两点间的距离和中点坐标公式

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1、【学习目标学习目标】掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；【重点重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【难点难点】两点间的距离公式的理解数轴上两点的距离数轴上两点的距离所以所以A,B两点的距离为两点的距离为:d(A,B)=X 2 X 11x2xABoo1x2xAB复习复习 已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2)，如何求如何求P P1 1 P P2 2的距离的距离|P|P1 1 P P2 2|呢呢?2、两点间的距离、两点间的距离yxoP1P2yxoP2P1|1221xxPP|1221yyPPx xy yo oP

2、P1 1(x(x1 1，y y1 1)A A1 1（x x1 1,0),0)A A2 2（x x2 2,0),0)B B1 1（0,y0,y1 1)B B2 2（0,y0,y2 2)C CP P2 2(x(x2 2，y y2 2)动脑思考动脑思考 探索新知探索新知8 81 1 两点间的距离与线段中点的坐标两点间的距离与线段中点的坐标1 2PP，则 221 21 21 21 22121|()()PPPPPP PPxxyy两点间的距离等于这两点横坐标之差两点间的距离等于这两点横坐标之差的平方与纵坐标之差的平方和的算术的平方与纵坐标之差的平方和的算术平方根。平方根。巩固知识巩固知识 典型例题典型例题

3、例例1 求求A（3，1）、）、B（2，5）两点间的距离）两点间的距离 由两点间的距离公式得，由两点间的距离公式得，A、B两点间的距离为两点间的距离为,5,2,1,32211yxyx解：由题意知，212212yyxxAB2215)3(2221 22121|()()PPxxyy61【例2】已知：点已知：点A(1A(1，2)2)，B(3B(3，4)4)，C(5C(5，0)0)求证：三角形求证：三角形ABCABC是等腰三角形。是等腰三角形。证明：因为证明：因为 d(A,B)=d(A,B)=d(A,C)=d(A,C)=d(C,B)=d(C,B)=即即|AC|=|BC|AC|=|BC|且三点不共线且三点不

4、共线所以，三角形所以，三角形ABCABC为等腰三角形。为等腰三角形。824132220201-52220403522【例3】已知已知 ,求证求证.22222ADABBDACABCD.,0,0,0cabDcbCaBAxyA(0,0)A(0,0)B(a,0)B(a,0)C(b,c)C(b,c)D(b-a,c)D(b-a,c)OxOy,22aAB,222cabAD,222cbAC,422422222abcbaBDAC2222cabBD.22222ADABBDAC xyA(0,0)A(0,0)B(a,0)B(a,0)C(b,c)C(b,c)D(b-a,c)D(b-a,c)O,2222222abcbaA

5、DAB),22(2222abcbaxyOP如图所示设如图所示设 P是是 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，怎样求的中点，怎样求点点P的坐标？的坐标？中点公式中点公式22(,)B xy11(,)A xy设点P的坐标是（x,y），则112121AP(,),(,)xxyyABxxyy 1121211AP,21(,)(,)2ABxxyyxxyy 所所以以1121211(,)(,)2xxyyxxyy 因因1211()2xxxx 1211()2yyyy 1212,22xxxyyy 解得这就是两点间的中点公中点公式式111(,)P xy222(,)P xy一般地，设、为平面内任意两点，12000(,

6、)P PPxy则 线 段中 点的坐标为 121200,.22xxyyxy巩固知识巩固知识 典型例题典型例题8 81 1 两点间的距离与线段中点的坐标两点间的距离与线段中点的坐标例例2 已知点S（0，2）、点T（6，1），现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标 图82 首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标 解解 设线段ST的中点Q的坐标为(,)QQxy，则由S（0，2）、T（6，1）得 0(6)32Qx 2(1)122Qy 13,2Q（）即3 5,2 4（）91,24R（）.同理，求出线段SQ的中点P，线段QT的中点3 5,2 4（）、13,2Q（）、91,2

7、4R（）.故所求的分点分别为P巩固知识巩固知识 典型例题典型例题8 81 1 两点间的距离与线段中点的坐标两点间的距离与线段中点的坐标(1,0)(2,1)(0,3)ABC、ABC例例3 已知的三个顶点为，试求BC边上的中线AD的长度 (,)DDD xy(2,1)(0,3)BC、解解 设BC的中点D坐标为，则由得(2)0131222DDxy，故22|(1 1)(20)2 2,AD 即BC边上的中线AD的长度为2 2xyO(x,y)A(-3,0)B(2,-2)C(5,2)DM【例4】已知:平行四边形ABCD的三个顶点坐标 A(-3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。解：因为平行

8、四边形的两条对角线中点相同,所以它们的中点的坐标也相同.设设D D 点的坐标为点的坐标为(x,y).(x,y).则25322x22022y解得x=0y=4D(0,4)运用知识运用知识 强化练习强化练习(2,3)A(8,3)B1已知点和点，求线段AB中点的坐标 ABC(2,2)(4,6)(3,2)ABC、，2已知的三个顶点为求AB边上的中线CD的长度 8 81 1 两点间的距离与线段中点的坐标两点间的距离与线段中点的坐标.,）的中点为（解：设线段yxAB02)3(32528222121yyyxxx）因此，中点坐标为（0,5课堂检测课堂检测1、求两点的距离：（1)A（6，2）,B（-2,5）（2)

9、A (2,-4),B (7,2)2、已知A（a，0）,B（0,10）两点的距离等于17，求a的值。3、已知:的三个顶点坐标分别是A(-1,-2),B(3,1),C(0,2).求:第D点的坐标。ABCD1.两点间的距离公式；两点间的距离公式；2.中点坐标公式中点坐标公式二、坐标法二、坐标法将几何问题转化为代将几何问题转化为代数问题。数问题。222121(,)|()()d A BABxxyy221xxx221yyy1(1)求求(1，3)，(2，5)两点间的距离；两点间的距离；(2)若若(0，10)，(a，5)两点间的距离是，求实数两点间的距离是，求实数a的值的值 数学应用数学应用(3)已知已知(a，0)到到(5，12)的距离为的距离为13，则，则a_(4)若若x轴上的点轴上的点M到原点及到点到原点及到点(5，3)的距离相等，则的距离相等，则M的坐标为的坐标为_ 已知点已知点A(1，2)，B(2，)，试在，试在x轴上求一点轴上求一点P，使，使PAPB，并求此时，并求此时PA的值的值7数学应用数学应用