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1、教学目的：分部积分法教学目的：分部积分法教学重点：适合于不定积分的基教学重点：适合于不定积分的基 本题型的积分方法本题型的积分方法教学难点：不规范被积式的变形教学难点：不规范被积式的变形第三讲第三讲 分部积分分部积分问题问题?dxxex解决思路解决思路 利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式?cos xdxx?cosdxxex?arcsin xdx?)1ln(2dxxx分部积分公式分部积分公式例例1 1 求积求积分分
2、.cos xdxx解一）解一）令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.vu,解二）解二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 例题例题例例2 2 求积求积分分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函
3、数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u例题例题例例3 3 求积求积分分.arctan xdxx解解令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例题例题应用分部积分法计算不定积分时，正确选取u与dv是关键，一般应掌握以下两条原则：(1)v要容易求出；(2)vdu要比 udv易于积分
4、 例例4 求求 dxxeax)0(a解解 设设 dxedvxuax,，那么 axeav,dxdu1故 Ceaeaxdxeaeaxdxxeaxaxaxaxax211分部积分法总结分部积分法总结例例5 5 求积求积分分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 例题例题dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanx
5、x arctan12 .)1ln(2Cxx 例题例题例例6 6 求积求积分分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u例题例题例例7 7 求积求积分分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)s
6、in(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例题例题例例8 8 求积求积分分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式例题例题解解 dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2 Cedxxfx dxxfx)(dxxfxxf)()(222xex .2Cex 例题例题在积分过程中，常结合运用换元法与分部积分法注:例例10 求求 dxxsin解解 令令 tx，即 tdtdxtx2,2，于是)coscos(2cos2sin2sintdtttttdtdttdxxCtttsin2cos2Cxxxsin2cos2例题例题练练 习习例题例题2 求积分 dxxf x)(注原式=cxfxxfdxxfxxfxxdf)()()()()(例题例题
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