线性代数知识点

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1、对于考研数学中的线性代数这一门有很多的复习技巧，掌握这些技巧之后对于提高成绩有着 很大的帮助。考研辅导专家为广大考研学子总结出以下几个技巧：一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩 阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与 线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间， 特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同 矩阵。往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的

2、区别与联系，导 致做题时出现错误。例如，矩阵A=(al, a2，am)与B=(卩1,卩2.，卩m)等价，意味着 经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组al， a2, .am与卩1,卩2,卩m等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同 的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等 价的信息，因此，由向量组al, a2, .am与卩1,卩2,.卩m等价，可知矩阵A=(a1, a2, .am) 与B=(卩1,卩2, .pm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。又如，实 对称矩阵A与B合同，即

3、存在可逆矩阵C使CTAC= B,要实现这一点，关键是二次型xTAx 与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立， 进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指 数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵ABDADB，即相似是合同的充分 条件。线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有： 行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幕，求向量组的秩与极 大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特 征值与特征向量(定义法，特征多

4、项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化 实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵 活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞 清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。例如：设A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且AB=O，那么用分块矩阵可知B的列向量 都是齐次方程组Ax=O的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可 以有r(B)n-r(A)即

5、r(A)+r(B)n进而可求矩阵A或B中的一些参数。再如，若A是n阶 矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P-1AP=5知A有n个线性无关的特征向量， P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若Xi 是ni重特征值,则齐次方程组(XiE-A)x=O的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r(XiE-A) =n-ni,那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值Xi使秩r(XiE-A) Vn-ni,若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值Xi必有r(XiE-A)=n-ni, 此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。又比

6、如，对于n阶行列式我们知道：若丨A 1=0,则Ax=O必有非零解，而Ax=b没 有惟一解(可能有无穷多解，也可能无解)，而当丨AI 0时，可用克莱姆法则求Ax=b的惟 一解；可用丨A丨证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1；对于n个n维 向量a1, a2, .an可以利用行列式I A I = | a1a2.an I是否为零来判断向量组的线性相 关性；矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r(A)Vr,则A中r阶子 式全为0；求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式I XE-A |,若X=X0是A的特征值， 则行列式丨入OE-A 1=0；判断二次型xTAx的正定性，可

7、以用顺序主子式全大于零。凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵 活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。三、注重逻辑性与叙述表述线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原 理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时， 应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简 明。线性代数中常见的证明题型有：证丨A 1=0；证向量组al, a2, .at的线性相关性， 亦可引伸为证al，a2., at是齐次方程组Ax=0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明 矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有 非零解；线性方程组是否有解（亦即卩能否由al，a2., as线性表出）；对给出的两个方程 组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在考试中取得好成绩，一定要 认真仔细地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地 总结经验与教训，做到融会贯通。