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1、向量部分向量部分一、基础知识一、基础知识1.向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量。的量。向量两要素：大小和方向。（向量两要素：大小和方向。（与起点、与起点、终点具体位置无关终点具体位置无关）2.向量的表示方法：向量的表示方法：（1）几何表示：用有向线段表示向量）几何表示：用有向线段表示向量有向线段三要素：起点、大小和方向。有向线段三要素：起点、大小和方向。（2）字母表示：）字母表示：ABABa（3）坐标表示：）坐标表示：(,)ax y22(,)11ABmm nnaxiyj(1,0),(0,1),0(0,0)ija(,),11A m n起点起点终点终点(,),22B m n3
2、.向量的长度（模）：向量的长度（模）：ABa(,)ax y(,),11A xy起点起点(,)22B xy终点终点22(,)11ABxxyy22|axy22()()2211ABxxyy上式即为平面内两点间的距离公式上式即为平面内两点间的距离公式4.零向量：零向量：00大小：大小：0 BB方向：方向：任意任意05.单位向量：单位向量：1e(,)若，ex y221 xy则则练习：练习：把平面上一切单位向量归结到共同的起把平面上一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？是什么？答案：单位圆答案：单位圆6.平行（共线）向量：平行（共线）向量：方
3、向方向相同相同或或相反相反的的非零非零向量向量规定：规定：与任意向量都平行与任意向量都平行07.相等向量：相等向量：同向且模相等同向且模相等8.相反向量：相反向量：反向且模相等反向且模相等（）（）(,),(,)1122axybxy1212且abxxyy已知已知则则 AB CDAB/CDAB/CD且且AB=CDAB=CD，则，则判断：判断：ba8.向量运算：向量运算：（1）加（减）法运算）加（减）法运算ABCabABBCACababABCDACBCABACABBCabABADDB 根据三角形边长的关系，根据三角形边长的关系，你能得到什么结论？你能得到什么结论？A1A3A2A4A5推广：推广：12
4、233411 nnnA AA AA AAAA A练习：练习：化简：化简：(1)ABMBBOOM(2)ABADDC(3)NOOPMNMPAB CB0如图：如图：ABC ABBCCA四边形四边形ABCD中，中，01225,3,ABee CBe122 CDeeACDA求求和和1252 ACee127 DAee（2）实数与向量的积（数乘运算）实数与向量的积（数乘运算）,ab ba 非零向量 与,则:,0ba当时 与 同向；0,ba当时 与 反向方向：方向：大小：大小：ab与 共线练习：练习：已知点已知点A(1,-2),若向量若向量 同同方向，方向，,求点求点B的坐标的坐标AB(2,3)a与2 13AB
5、且ba()ba（3）平面向量的数量积（内积）平面向量的数量积（内积）a b cosa b ab非零向量 与,1122(,),(,)ax ybxy(0180)ab 是 与 的夹角，且 坐标表示：坐标表示：1212a bx xy y相关结论：相关结论：投（射）影；模长公式；夹角公式；投（射）影；模长公式；夹角公式；向量垂直、向量垂直、共线（平行）的等价条件共线（平行）的等价条件9.实数乘法与向量乘法的区别：实数乘法与向量乘法的区别：0ab 0a b 00ab或00ab或(0)abbc bac(0)a bb c b ac()()()ab ca bcb ac()()()a b ca b cb a c aba b a b a b 二、练习题二、练习题1.向量向量 的夹角为的夹角为 ，ab与与3 1,2ab ab ab 求求的的值值2.已知四边形已知四边形ABCD的顶点分别为的顶点分别为A(3,1)，B(-4,2),C(1,-3),D(8,-4),O为坐标原点。为坐标原点。求证：求证：(1)()()OAOCOBOD（2）四边形）四边形ABCD为菱形为菱形
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