第3章 振动、波动和声详细答案

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1、思考题 3-1 如何判断简谐振动？3-2 两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？3-3 旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？3-4 简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方向相同吗？3-5 振动的能量由什么决定？3-6 什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？3-7 什么是共振？3-8 产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪 些量会变化？3-9 波动方程和振动方程有什么区别？3-10 简谐振动和简谐波的能量有什么特点？3-11 什么是波的干涉？两列波相遇后一定会

2、发生干涉现象吗？3-12 什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？3-13 什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？3-14 听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？3-15 声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？3-16 什么是多普勒效应？3-17 超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？参考答案3-1 满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动： F = ks ；必 + w 2s = 0 : s = A cos（t + 申）；dt3-2当相位差为兀的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要 具备两个条件，分振动的相位差为兀的奇数倍，分振动的

3、振幅相等，在相遇的区域满足这两 个条件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动.3-3位移S轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相,沿逆时针方向的夹角取正, 沿顺时针方向的夹角取负.一般在2兀内，小于兀取正，大于兀取负.例如，初相位3-，一3-4 因为简谐振动的速度和加速度表达式为s = A cosgt + 申),v= Aw sin(t + 9) = Aw cosgt + 9 + 2)a = Aw2 cos(wt +9) = Aw2 cos(wt + 9 +k)所以速度和加速度不一定是负值随相位值的不同可正可负，二者的方向也不是一定相同, 有时会一样有时会相反,在一、三象限方向一致,二、四

4、象限方向相反，为正时方向和位移轴 的正方向一致，为负时和位移轴正方向相反，显然，速度超前位移号滞后加速度号.3-5振动的能量守恒，能量E = 2 kA 2由组成系统的弹簧的倔强系数和振幅的大小来决定.3-6 因各种因素导致振动过程中，振动的能量和振幅都减少的现象称为阻尼振动.简谐振动是理想的周期振动，在整个振动过程中周期，振幅和能量都保持不变，阻尼振 动严格意义上说不是周期函数，在振动过程中，振幅和能量在减少，如果以连续两次经过振 动位移最小值的时间作为周期，则阻尼振动的周期比固有周期长，阻尼振动根据阻尼系数与 固有频率大小的关系可以分为欠阻尼，过阻尼和临界阻尼.只有欠阻尼的振动具有周期性和

5、重复性，过阻尼和临界阻尼已经不具备周期性和重复性，过阻尼是缓慢地回到平衡位置就停 止振动，临界阻尼则以较快的速度回到平衡位置停止振动.受迫振动和阻尼振动不同，阻尼振动只受弹性力和阻尼力，随时间振幅和能量越来越小， 而受迫振动在驱动力、阻尼力和弹性力的共同作用下，达到一定时间后振动将达到稳定状态， 振动的振幅保持不变，驱动力提供的能量刚好补偿阻尼力损耗的能量，振动的能量保持不变.3-7当外界振动的频率w与系统固有频率w满足w =、；W2 20这个关系时，系统的振动o写0振幅达到最大值，这一现象称为共振，阻尼系数0 越小共振振幅越大，阻尼系数0 越大， 共振振幅越小，简谐振动是理想振动，阻尼系数为

6、零，所以共振振幅趋于无穷大.3-8 机械波产生需要两个条件：波源和弹性介质.波在不同介质中传播周期保持不变，而波 速随介质不同而变化，因此，波长因波速不同也不同.3-9 振动方程和波动方程都是描写质点的位移.振动方程是描写一个质点随时间的变化规 律，而波动方程是描写空间若干个不同质点随时间的变化规律，所以，振动方程的位移是时 间的函数，而波动方程中的位移是时间和空间质点位置的函数.当波动方程中空间质点的位 置一旦确定，波动方程就变成这个确定质点的振动方程.3-10 简谐振动是理想的振动，能量守恒，能量的大小和振幅的平方成正比，一个周期内动 能和势能交替变化，但是和保持不变，在平衡位置，动能最大

7、势能为零，在最大位移处，动 能为零势能最大.简谐波虽然也是忽略介质对波的吸收，是理想的波动，但是波动的能量不 守恒呈周期性的变化，任一体积元的动能和势能相等，波传到哪里，那里的质点就从前面的 质点获得能量开始振动，振幅达到最大值后就把能量逐渐传给后面质点，能量就这样由近及 远由波源沿波传播的方向传播出去，所以波动也是能量的传播过程.3-11 当两列波在空间相遇的区域内，某些地方振幅始终加强，某些地方振幅始终减弱，这 种现象称为波的干涉.发生波的干涉要具备的条件是：两波源的频率相同，振动方向相同， 相位差恒定.3-12 两列相干波，振幅相同，沿相反方向传播，在它们叠加的区域有些点始终静止不动 在

8、这些相邻点之间的各点有不同的振幅，中间的振幅最大，这样的波称为驻波.驻波没有能 量和相位的传播，也没有振动状态的传播，所以无所谓的传播方向，是一种波形驻定不移动 的特殊波，不是行波.简谐波是一种行波，沿波传播的方向可以传播波的振动形式、相位和 能量，所以有传播方向.3-13 引起人听觉的最低声强称为闻阈，人耳能够忍受的最高声强称为痛阈，每个频率都对 应有相应的闻阈和痛阈，人耳对声音的反应主要取决于两个因素：声强和频率.3-14人耳听觉的频率范围是20-20000HZ,所以人的听觉范围是20Hz频率线、20000Hz频率 线，闻阈曲线和痛阈曲线所围城的区域人耳最敏感的闻阈频率是1000 Hz -

9、5000Hz.3-15声强级大的响度级不一定高例如，有可能30dB的声音响度级小于10dB的响度级. 在声强级一定的情况下，频率不同响度级不同，例如，50dB的声音响度级在20-20000Hz范 围内有可能是0方-50方中的任何一个值，而且也不是频率越高响度级越大.3-16 当波源或者观察者有相对运动，观察到的频率和波源的频率不同，这种现象称为多普 勒效应.3-17次声波（小于20Hz）的频率低波长长，超声波（大于20000Hz）的频率高波长短，所以， 次声波很容易在传播，很难用什么东西可以阻挡次声波，超声波不宜在空气中传播，衰减很 快，所以很容易就可以阻挡超声波的传播.计算题3-1. 作简谐

10、振动的质点分别在下列情况下，位移、速度和加速度的大小及其方向如何？初 相是多少？在正的最大位移处；负的最大位移处；平衡位置，向负方向运动；平衡位置，向正方向运动.解：s = A cosgt + 申）v=A sin（ t + 9） = A cos（wt + * + 号）a = -A2 cos（t +9） = A2 cos（t + 9 +k）（1）s = A, a = -A2,9 = 0 ； v=0（2）s = -A,a = A2,9 =k ; v=0 s = 0, a = 0,9 =乡；v=- A s = 0, a = 0,9 = - ; v= A23-2. 一简谐振动的振幅为A，周期为T，以下

11、列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式：（1）物体过平衡位置向s轴负方向运动；（2）过处向s轴正方向运动.2解：由旋转矢量图示法可知，物体过平衡位置时对应的初相为9 = 2，取正号时物体必然会向s轴负方向运动时，取负号时物体必然会向s轴正方向运动，由题意得初相为：申诗，振动的表达式为:2兀 兀s = Acost +9) = Acos(t + )；由旋转矢量图示法可知，物体过号处，9 = 号，取正号时物体必然会向s轴负方向运动，取负号物体必然会向s轴正方向运动，由题意知向s轴正方向运动初相为：9=弋，振动的表达式为s = A cos(wt +9) = A cos(2kT3-3、一弹簧振子

12、放置在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端连接一质量为0.2kg的物 体，设弹簧的劲度系数为1.8N - m-i，求在下列情况下的谐振动方程.(1)将物体从平衡位 置向右移0.05m后释放.(2)将物体从平衡位置向右移0.05m后给与向左的速度0.15m-s-1.解：=:上= 3 rad - s-1m 0.2将物体从平衡位置向右移0.05m后释放，说明物体处在正的最大位移处，下一时刻 向位移的负方向运动，所以， A=0.05m,9 =0.振动方程为 s = 0.05 cos 3t (m)(2)将物体从平衡位置向右移0.05m后给与向左的速度0.15m-s-1,则s = A cos 9 = 0.

13、05，v0= -A sin 9 = -0.15 ,09 = arctan( 0.15 ) = 40.05 x 34A = ”0.052 + (-315)2 = 0.05”：2 (m),振动方程为s = 0.05 y 2 cos( 3t + 2-) (m)3-4、质量为m物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有周期为T,当它作振幅为A的简谐 振动时，其振动能量E是多少?解： =互,TE =丄 m 2 A 2 =A 22T 223-5、一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动，s = 0.05cos(4Kt + k)，134s = 0.03cos(4Kt k)，求合振幅的大小是多少？23解：A9=91

14、-9 2 =普-(-K) = 2kA= A + A =0.05+0.03=0.08(m)12合振动的振幅为0.08m.3-6、 弹簧振子作简谐振动时，若其振动振幅和频率都分别为原来的三分之一，总能量是多少？ ,若振幅增加到原来的两倍，而总能量保持不变，如何实现？解：E = m 2 A 2 = m()2 ()2 = x 丄 mW 2 A 2 =22 3381281总能量是原来的8 分之一.* E= 1 m2A2=1 m2 (2A)2= 4 x1 m2A2=1 m 2A22222逍，即要保持总能量不变频率必须是原来大小的一半.3-7、两个同频率同方向的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm,与第一个

15、简谐振动的相位差为9 -9 =16若第一个简谐振动的振幅为1。卞3 cm = 17.3 cm,则第二个简谐振动的振幅是多少？两个简谐振动的相位差(9 -9 ) 是多少？12解：已知 9_9=卡A = 20 cm, A = 10：3cm由矢量关系可知：A2 = A2 + A2 一 2AA cos(p_9) = 2 + (10*3)2 一 2 x 20xl0/3cos卡=1002 1 1 1 6=10cmA2 = A2 + A2 + 2A A cos(9 _9 )1 2 1 2 1 2202 = (103)2 +102 + 2xl0、：3x10cos(9 -9 )12cos(91 一92) =0,

16、9 9 = (2k +1)巨,k = 0,1,2,.1 2 23-8、波源的振动方程为s = 0.04cos(-4t + 39)m,以2.0m - s-1无衰减地向X轴正方向传播, 求：波动方程，x=8m处振动方程；x=8m处质点与波源的相位差.解：波动方程s = 0.04 cos巫(t ) + = 0.04 cos匹(t ) + (m)4 u 394239x=8m处振动方程s=0.04cos汕一 2)+=0.04 cos(齐3) (m) x=8m 处质点与波源的相位差A9 =9 9 =213-9、如图3-9图所示一平面简谐波在t = 0时刻的波形图，求(1)该波的波动表达式；(2)P 处质点

17、的振动方程.U 二 0.08 m -S-1,9=-2解：从图中可知：A = 0.04m,九二0.40m,0.40(1) 波动表达式：0.08S = 0-04COS0-4K（t -虚）予（(2) P 处质点的振动方程s = 0.04cos0.4兀(t - 0008)-号=0-04cos(0.4兀t - 乎)(m)3-10、O, O2是两列相干波源，相距2.5入，0超前02相位3n,两列波的振幅都是A, 波长为入，两列波无衰减地传播，P、Q分别在0, 02的连线上，P在02的外侧1.5入，Q 在0的外侧2.0入，求：0, 02连线中点处质点的振幅？P点处质点的振幅？Q 点处质点的振幅？解： x =

18、 x ,g=申-申 -2兀(气_= 3兀- 2兀0 = 3兀，1212人人所以连线中点处质点的振幅为零.8 =申一申12加(二x 2)= 3冗-互产 =-2冗A = A + A = 2 A12P 点处质点的振幅是 2 A2兀(x - x )小2k x (一2.5尢)c A=申申12 = 3兀=8兀12入入A = A + A = 2 A12Q点处质点的振幅是2 A3-11、一波源以s = 0.03cos(号t 1.9k) m的形式作简谐振动，并以100m - s-1的速度在某种 介质中传播求：波动方程；距波源40m处质点的振动方程；在波源起振后1.0s, 距波源40m处质点的位移、速度及初相？解

19、：已知 A = 0.03, =予,u = 100,q = -1.9k，贝9 波动方程为：s = 0.03 cos予(t -金)-1.9k (m) 距波源40m处质点的振动方程s = 0.03cos咛(t - 140) - 1.9k = 0.03cos(予 t - 2k) (m) 在波源起振后1.0s，距波源40m处质点的位移、速度及初相？s = 0.03 cos(专 x 1.0 - 2 兀)=0.03 0-02 (m)v= A sin(号x 1.0一2兀)=-0.03x巫x2 -0.02(m-s-1)申=-2k3-12、初相相同的两相干波源A和B相距40m，频率为50Hz，波速为500 m -

20、 s-1，求两相干 波源的连线上产生相干加强和相干减弱的位置？解：以A为坐标原点，A和B连线为X轴，方向由A向B：贝 9波程差为 5 = r r = x - (40 x) = 2x 40,ABu = 50050= 10 m相干加强的位置2x 40 = kX ，x = 20 5k (k = 0,1,2,3)相干减弱的位置2 x 40 = (2k +1)扌x = 20 5(k + 0.5)(k = 0,1,2,3)3-13、沿绳子传播的波动方程为s = 0.05cos(0.10kx 3 +号)m,求波的振幅，频率，传播 速度，波长，绳子上某点最大的横向振动速度.解：s = 0.05 cos(0.1

21、0kx 3Kt + 37) = 0.05 cos3k (t 盍)号(m)振幅A = 0.05m，频率V= =娶=1.5Hz，传播速度为u = 30 m-s-1， 2k 2k波长为 X = -30 = 20 m，V 1.5横向最大振动速度 vma= A = 0.05 x (3 x 3.14) = 47.1cm - s-13-14、弦线上驻波相邻波节的距离为65 cm，振动频率为3.2 x 102 Hz，求波长和波的传播速 度.解：驻波相邻波节之间的距离为半个波长，所以波长为X = 2 x 65 = 130 cm=1.3mu = Xv = 1.3 x 3.2 x 102 = 416 m - s-1

22、3-15、在空气中某点声波的强度为2.0 x 105 W - m-2，振幅为2mm,空气密度1.29kg - m-3， 波速为344 m - s-1，求波长和平均能流密度.解：I =丄pu2A22 = . 2 =2 x 2.0 x 105= 1.5 x 104.puA2 1.29 x 344 x (2 x 10-3)2=2.39 x 103 14.4 cmo_ _ 1.5 x 1042r 2 x 3.14)u 344/v V 2.39 x 103 w 2 po 2 A2 U 2；405 581 J - m-33-16、某声音的声强级比声强为10-6W - m-2的声音的声强级大20dB时，问此

23、声音的声强是 多少？解：L 10lg- 60 (Db)210 -12L 20 + 60 80 101g 上10lg 1勺总10 -120I 10 -4 W m -23-17、频率为5Mhz的超声波进入人体软组织，求：波长；在20cm处软组织中往返一 次所需要的时间(超声波在体内软组织的传播速度为1540m-s-1).解： / u - 1540 3.08x 10-4(m) 0.31mmV5 x106 t 2.60 x 10-4(s) 260卩s3-18、已知空气、软组织、颅骨的密度分别为0.0012、1.016、1.658( g - cm-3 )，对应在其 中传播的声速分别为344、1500、3

24、360( m - s-1)，求超声波垂直入射时空气与软组织、软 组织与颅骨交界面上的声强反射系数？解：空气、软组织和颅骨的声阻抗分别为Z p u 0.0012 x 103 x 344 0.41 x 103 kg - m-2 - s-11 1 1Z p u 1.016 x 103 x 1500 1524 x 103 kg - m-2 - s-12 2 2Z p u 1.658 x 103 x 3360 5571 x 103 kg - m-2 - s-1333空气与软组织的反射系数：a (Z2 - Z1 )2 (1524 x 103 - 041 x 103 )2 0.999 99.9 % z z

25、1524 x 103 + 0.41 x 10321软组织与颅骨的反射系数：a (z3 - z2 )2 (5571 x 103 一1524 x 103 )2 0.57 57%z z 5571 x 103 +1524 x 103 323-19、一列火车以20 m/s的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz，某人站在机车前和机 车后所听到的声音频率分别是多少？ (设空气中声速为340 m/s) .解：在车前听到的频率宀占V点 x 600 637.5砂)s在车后听到的频率V v 340 x 600 566.7(Hz)u + v340 + 203-20、蝙蝠在洞中飞行，发出频率为38000Hz的超声，在一次朝着表面垂直的墙壁飞行时, 飞行速度是空气中声速的38分之一，问蝙蝠自己听到从墙壁反射回来的超声频率是多少？解：蝙蝠飞向墙壁时，蝙蝠发出超声波，自己作为声源在运动，而墙壁作为接收者不动 接收到的频率升高为：v二(1 +1)v = u39 v38从墙壁反射回来的超声波以墙壁作为声源不动，蝙蝠作为接收者在向着声源运动，因此蝙蝠听到自己发出的超声波的频率应为v = (1 +238 U)vu12 x 38000 = 40026 Hz.