组合知识点及题型归纳总结

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1、组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1. 单纯组合问题2. 分选问题和选排问题 分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数 选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数.3. 分组问题和分配问题 分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； 分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数题型归纳及思路提示题型1 单纯组合应用问题思路提示把所给问题归结为从n个不同元素中取m个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选 5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法

2、？（1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5） 既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同取出的元素有无顺序.解析 （1） 1名女生，4名男生，故共有C1C4二350 （种）.58（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有C3二165 （种）.11（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有C1C4 + C2C3 = 825 （种）.2 11 2 11解法二：（间接法）采用排除法C5 C5二825（种）1311（4）至多两名女生含有 3 类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故

3、选法为：C 2C3 + C1C4 + C5 966 种.58588（5）解法一：（直接法）分两类：女队长当选，故有C4种；男队长当选，故至少需要另外124名女生中的一名，故C1C3 + C2C2 + C3C1 + C4种.4 747474综上可知，选法有 C 4 + C1C 3 + C 2C 2 + C 3C1 + C 4 = 790 种.124747474解法二：分两类：女队长当选，故有Ci种；男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有C 7种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有4 C 4)种，故共有 C 4 + G 4 C 4)= 790

4、 种.11712117变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请 方法.A.84B.98C.112D.140变式2在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（）种不同取法.A.150B.147C.141D.1421f1 1变式3若一e A，就称A为有伴关系的集合，集合M二卜1-,1,2,3,4，则M的非空子集中，具有 xI3 2J有伴关系的集合有（）个.A.15B.16C. 28D. 25例12.22在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，将x轴上5个点和y轴 上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点

5、最多有（）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x轴正半轴上5个点中取两点A,B，在y轴正半轴上3个点中取两点C,D， 确定四边形ABCD，其对角线AD c BC = P是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个 符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有C2C2二30个，故选A.5 3评注解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助变式1ZAOB的边OA上有A , A , A , A四个点，OB边上有B , B , B , B，B五个点，共9个点，1 23412345连接线断AB （1 i 4,

6、1 j n, m 1, n 0且m + n为偶数，则质点共有题型2分选问题和选排问题 思路提示两个集合A, Bcard(A)= n , card(B)= n1 2A选m，B选m，共有CC种方法，选排为选出再排列.1 2n1 n2例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2,男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？ （2）至少有一女 有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？ （5）选男甲不选女A,B，有 多少种选法？解析 (1)女选2,男选2有C2C2二90种选法，再安排4个不同工作有C2C2A4二2160种方法.4 6464(2) 加法：C1C3 +

7、C2C2 + C3C1 + C4 209 ；减法：C4 C4 209.6 46 46 46104(3) 减法：C4 C4 209.104(4) 加法：C1C3 + C2C2 + C3C1 194 ；减法：C4 C4 C4 194 .6 464641064(5) 从10-3=7人中选3人， C3 35.7评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多 少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2

8、人，则选出的4人中恰有1女，共有( )种取法.A.150B.180C.300D.345例12.24(2012浙江理6)若从1,2,3,.,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知， 1,3,5,7,9共5个奇数， 2,4,6,8共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以 下几类：四个均为奇数，有C4 5种取法；两个奇数，两个偶数，有C2C2 60种取法；四个均为偶数，有C4 15 454种取法共有66种不同的取法，故选D.变式1 从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位

9、数，其中有()个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2由数字0,1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有个(用数字回答).变式3 从110这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有( )种.A.18B.20C.45D.84例12.25 (2012陕西理8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情 形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有( )种.A.10B.15C.20D.30解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有2C3 = 2种不同的情形；当比赛4场结束时，有2C1 6种；当比赛5场结33

10、束时，有2C2 12种不同情形.故共有2 + 6 +12 20种不同的情形.故选C.4变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成1,2,3号参加团体比赛，则其变式2已知集合A =址B = 12）；C = 6,3,4,从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标, y； z）,则共可确定（）个点的坐标.A.33 B.34C.35D.36变式3 用4张分别标有1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行,如果取出来的4张卡片的数字之和为10,则共有种排法（用数字作答）.题型3平均分组和分配问题思路提示分组定

11、义：把一个非空有限集A按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集 分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）； 有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可； 由若干（m个）元素不为1的组，且元素个数相同，把的结果除以Am .m分配定义：把一个非空有限集A的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：定向分配问题：各分配去向分配数依次确定去向122 m分配兀素（个）-1n 2n31 nm逐方向分配即可，共有分配数：N = 55 C-3 -Cnm （额配法）m m_ni m_n 一偽nm 不定方向分配问题：各分配方向名额不确定先把A按要求分成若干组

12、（分组问题），再把每组打包成一 个元素，在m个分配方向上排列（组排法）. 信箱问题. 3封不同信任意投入4信箱，共有4 3种投法. 相同元素的分配问题（不定方程组的个数）一一隔板问题x + x +. + x = n12m x ；x，x e N*；，共有Cm_1组不同的解.1 2mn _1m；n e N*；m n例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？（1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本， 一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一 份4本，另两份各1本；（6）甲、乙

13、、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、 丙3人，每人至少一本.解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有C2种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有C2种，最后的两本分给丙，方法64有C2种有分步计数原理，故所求的分配方法有C2 C2 C2 = 90种.2 6 4 2解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无A6序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有种分法.A2A2A2222C 2C 2C 24A33个人的方法有A3种。故有C6：4

14、2 A3 = C 2C 2C 2种.3A33 6 4 2解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有一 种，再分配34A33（2）把6本不同的书分成3堆，每堆2本，与把6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本的区别在 于，后者相当于把6本不同的书，平均分成3堆后，再把每次分得的3堆书分给甲、乙、丙3人，因此， 设把6本不同的书，平均分成3堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙3人每人2本的分C 2C 2C 2法有 xA3种，即 xA3 = C 2C 2C 2，从而 x 6 4 2 =15 种.33642A33（3）因为不是均匀分组问题，可以分为3个步骤完成，

15、先在6本书中任取一本，作为一堆，有C6种取法; 6再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有Cf种取法；然后从余下的3本书中取3本作为一堆，有C?53种取法，故共有分法C6CfC3 = 6 0种;653 组排可以利用先选后排的步骤完成，第一步，方法有C6CfC3 = 60种第二步，其分配有A3种, 6533C1C2C3 A3=360 种.6533 部分均匀问题，解法一：从中取4本作为一堆的方法有C?种，剩余2本分成两堆的方法只有1种,6从而有C4 1 15种.6解法二：分三步，第一步从6本书中取4本，有C?种，第二步，从剩余2本书中取1本，有C 2种62方法；第三步，从剩余1本书中取1本，有c：

16、种方法，由分步计数原理，共有C52C.1种方法，但是其1 6 2 1C 4C 1C 1 中每堆都是1本的两堆是不计算顺序的，故得6本书分成3堆，一堆4,另两堆各1本的分法有6A2 1=152种.C 4C 1C 1（6）组排部分均匀问题，可以采用先分组后分配的步骤方法，共有七j A3 90种，也可以转化视A 232角，即从6本书中选4本看作一个元素，再与其余2本作全排列，共有C4As 90种.63（7）解法一：（分类讨论）因为分给甲、乙、丙3人，每人至少1本有3种情况：甲、乙、丙每人2本,有CfC2C2种分法；甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有C 6C |C360种分法；64265

17、33甲、乙、丙3人，一人4本，其余两人一人1本，有C4A3种分法，所以不同的分法有63C 2C 2C 2+C1C 2C 3A3+C 4A3=540 种.642653363解法二：（间接法）6本书全部分给3个人中的1人，有C1种分法；6本书全部分给3人中的2人，3且每人至少1本，则共有36种方法；由上可知，6本书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1本，应有 36-C1 + C2（26 一 C1 兀540 种.3 32评注 解决分配问题的关键是区分是否与顺序有关，对于平均分组要注意顺序，按先分组再分配的原 则去计算，平均分组与非平均分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型，解决此类问题的关键是

18、正确判断分组是平均分组还是非平均分组，无序平均分组要除以平均组数的阶乘数，还要充分考虑是否与 顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.变式1 有编号为1,2,3,4的4张不同的卡片，按照下列方法处理，各有几种分法？（1）甲得2张，乙得2张；（2）平均分成2堆，每堆2张.变式2 9个人分到3个单位，下面各有多少种分配方法.（1）甲单位2人，乙单位3人，丙单位4人；（2）每个单位3人；（3）每个单位各2人，一单位5人.例12.27（2012山东理11）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张.从中任取3 张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不

19、同取法的种数为（ ）.A.232B.252C.472D.484解析利用分类计数原理解决本题.第1类，含一张红色卡片，有C1 - C2 = 264种不同的取法；4 12第2类，不含红色卡片，有C3 -3C3 = 208种不同的取法.共有264 + 208 = 472 （种）不同的取法.12 4故选C.变式1 将4个相同的白球，5个相同的黑球，6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，使4个盒子 中的1个为空，其他盒子中球色齐全，共有种不同方法（用数字作答）.变式2 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本， 则不同的赠送方法有（ ）种.A.4B.10C.

20、18D.20变式3 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）.A.4 种B.18 种 C.36 种D.54 种例12.28 8个球队中有甲、乙两个强队，现把8个球队平均分成两组，如下各有多少种分法？（1）甲、乙不在同组；（2）甲、乙在同组.解析 （1）甲、乙不在同组，看为6个非强队平均分成两组，一组为“甲组”，一组“乙组”.定序分组，共C3C3 = C3 = 20种方法.6 36（2）甲、乙同组，看为把6个非强队分为一组2 （与甲、乙并为4）, 一组4,共有C2C2 = C2 = 15种方6 2 6

21、法.变式1 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组，进行混合双打比赛，共有种不同的分配方法(混合双打是一男一女对一男一女，用数字作答).变式2 (2012新课标理2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活 动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共( ).A.12 种B.10 种C.9 种D.8 种变式3 甲、乙、丙、丁4个公司承包8项工程，甲承包3项，乙承包1项，丙、丁各承包2项，共有( ) 种不同的承包方案.A.3360B.2240C.1680D.1120例12.29 6个不同的小球放入5个小盒，按下面要求各有多少种放法？ (1)每盒

22、至少1球；(2)恰有1盒空；(3)任意分.解析(1)先分组6=2+1+1+1+1,分组方法有C 2种五组在五盒排列，共C2A5二1800种放法.665C2C2(2) 先分组 6=3+1+1+1=2+2+1+1, C3 + 64 65，四组在 5 盒排列，共65x A4 = 7800 种.6A 252(3) 56 15625种.变式1 某外商计划在4个候选城市投资3个不同项目，且在同一城市投资的项目部超过2个，则该外商 共有( )种投资方案.A.16B.36C.42D.60变式2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子中，使得放入每个盒子里的球的个数不 小于该盒的编号，共有( )种放

23、法.A.10B.12C.36D.52变式3把20个相同的小球放入6个盒中.(1)每盒至少一球有多少种方法？ (2)每盒至少二球有多少种方法？ (3)随便放(即可有若干盒中无 球)有多少种方法？有效训练题1. 在1,2,3,4,5 这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的有( )个.A.36B.24C.18D.62. 某小组4人负责周一至周五的值日，每天只安排一人，每人至少一天，共有( )种安排方法. A.480B.300C.240D.1203 .从甲，乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲，乙至少有1人参加，不同的挑选方法有( ). A.16 种B.20 种C.24

24、种D.120 种4.3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 ( ).A.90 种B.180 种C.270 种D.540 种5. 掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有( ).A. C2 + C3 + C4 种 B. A2 + A3 + A4 种 C. x 24种D.不同于A,B,C 的结论44444426. 1 ,1 ,1为100条共面且不同的直线，若其中编号为4k I丘N*)的直线相互平行，编号为4k-3的1 2 100直线都过定点A，则这100条直线的交点最多有()A.4350 个B.4351 个 C.4900 个D.4901 个7如图12-22所示为一个4x5长方形表，一个“兵”从A走到B，每步向左或向右或向上行一格，最少 步该“兵”由A走到B 按这样的步数从A走到B共有种走法(用数字作答).图 12-228.安排 3人到6 所学校任教，每校至多2人，共有种分配方案（用数字作答）.9.正方体的 8 个顶点能构成多少个不同的三棱锥？ 10.6 人分成 3 组，各有多少种方法？ （1）一组3人，一组2人，一组1 人； （2）第一组 3 人，第二组 2 人，第三组 1 人；（3）平均分成三组；（4）第一组 2 人，第二组 2 人，第三组 2 人；（5）任意分成3 组.