,(0)3iiA(0)1ciA2(0)9LuV ci1(0)15LuV2Lu1Lu1Lu2Luci0:t等效电路124,2sIA RR 1(0)Ri例例 图示电路，图示电路，开关闭合已久，开关闭合已久，求开关打开瞬间电阻求开关打开瞬间电阻R1上的电流上的电流。K KiR1R1ISC C1 1C C2 2LR22121(0)0,(0)42cCSUUI RV1R1(0)1RiA解：开关闭合时有解：开关闭合时有1(0)2,2LSiIA开关打开后等效电路如图开关打开后等效电路如图电阻电阻 电流电流iR1R1ISR24V4V2A2A0V0V0:t等效电路练习练习:图示电路，图示电路，t

12、0，K闭，电路稳定，闭，电路稳定，t=0，K开。开。求各元件电流、电压初始值求各元件电流、电压初始值。iLiC+uC -ic(o+)+u L -+uR -解：解：t0，K闭，闭，电路稳定，有电路稳定，有AiL1)0(Vuc8)0(t=0，K开，有开，有Vuucc8)0()0(AiiLL1)0()0(0)(0)1cLiiA (0)8RuV(0)0Lu2(0)0u2(0)0i0:t等效电路 1、零输入响应（电容、零输入响应（电容放电）放电）激励为零，由电路初始状激励为零，由电路初始状态产生的响应。态产生的响应。一、一、RC电路电路+uR -i it0，K在在2，有有0)()(tutuRcdttdu

13、RCtucR)()(0)()(dttduRCtucc01RCPRCP1RC令PtcAetu)(RCtAeRCteU0tceUtu0)(teRUti0)(7-2 一阶电路的经典分析法一阶电路的经典分析法讨论：讨论：1、在换路后，、在换路后，RC电路中电压、电路中电压、电流随指数变化；电流随指数变化；2、指数变化的速率取决与、指数变化的速率取决与；t=:uc=0.368Uot=2:uc=0.135Uot=3:uc=0.05Uot=4:uc=0.018Uot=5:uc=0.007UotceUtu0)(teRUti0)(=RC （时间常数）（时间常数）3、电路的过渡过程一般取：、电路的过渡过程一般取：

14、（3-5）。放电过程中，电容不断放出能量并为电阻所消耗；最后，放电过程中，电容不断放出能量并为电阻所消耗；最后，原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。20220022020100221021)(CUeCUdteRURdteRURdttiWtRCtRCtRCRi i+uc-初始状态为零，由激励所产生的响应。初始状态为零，由激励所产生的响应。2、零状态响应、零状态响应t0，K在在2，有有ccocututu)()(sccIRtudttduC)()(01RCPRCP1PtcoAetu)(tsceIti)(scRIu*sPtcRIAe

15、tu)(RC（齐次方程通解）（齐次方程通解）（非齐次方程特解）（非齐次方程特解）)1()(tsceRItu 充电过程中，电源供给的能量一部分转换成电场能量储存充电过程中，电源供给的能量一部分转换成电场能量储存于电容中，一部分被电阻转变为热能消耗。于电容中，一部分被电阻转变为热能消耗。22220102210)21()(stRCstRCsRCUeRCRURdteRURdttiW3、全响应、全响应激励与非零初始状态作用于电路，共同所产生的响应。激励与非零初始状态作用于电路，共同所产生的响应。例：例：已知：已知：t0，i(t)和和uC(t)。=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应零输入响应零输入

16、响应tcczieutu)0()(tzieiti)0()(306te30te零状态响应零状态响应)1(10)(30tczsetu3035)(tzseti全响应全响应)()()(tututuczsczic)1(1063030ttee041030tet03230tet)()()(tititizszi1、零输入响应、零输入响应二、二、RL电路电路iL2、零状态响应、零状态响应全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应iLt0，K在在2，有有0)()(tRidttdiLLL0 RLPLRPPtLAeti)(tseRURLt0，K在在1，有有sLLUtRidttdiL)()(RUAetisP

17、tL)()1(/tseRU7-3 一阶电路一阶电路“三要素三要素”分析法分析法全响应全响应)()()(tututuczsczic)1(1063030ttee30)106(10te令换路后到达稳态时令换路后到达稳态时t=,称为稳态值。上式可以写为：称为稳态值。上式可以写为：tCCCeuuu)()0()(即即uc表达式仅与三个量有关。其他量表达式也是这样。表达式仅与三个量有关。其他量表达式也是这样。说明：说明：1、应用条件：、应用条件：一阶电路；开关激励一阶电路；开关激励 2、时间常数计算：、时间常数计算：三要素公式三要素公式:时间常数时间常数f()稳态值稳态值其中：其中：f(0+)初始值初始值

18、teffftf)()0()()(RCRC电路：RLRL电路：解：解：teuuuuCCCC )()0()(cuCi2i电路如图，电路如图，t=0时合上开关时合上开关S，合，合S前电路已处于前电路已处于稳态。试求电容电压稳态。试求电容电压 和电流和电流 、。)0(CuV54106109)0(33 CuV54)0()0(CCuut=0-等效电路等效电路)0(Cu9mA+-6k RS9mA6k 2 F3k t=0Ci2iCu+-C R)(cu由换路后电路求稳态值由换路后电路求稳态值)(cuV18103636109)(33 Cus3630104102103636 CR)(Cut 电路电路9mA+-6k

19、R 3k t=0-等效电路等效电路)0(Cu9mA+-6k RV54)0(CuV18)(Cus3104 Ve3618e)1854(182503104ttCu ttuCiCC250e)250(36102dd6 Ae018.0t250 18V54VtCuOA23212)0(LiA2)0()0(LLii用三要素法求解用三要素法求解解解:。和和电电压压LLui例例2:t=0等效电路等效电路Li2 1 3AR12 由由t=0等效电路可求得等效电路可求得t=03ALuR3IS2 1 1H_+LSR2R12 Lit=03ALuR3IS2 1 1H_+LSR2R12 由由t=0+等效电路可求得等效电路可求得V

20、4)12222()0()0(LLiuA2)0()0(LLii (2)求稳态值求稳态值)()(LLui和和t=0+等效电路等效电路2 1 2AR12 Lu+_R3R2t=等效电路等效电路2 1 2 LiR1R3R2V0)(Li由由t=等效电路可求得等效电路可求得V0)(Lu(3)求时间常数求时间常数s5.0210 RL 3210/RRRR t=03ALuR3IS2 1 1H_+LSR2R12 2 1 R12 R3R2LVe4)04(022ettLu Ae2e)02(022ttLi 起始值起始值-4V稳态值稳态值2ALu0Li,t例例1:解：解：图示电路，图示电路，t0时的电流时的电流i(t)和和

21、iL(t)及其波形及其波形。t0，K在在b，有，有AiL56)(Ai59)(35Rteiiiti)()0()()(0585995tAet()()(0)()tLLLLi tiiie 05125695tAetsRL59解：解：例例2:图示电路。图示电路。t0时时uC(t)和和u(t)。2)0()0(Uuucc)()(22bciRUu11)(RUibIUR 2)1(R()()()(0)()tccccu tu tuuue 0)(1121122teURRURRUtCR2)1(实际现象讨论：实际现象讨论：（1）当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。）当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击

22、电流。K KUs1 1（2）当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。）当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。K KR1L1RVi1 图示为图示为300kw汽轮发电机励磁电路。汽轮发电机励磁电路。t0时电流时电流i(t)和电压表端电压和电压表端电压u(t)。例例3:解：解：35(0)185.20.189iAt=0，K打开，有打开，有(0)(0)185.2iiA(0)(0)VuiRt0，K打开，打开，0)(i0)(ukR5189.05000sRL80()()(0)()ti tiiie Aetit2.185)(kVetut926)(t0，开关，开关K闭合，电路稳定闭合，电路稳定

23、kV926例例4:若一个高压电容器已充电若一个高压电容器已充电10kV。t=0，开关开关K打开。打开。15分钟分钟后后uc 为为3.2kV（1 1）若再过若再过1515分钟分钟u uC C=?=?+uC -ttceetu10)010(0)(2.310)15(15eucs87.789min645.13kV024.110)30(30euc（2 2）若若C=15C=15 F F，R R=?=?M658.5215s87.789CR（3 3）若若u uC C=30V=30V，t=?t=?30100010)(tcetu3103lnts98.4588min47.767-4 RLC串联电路的分析串联电路的分析

24、0cudtdiLiRdtduCic022cccudtudLCdtduRC可得可得又又t 0,K在在2，由，由KVL,有有0122cccuLCdtduLRdtud(二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程)012LCPLRP(特征方程特征方程)t0,K在在1,电路稳定，有电路稳定，有scUu)0(0)0(iscUu)0(一、零输入响应一、零输入响应特征根特征根:CLR2CLR2CLR23、共轭复根：、共轭复根：(欠阻尼欠阻尼)即即2、重根：、重根：(临界阻尼临界阻尼)即即1、不等实根：、不等实根：(过阻尼过阻尼)即即LCLRLRP1)2(222,1tptpcBeAeu21ptcBtA

25、u)()cos(tAeudtcLCLRd120220又又二、零状态响应二、零状态响应scUudtdiLiRdtduCicscccUudtudLCdtduRC22可得可得t 0,K在在1，由，由KVL,有有scccULCuLCdtduLRdtud1122(二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程)012LCPLRP(特征方程特征方程)t0,K在在2,电路稳定，有电路稳定，有0)0(cu0)0(i特征根特征根:（自然频率、固有频率）（自然频率、固有频率）CLR2CLR2CLR 23、共轭复根：、共轭复根：(欠阻尼欠阻尼)即即2、重根：、重根：(临界阻尼临界阻尼)即即1、单根：、单根

26、：(过阻尼过阻尼)即即stptpcUBAeu21sptcUBtAu)(sdtcUtAeu)cos(LCLRd120220LCLRLRP1)2(222,1又又三、全响应三、全响应scUudtdiLiRdtduCicscccUudtudLCdtduRC22可得可得t 0,K在在1，由，由KVL,有有scccULCuLCdtduLRdtud1122(二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程)012LCPLRP(特征方程特征方程)t0,由由KCL,有有01122iLCdtdiRCdtid0112LCPRCP(特征方程特征方程)又又(二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程)

27、特征根特征根:（自然频率、固有频率）（自然频率、固有频率）CLR213、共轭复根：、共轭复根：(欠阻尼欠阻尼)即即2、重根：、重根：(临界阻尼临界阻尼)即即1、单根：、单根：(过阻尼过阻尼)即即LCRCRCP1)21(2122,1tptpBAei21ptBtAi)()cos(tAeidtLCRCd1210220CLR21CLR21二、零状态响应二、零状态响应又又sIidtduCRudtdiLusIidtidLCdtdiRL22可得可得t0,由由KCL,有有sIiLCdtdiRCdtid1122(二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程)0112LCPRCP(特征方程特征方程)特征根

28、特征根:（自然频率、固有频率）（自然频率、固有频率）CLR213、共轭复根：、共轭复根：(欠阻尼欠阻尼)即即2、重根：、重根：(临界阻尼临界阻尼)即即1、单根：、单根：(过阻尼过阻尼)即即LCRCRCP1)21(2122,1stptpIBAei21sptIBtAi)(sdtItAei)cos(LCRCd1210220CLR21CLR21三、全响应三、全响应又又sIidtduCRudtdiLusIidtidLCdtdiRL22可得可得t0,由由KCL,有有sIiLCdtdiRCdtid1122(二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程)0112LCPRCP(特征方程特征方程)特征根特

29、征根:（自然频率、固有频率）（自然频率、固有频率）CLR213、共轭复根：、共轭复根：(欠阻尼欠阻尼)即即2、重根：、重根：(临界阻尼临界阻尼)即即1、单根：、单根：(过阻尼过阻尼)即即LCRCRCP1)21(2122,1stptpIBAei21sptIBtAi)(sdtItAei)cos(LCRCd1210220CLR21CLR210 0()1 0ttt()tf te()()()tf ttte7-6 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一阶电路和二阶电路的阶跃响应一、单位阶跃函数一、单位阶跃函数单位阶跃函数相当于一开关函数。单位阶跃函数相当于一开关函数。t tt tt to ot t0000 1()

30、1 ttttttt t1 11 1(t t)t t1 11 1(t t-t to o)t to o)()()(00ttetttft注意：注意：()()f tt0()()f ttt00()()f ttttt t()1()f tt()tt tt to o0()1()f ttt0()()f tttt t00()1()f ttttt to o00()()f tttt二、矩形脉冲的组成：二、矩形脉冲的组成：)()()(0ttttft0f(t)1t0(t)1)()()(21tttttft0f(t)1t1t2t0-(t-t0)-1t0-(t-t2)t0-1t2t0(t-t1)1t1()()(0)()()ty

31、 tyyyet三、阶跃响应：三、阶跃响应：激励为阶跃信号时电路的零状态响应。激励为阶跃信号时电路的零状态响应。求解方法：求解方法：三要素法三要素法 例例1：求阶跃响应求阶跃响应i。写出写出i(t)表达式表达式 I1 I2解：解：由由 t=o+等效电路，等效电路，0)0(cu有有 i(o+)=0.8A由由 t=等效电路，等效电路，i()=0.5AIUR 45sRC1()()(0)()ti tiiie(0.5 0.3)()tet A例例2：图示电路，已知：图示电路，已知：iL(o-)=0，求求uL(t)、i(t)。提示：先求单位阶跃响应，再将提示：先求单位阶跃响应，再将u u用阶跃用阶跃 信号表示

32、，最后利用线性时不变电路性信号表示，最后利用线性时不变电路性质求响应。质求响应。解：解：当当u=(t)时时0)0()0(iiVuL5.0)0(mAi5)(0)(Lu100RmsRL1()5(1)()()ti tetmA()0.5()()tLutet V当当u=20(t)-40(t-1)+20(t-2)时时12()100(1)()200(1)(1)100(1)(2)()ttti tetetetmA12()10()20(1)10(2)()tttLutetetetV0 0()()d1tttt00000 ()()d1ttttttt一、一、单位冲激函数单位冲激函数物理意义物理意义:矩形脉冲矩形脉冲 当当

33、时转化为冲击函数时转化为冲击函数t t()t（2）常用作取样函数）常用作取样函数t tt to o()Ottt t1 1()t7-7 一阶电路和二阶电路的冲激响应一阶电路和二阶电路的冲激响应性质性质：（1）或或()()tdt()()dttdt)()0()()(tfttf)0()()0()(00fdttfdtttf二、冲激响应：二、冲激响应：激励为冲激信号时电路的零状态响应。激励为冲激信号时电路的零状态响应。()()ds th tdt例例1：求冲激响应求冲激响应i。解：解：1、求阶跃响应、求阶跃响应i(t)=s(t)；2、求冲激响应、求冲激响应 1、阶跃响应法、阶跃响应法:1.225()()()

34、()336ti ttetA()()()ds ti th tdt)(tU)(t()()ts t)()(tht()()dttdt)()()5.032(5.0)(2.1tsAtetit2、等效初始值法、等效初始值法(1)单个元件等效初值：单个元件等效初值：等效初始值等效初始值:uc(o+)=A/CiL(o+)=A/L0)0()cua)()(tAdttduCcdttAdtdttduCc0000)()(ACuCucc)0()0(0)0()Lib)()(tAdttdiLLdttAdtdttdiLL0000)()(ALiLiLL)0()0(等效初始值等效初始值:2、冲激作用下等效初始值求法、冲激作用下等效初

35、始值求法(2)(2)在在t=0t=0时将电感开路，求其时将电感开路，求其冲激电压冲激电压则则 uc(o+)=A/C(1)(1)在在t=0t=0时将电容短路，求其时将电容短路，求其冲激电流冲激电流uL=Bt 则则 iL(o+)=B/L3 3、用、用“三要素三要素”法求冲激响应法求冲激响应ic=At 8.03/1)0(cuV1254.21)(125)(2.1Vtetutc1010)0(iA1)()(Atetit)(31211)(21ttic练习练习1：图示电路，求图示电路，求u和和i。在在t=0t=0时将电容短路，有时将电容短路，有i=0.5t 则则 u(o+)=A/C=1/6A)(61)(2Vt

36、etut)(41)(21)()21(63)(63)(222VtettetedtduCtittt解：解：0)(usRC231212练习练习2：图示电路，图示电路，求求uL和和iL。,100,4,6,0)0(21mHLRRiL+10(t)-+uL-iLR1R2iL+uoc-+uL-Req戴维宁等效电路解：解：4.24/6/21RRReq)(4)(10212ttRRRuoc34(0)40100 10LAiAL AtetetittL)(40)(40)(24sRL2414.21.0VtettetedtdiLtutttL)(960)(40)()24(40)(40)(242424或：或：)(4tRidtdiLLL积分得：至对方程两边00dttdtRidtdtdiLLL000000)(44)0()0(LLiiLALiL404)0(本章作业：7-4、7-5、7-8、7-12、7-17、7-18、7-19、7-30、7-35