第五矩阵的对角化及二次型ppt课件

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1、第五章矩阵的对角化及二次型1 1 向量的内积与施密特正交化方法向量的内积与施密特正交化方法向量的内积定义：设有n 维向量令 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn，那么称 x,y 为向量 x 和 y 的内积阐明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时，x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y 1122,nnxyxyxyxy定义：设有 n 维向量令那么称 x,y 为向量 x 和 y 的内积1122,nnx yx yx yx y 向量的内积1122,nnxyxyxyxy 1212,nnyyxxxy Tx y x,y=x1 y1

2、+x2 y2+xn yn=xT y内积具有以下性质其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z 当 x=0零向量 时，x,x=0；当 x 0零向量 时，x,x 0施瓦兹Schwarz不等式x,y2 x,x y,y11221122,nnnnx yx yx yx yy xy xy xy x x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有以下性质其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数：对称性：x,y=y,xx,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有以下性质其中 x,y,z 为 n

3、维向量，l 为实数：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z,()(),TTTx yxyxyx yx y ,()()()(),TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy z x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有以下性质其中 x,y,z 为 n 维向量，l 为实数：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z 当 x=0零向量 时，x,x=0；当 x 0零向量 时，x,x 0 x,x=x12+x22+xn2 0 x,y=x1 y1+x2 y2+xn yn=xT y内积具有以下性质其中 x,

4、y,z 为 n 维向量，l 为实数：对称性：x,y=y,x线性性质：l x,y=lx,y x+y,z=x,z+y,z 当 x=0零向量 时，x,x=0；当 x 0零向量 时，x,x 0施瓦兹Schwarz不等式x,y2 x,x y,y回想：线段的长度2212|,OPxxx xx1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO假设令假设令 x=(x1,x2)T，那么，那么222123|,OPxxxx x假设令假设令 x=(x1,x2,x3)T，那么，那么x,x=x12+x22+xn2 0 2,xxxxx xx x 向量的长度定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度或范数当|x|=1时，称 x 为单位向

5、量向量的长度具有以下性质：非负性：当 x=0零向量 时，|x|=0；当 x0零向量 时，|x|0齐次性：|l x|=|l|x|22212|,0nx xxxxx2|,|,|xxxx xx xx 向量的长度定义：令称|x|为 n 维向量 x 的长度或范数当|x|=1时，称 x 为单位向量向量的长度具有以下性质：非负性：当 x=0零向量 时，|x|=0；当 x 0零向量 时，|x|0齐次性：|l x|=|l|x|三角不等式：|x+y|x|+|y|22212|,|nx xxxxx xyx+yy向量的正交性施瓦兹Schwarz不等式x,y2 x,x y,y=|x|y|当 x 0 且 y 0 时，定义：当

6、 x 0 且 y 0 时，把称为 n 维向量 x 和 y 的夹角当 x,y=0，称向量 x 和 y 正交结论：假设 x=0，那么 x 与任何向量都正交,arccos|x yxy ,1|x yxy xy 定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组定理：假设定理：假设 n 维向量维向量a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向是一组两两正交的非零向量，量，那么那么 a1,a2,ar 线性无关线性无关证明：设证明：设 k1a1+k2a2+kr ar=0零向量，那么零向量，那么 0=a1,0=a1,k1a1+k2a2+kr ar =k1 a1,a

7、1+k2 a1,a2+kr a1,ar =k1 a1,a1+0+0 =k1|a1|2从而从而 k1=0同理可证，同理可证，k2=k3=kr=0综上所述，综上所述，a1,a2,ar 线性无关线性无关例：知例：知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交分析：显然分析：显然a1a2 解：设解：设a3=(x1,x2,x3)T，假设，假设a1a3，a2a3，那么，那么 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0 a2,a3=a2T a3=x1 2 x2+x3=012111,211aa 12311101

8、210 xAxxx 12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr得得从而有根底解系从而有根底解系 ，令，令 1320 xxx 101 3101a 定义：定义：n 维向量维向量e1,e2,er 是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基最大无关组；中的一个基最大无关组；e1,e2,er 两两正交；两两正交；e1,e2,er 都是单位向量，都是单位向量，那么称那么称 e1,e2,er 是是V 的一个规范正交基的一个规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基nVR 1234

9、10000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基设设 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个正交基，那么中的一个正交基，那么V 中恣中恣意一意一个向量可独一表示为个向量可独一表示为 x=l1e1+l2e2+lrer于是于是特别地，假设特别地，假设 e1,e2,er 是是V 的一个规范正交基，那么的一个规范正交基，那么问题：问题：向量空间向量空间 V 中的一

10、个基中的一个基 a1,a2,ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1,e2,er2,1,2,|iiiiiix ex eire ee ,1,2,iix eir 求规范正交基的方法第一步：正交化施密特Schimidt正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令11ba a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111,b abacabb b 3333313213233121122,bacaccb ab aabbb bb b 基基正交基正交基规范正交基规范正交基b1c2a2b2令令 c2 为为 a2 在在 b1 上的投影，那么上的投影

11、，那么 c2=l b1，假设令假设令 b2=a2 c2=a2 l b1，那么，那么 b1b2 下面确定下面确定l 的值由于的值由于所以所以 ，从而，从而2121121110,b bab babb b 2111,a bb b 12222212111,b abacababb b a2b1 第一步：正交化施密特Schimidt正交化过程设 a1,a2,ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令于是 b1,b2,br 两两正交，并且与a1,a2,ar 等价，即 b1,b2,br 是向量空间 V 中的一个正交基特别地，b1,bk 与a1,ak 等价1 k r121112212111,rrrrrrrrrb

12、ab abab bb bbabbbbb 11ba 122222111,b abacabb b 第二步：单位化第二步：单位化设设 b1,b2,br 是向量空间是向量空间 V 中的一个正交基，那么令中的一个正交基，那么令由于由于从而从而 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基112212111,|rrrebebebbbb 21111111221111|111,1|be ebbb bbbbb 111|,1ee e 例：设例：设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：第一步正交化，取解：第一步正交化，取1231

13、142,3,1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111bab ababb bb ab ababbb bb b 例：设例：设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：第二步单位化，令解：第二步单位化，令1231142,3,1110aaa 1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：知例：知 ，试求非零向量，试求非零向量a2,a3，使，使a1,a2,a3 两两正交两两正交.解：假设解：假设a1a2，a1a3，那么，那么 a1,

14、a2=a1T a2=x1+x2+x3=0 a1,a3=a1T a3=x1+x2+x3=0即即a2,a3 应满足方程应满足方程 x1+x2+x3=0 根底解系为根底解系为把根底解系正交化即为所求把根底解系正交化即为所求1111a 12100,111231110,2211aa 以保证以保证 a2a3 成立成立定义：假设定义：假设 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA=E，那么称矩阵那么称矩阵 A 为正交矩阵，简称正交阵为正交矩阵，简称正交阵 即即 A1=AT，于是于是从而可得从而可得方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，的列向量都是单位向量，且两

15、两正交且两两正交1,(,1,2,)0,Tijijija aa ai jnij 即即 A 的列向量组构成的列向量组构成Rn 的规范正交基的规范正交基 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a定义：假设定义：假设 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即，即 A1=AT，那么称矩阵那么称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵为正交矩阵，简称正交阵 方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，的列向量都是单位向量，且两两正交即且两两正

16、交即 A 的列向量组构成的列向量组构成Rn 的规范正交基的规范正交基.由于由于ATA=E 与与AAT=E 等价，所以等价，所以1,(,1,2,)0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bAAb bbbb bb bb b定义：假设定义：假设 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即，即 A1=AT，那么称矩阵那么称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵为正交矩阵，简称正交阵 方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，的列

17、向量都是单位向量，且两两正交即且两两正交即 A 的列向量组构成的列向量组构成Rn 的规范正交基的规范正交基方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的行向量都是单位向量，的行向量都是单位向量，且两两正交且两两正交 即即 A 的行向量组构成的行向量组构成Rn 的规范正交基的规范正交基.121200121200001212001212P 例：正交矩阵例：正交矩阵R4 的一个规范正交基的一个规范正交基1234001212001212,121200001212eeee|()()|TTTTTyy yPxPxx P Pxx xx 正交矩阵具有以下性质：正交矩阵具有以下性质：假设假设

18、 A 是正交阵，那么是正交阵，那么 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A|=1 或或1假设假设 A 和和B是正交阵，那么是正交阵，那么 A 和和 B 也是正交阵也是正交阵定义：假设定义：假设 P 是正交阵，那么线性变换是正交阵，那么线性变换 y=Px 称为正交变称为正交变换换经过正交变换，线段的长度坚持不变从而三角形的外形保经过正交变换，线段的长度坚持不变从而三角形的外形保持不变，这就是正交变换的优良特性持不变，这就是正交变换的优良特性表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数.n n 个变量个变量 与与 m m 个变量个变量 之间的之间的关系式关

19、系式12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12,nxxx12,myyy12,nxxx11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax 111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 系数矩阵系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.2 2 特征值与特征向量特征值与特征向量引言w纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即w(lEn)An=An(lEn)=lAn w矩阵乘法

20、普通不满足交换律，即AB BA w数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即wl(AB)=(lA)B=A(lB)wAx=l x?ww例：34003422,123002311 一、根本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，假设数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量例：那么 l=1 为 的特征值，为对应于l=1 的特征向量.342212311 3423 21 一、根本概念定义：设 A 是 n 阶矩阵，假设数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量

21、x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量Ax=l x=lE x 非零向量 x 满足(AlE)x=0零向量齐次线性方程组有非零解系数行列式|AlE|=0特征方程特征方程特征多项式特征多项式w特征方程|AlE|=0w特征多项式|AlE|111212122212|0nnnnnnaaaaaaAEaaa 二、根本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值重根按重数计算w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，那么wl1+l2+ln=a11+a22+ann wl1 l2 ln=|A|例：求矩阵例：求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以

22、所以 A 的特征值为的特征值为 l1=2，l2=4 当当 l1=2 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得根底解系解得根底解系 3113A 2231|(3)186(4)(2)13AE 1231012302xx 12110110 xx 111p k p1k 0就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：求矩阵例：求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 l1=2，l2=4 当当 l2=4 时，时，对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得根底解系解得根底解系 3113A 2231|(3)

23、186(4)(2)13AE 1231014304xx 12110110 xx 211p k p2k 0就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：求矩阵例：求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 l1=1，l2=l3=2 211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)AE 例：求矩阵例：求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解续：当解续：当 l1=1 时，由于时，由于解方程组解方程组(A+E)x=0解得根底解系解得根底解系 211020413A 1111101030 010414000rAEAE 1101p

24、k p1k 0就是对应的特征向量就是对应的特征向量例：求矩阵例：求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解续：当解续：当 l2=l3=2 时，由于时，由于解方程组解方程组(A2E)x=0解得根底解系解得根底解系 k2 p2+k3 p3 k2,k3 不同时为零就是对应的特征向量不同时为零就是对应的特征向量211020413A 4114112000 000411000rAE 23100,141pp 二、根本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值重根按重数计算w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，那么wl1+l2+ln=a11+a22+ann wl1 l2 ln=|A

25、|w假设 l 是 A 的一个特征值，那么齐次线性方程组的根底解系w就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组例：设例：设 l 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1)l2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2)当当 A 可逆时，可逆时，1/l 是是 A1 的特征值的特征值结论：假设非零向量结论：假设非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 l 的特征向量，那的特征向量，那么么l2 是是 A2 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p lk 是是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p 当当 A 可逆时，可逆时，1/l

26、是是 A1 的特征值，对应的特征向量依然是的特征值，对应的特征向量依然是 p 二、根本性质w在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值重根按重数计算w设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，那么wl1+l2+ln=a11+a22+ann wl1 l2 ln=|A|w假设 l 是 A 的一个特征值，那么齐次线性方程组的根底解系w就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组w假设 l 是 A 的一个特征值，那么 j(l)=a0+a1 l+am l mw是矩阵多项式 j(A)=a0+a1 A+am A m 的特征值例：设例：设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1,1,2，求

27、，求A*+3A2E 的特征值的特征值解：解：A*+3A2E=|A|A1+3A2E=2A1+3A2E=j(A)其中其中|A|=1(1)2=2 设设 l 是是 A 的一个特征值，的一个特征值，p 是对应的特征向量令是对应的特征向量令那么那么2()32 11()(232)2()3()2223232()A pAAE pApAppppppp 定理：设定理：设 l1,l2,lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，假设次是与之对应的特征向量，假设l1,l2,lm 各不一样，那各不一样，那么么p1,p2,pm 线性无关线性无关例：设例：设 l1 和和 l2 是

28、方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2，证明证明 p1+p2不是不是 A 的特征向量的特征向量3 3 类似矩阵类似矩阵定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，假设有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，那么称 B 为矩阵 A 的类似矩阵，或称矩阵A 和 B 类似对 A 进展运算 P 1AP 称为对 A 进展类似变换称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的类似变换矩阵定理：假设 n 阶矩阵 A 和 B 类似，那么 A 和 B 的特征多项式一样,从而 A 和 B 的特征值也一样证明：根据题意，存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B

29、于是|B lE|=|P 1AP P 1(lE)P|=|P 1(AlE)P|=|P 1|AlE|P|=|AlE|定理：假设 n 阶矩阵 A 和 B 类似，那么 A 和 B 的特征多项式一样,从而 A 和 B 的特征值也一样推论：假设 n 阶矩阵 A 和 B 类似，那么 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)类似证明：设存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP=B，那么P 1AkP=Bk.设j(x)=cmxm+cm1xm1+c1x+c0，那么 P 1 j(A)P=P 1(cmAm+cm1Am1+c1A+c0 E)P=cm P 1 Am P+cm1P 1 A m1 P+c1 P 1 A P+c0

30、 P 1 EP=cmBm+cm1Bm1+c1B+c0 E=j(B).定理：设 n 阶矩阵 L=diag(l1,l2,ln)，那么l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值证明：故 l1,l2,ln 就是 L 的 n 个特征值1212()()()nnE 定理：假设 n 阶矩阵 A 和 B 类似，那么 A 和 B 的特征多项式一样,从而 A 和 B 的特征值也一样推论：假设 n 阶矩阵 A 和 B 类似，那么 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)类似假设 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)类似，那么从而经过计算j(L)可方便地计算j(A).假设j(l)

31、=|AlE|，那么 j(A)=O零矩阵.1211()()()()()nAPPPP 可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L 对角阵对角阵AP=PLApi=li pi(i=1,2,n)A 的的特征特征值值对应的对应的特征向量特征向量121212(,)(,)nnnA pppppp 其中其中?P.123定理定理4：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵类似和对角阵类似当且仅当当且仅当A 有有 n 个线性无关的特征向个线性无关的特征向量量推论：假设推论：假设 A 有有 n 个个不同的特征值，那不同的特征值，那么么 A 和对角阵类似和对角阵类似4 4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化定理：设定理：设

32、 l1,l2,lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，假设次是与之对应的特征向量，假设 l1,l2,lm 各不一样，那各不一样，那么么p1,p2,pm 线性无关线性无关 P.120定理定理2可逆矩阵可逆矩阵 P，满足，满足 P 1AP=L 对角阵对角阵AP=PLApi=li pi(i=1,2,n)A 的的特征特征值值对应的对应的特征向量特征向量121212(,)(,)nnnA pppppp 其中其中?(Ali E)pi=0 矩阵矩阵 P 的的列向量组列向量组线性无关线性无关定理：设定理：设 l1,l2,lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值

33、，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，假设次是与之对应的特征向量，假设 l1,l2,lm 各不一样，那各不一样，那么么p1,p2,pm 线性无关线性无关P.120定理定理2定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵类似即和对角阵类似即 A 能对角化的充分能对角化的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量P.123定理定理4推论：假设推论：假设 A 有有 n 个不同的特征值，那么个不同的特征值，那么 A 和对角阵类似和对角阵类似阐明：当阐明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，

34、从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化P.118例例6定理：设定理：设 l1,l2,lm 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2,pm 依依次是与之对应的特征向量，假设次是与之对应的特征向量，假设 l1,l2,lm 各不一样，那各不一样，那么么p1,p2,pm 线性无关线性无关P.120定理定理2定理：设定理：设 l1 和和 l2 是对称阵是对称阵 A 的特征值，的特征值，p1,p2 是对应的特是对应的特征向量，假设征向量，假设 l1 l2，那么，那么 p1,p2 正交正交P.124定理定理6证明：证明：A p1=l1 p1，A p2=l2 p2，l1 l2 l1 p1T=

35、(l1 p1)T=(A p1)T=p1T A T=p1T A A 是对称阵是对称阵l1 p1T p2=p1T A p2=p1T(l2 p2)=l2 p1T p2(l1 l2)p1T p2=0由于由于l1 l2，那么，那么 p1T p2=0，即，即 p1,p2 正交正交定理：设定理：设 A 为为 n 阶对称阵，那么必有正交阵阶对称阵，那么必有正交阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L，其中其中 L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵不独一个特征值为对角元的对角阵不独一.P.124定理定理7定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵类似即和对角阵类似即 A 能对角化的充分能对角化

36、的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 P.123定理定理4推论：假设推论：假设 A 有有 n 个不同的特征值，那么个不同的特征值，那么 A 和对角阵类和对角阵类似似阐明：当阐明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵类似即和对角阵类似即 A 能对角化的充分能对角化的充分必要条件是必要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 P.123定理定理4推论：假设推论：假设 A 有

37、有 n 个不同的特征值，那么个不同的特征值，那么 A 和对角阵类和对角阵类似似阐明：当阐明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化的特征向量，从而不一定能对角化推论：设推论：设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵，l 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，那重根，那么么矩阵矩阵 A lE 的秩等于的秩等于 n k，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 l 对应对应例：设例：设 ，求正交阵，求正交阵 P，使，使P1AP=L对角阵对角阵.解：由于解：由于 A 是对称阵，所以

38、是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l1=2，l2=l3=1 011101110A 211|11(1)(2)11AE 当当 l1=2 时，时，解方程组解方程组(A+2E)x=0 ，得根底解系，得根底解系 当当 l2=l3=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得，得 令令 ，那么，那么 .问题：这样的解法对吗？问题：这样的解法对吗？2111012121 011112000rAE 1111 111111111 000111000rAE 23111,001 123111(,)110101P 1000000211PAP p当当 l1=2时，对应的特征向量为

39、时，对应的特征向量为 ；p当当 l2=l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .p显然，必有显然，必有x1x2，x1x3，但，但x2x3 未必成立未必成立p于是把于是把 x2,x3 正交化：正交化：p此时此时x1h2，x1h3，h2h3 1111 23111,001 32223322211,11,1,202 单位化：单位化：当当 l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；当当 l2=l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 .1111 231111,1202 111131p 2311111,12602pp p当当 l1=2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为

40、 ；p当当 l2=l3=1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为p于是于是 p1,p2,p3 构成正交阵构成正交阵p从而从而 111131p 2311111,12602pp 123111326111(,)32612036Pppp 1000000211PAP 把对称阵把对称阵 A 对角化的步骤为：对角化的步骤为：求出求出 A 的一切各不一样的特征值的一切各不一样的特征值 l1,l2,ls，它们的重数，它们的重数依次为依次为k1,k2,ks k1+k2+ks=n对每个对每个 ki 重特征值重特征值 li，求方程组，求方程组|Ali E|=0 的根底解系，的根底解系，得得 ki 个线性无关的特征

41、向量个线性无关的特征向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量由于由于k1+k2+ks=n，总共可得，总共可得 n 个两两正交的单个两两正交的单位特征向量位特征向量这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP=L L 中对角元的陈列次序应于中列向量的陈列次序相对应中对角元的陈列次序应于中列向量的陈列次序相对应.例：设例：设 ，求，求 An .分析：分析：数学归纳法数学归纳法2112A 2222221215413131121

42、2452 1313A 3332335421141313131451213142 1313AA A 11111211313131311212213131313nnnnnnnnnnAAA 定理：假设 n 阶矩阵 A 和 B 类似，那么 A 和 B 的特征多项式一样,从而 A 和 B 的特征值也一样推论：假设 n 阶矩阵 A 和 B 类似，那么 A 的多项式 j(A)和 B 的多项式 j(B)类似假设 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L=diag(l1,l2,ln)类似，那么从而经过计算j(L)可方便地计算j(A).假设j(l)=|AlE|，那么 j(A)=O零矩阵.1211()()()()()n

43、APPPP 例：设例：设 ，求，求 An .分析：分析：数学归纳法数学归纳法由于由于 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 l1=1，l2=3下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 2112A 221|(2)1(1)(3)12AE 1003 1003nn 下面求满足下面求满足 P 1AP=的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 l1=1 时，时，解方程组解方程组(AE)x=0 ，得根底解系，得根底解系 当当 l2=3 时，时，解方程组解方程组(A3E)x=0 ，得根底解系，得根底解系 问题：能否需求单位化？问题：能否需求单位化？于

44、是于是 Ap1=p1，A p2=3 p2，即，即 假设假设 ，那么，那么 11111100rAE 111p 111131100rAE211p 121210(,)(,)03A pppp 1211(,)11Ppp 11003PAP 11112 11P 于是于是 ，即，即11()11101112 1103111110111313112 1103112 1313nnnnnnnnnAP PPP 11003PAP 1AP P 5 5 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵1000对应对应 11,0.xxy yx0(,)P x y111(,)P xy投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 cossinsincos

45、 对应对应 1111cossin,sincos.xxyyxy 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转 角的旋转变换角的旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 (,)P x y111(,)P xy yx0w解析几何中，二次曲线的普通方式wax2+bxy+cy2=0w 经过选择适当的的旋转变换w使得 mx 2+ny 2=0 w定义：含有 n 个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数w称为二次型cossin,sincos.xxyyxy 22212111222121213131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx 22212111222121213131

46、,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x 令令 aij=aji，那么，那么 2 aij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是，于是212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x2211

47、2222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 对称阵对称阵111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 对称阵对称阵 A A 的秩也叫做二次型的秩也叫做二次型 f f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩

48、阵之间存在着一一对应关系.对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵对于二次型，寻觅可逆的线性变换对于二次型，寻觅可逆的线性变换使二次型只含平方项，即使二次型只含平方项，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的规范形或法式定义：只含平方项的二次型称为二次型的规范形或法式.假设规范形的系数假设规范形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取值三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 那么上式称为二次型的规范形那么上式称为二次型的规范形阐明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数

49、范围阐明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.11111221221122221122,.nnnnnnmnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 简记为简记为 x=C y，于是于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y定义：设定义：设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，假设有可逆矩阵阶矩阵，假设有可逆矩阵 P 满足满足P 1AP=B，那么称矩阵那么称矩阵A 和和 B 类似类似P.121定义定义7定义：设定义：设 A,B 都是都是 n 阶矩阵，假设有可逆矩阵阶矩阵，假设有可逆矩阵 C 满足满足CTAC=B，那么称矩阵那么称矩阵A 和和 B 合

50、同合同P.129定义定义9 显然，显然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即假设即假设 A 为对称阵，那么为对称阵，那么 B 也为对称阵也为对称阵R(B)=R(A)经过可逆变换后，二次型经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩阵合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次型的秩不变假设二次型假设二次型 f 经过可逆变换经过可逆变换 x=C y 变为规范形，即变为规范形，即2221122112212()()()(,)TTTTnnnnnfx AxCyA CyyC AC yk yk yk ykykyyyyky 问题：对于对称阵问题：对于对称阵

51、A，寻觅可逆矩阵，寻觅可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角阵为对角阵,把对称阵合同对角化把对称阵合同对角化定义：假设定义：假设 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA=E，即，即 A1=AT，那么称矩阵那么称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵为正交矩阵，简称正交阵定理：设定理：设 A 为为 n 阶对称阵，那么必有正交阵阶对称阵，那么必有正交阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L，其中其中 L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵不独一个特征值为对角元的对角阵不独一.P.124定理定理7定理：任给二次型定理：任给二次型 f(x)=xTAx 其中其中A=AT，总存在，总存在正交变换正交

52、变换 x=P y，使，使 f 化为规范形化为规范形 f(P y)=l1 y12+l2 y22+ln yn2 其中其中 l1,l2,ln 是是 f 的矩阵的矩阵 A 的特征值的特征值推论：任给二次型推论：任给二次型 f(x)=xTAx 其中其中A=AT，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x=C z，使，使 f(Cz)为规范形为规范形推论：任给二次型推论：任给二次型 f(x)=xTAx 其中其中A=AT，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x=C z，使，使 f(C z)为规范形为规范形证明：证明：f(P y)=l1 y12+l2 y22+ln yn2假设假设R(A)=r，无妨设，无妨设 l1,l2,l

53、r 不等于零，不等于零，lr+1=ln=0,令令那么那么 K 可逆，变换可逆，变换 y=Kz 把把 f(P y)化为化为f(PKz)=(PKz)T A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz其中其中121,|=,1,.iinkirkKkirk 其其中中1212,0,0|TrrKKdiag例：求一个正交变换例：求一个正交变换 x=P y，把二次型，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化为规范形化为规范形解：二次型的矩阵解：二次型的矩阵根据根据P.125例例12的结果，有正交阵的结果，有正交阵使得使得于是正交变换于是正交变换 x=P y 把二次型化为规范形把二次型化为规范形f=2y12+y22+y32011101110A 11132611132612036P 1000000211PAP 假设要把假设要把 f 化为规范形，令化为规范形，令 ，即，即可得可得 f 的规范形：的规范形：f=z12+z22+z320000001/211K 1000000211PAP 1122221/2yzyzyz