第1章 质点运动学与牛顿定律

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1、第 1 章 质点运动学与牛顿定律一基本要求1 了解描述运动的三个必要条件：参考系（坐标系）、物理模型（质点）、初始 条件 。2 理解描述质点运动的基本物理量：位置矢量、位移、速度、加速度的定义和性 质，明确这些物理量的矢量性、相对性和速度、加速度的瞬时性。3 掌握质点运动学的两类问题：用微分方法由已知的运动学方程求速度、加速 度 ；用积分的方法由已知质点的速度或加速度求质点的运动学方程。4 掌握圆周运动的角量表示、角量描述以及角量和线量之间的关系。5 了解相对运动的有关概念，并学会应用伽利略速度变换式进行质点相对运动的 简单计算。6 理解牛顿运动定律的内容和实质，明确牛顿运动定律的使用条件。7

2、 掌握用隔离法解质点受力和解题的基本方法，能用微积分求解变力作用下简单 的质点动力学问题。8 了解惯性力的概念和特点。二 基本概念1 参考系与坐标系参考系：用以描写物体运动所选用的另一物体 。坐标系：固定在参考系上以确定物体相对于参考物的位置。常用的坐标系有直角 坐标系和自然坐标系 。2 质点 ：几何线度可以忽略的物体，任何物体可看成许多质点的集合。 可以将物体简化为质点的两种情况：（1）物体不变形，不作转动时（此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体 上任一点的运动可以代表所有点的运动）。2）物体本身线度和它的活动范围相比小很多（此时物体的变形及转动显得并 不重要）。3 位置矢量 r ：用以

3、确定质点位置的矢量，简称位矢，直角坐标系中表示为 r = xi + yj + zk。位置矢量r与时间t的关系又称为质点的运动学方程。4位移ar与路程As位移Ar：表示质点位矢的变化，直角坐标系中表示为 A r = A x i + A yj + A zk路程As :表示质点经过轨迹的长度。5速度。与速率u平均速度 U = Ar =r （t +A t）r（t）A tA t速度ud rdxdydzu = i + j + k = u i + u j + u kdtdtdtdtxyz平均速率u=MAt速率drdtdsdt6 加速度 a平均加速度- A uu (t + A t) u (t)a =AtAt加

4、速度A u dua = lim =A tdtA t T 0在直角坐标系中dux i +dtd ud u-j + l k = a i + a j + a k dtdtx y z在自然坐标系中d ud uu 2a = e + e = a + adt dt T p n T7角坐标e与角位移 角坐标e :表示质点到参考轴端点的连线与参考轴的夹角。角位移:表示质点角坐标的变化。8角速度和角加速度a角速度a = lim如=如A t f 0 A tdt角加速度A &d &d2 0a = lim =Atf 0 At dt dt 29 质点做圆周运动的角量与线量关系：dsRd 0u = R w ，dt dtdu

5、dtR dw=R adtu2，a = R w2nR10 力：物体之间的相互作用。力学中常见的有万有引力、弹性力及摩擦力等 。11 惯性系和非惯性系 凡是牛顿运动定律成立的参照系，称为惯性系。牛顿定 律不成立的参照系称为非惯性系。三 基本规律1伽利略速度变换式。=U + u即质点相对基本参考系的绝对速度u，等于运动参考系相对基本参考系的牵连速 度u与质点相对运动参考系的相对速度U之和。2 牛顿第一定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使 它改变运动状态为止。3牛顿第二定律 动量为卩的物体，在合外力f =t F的作用下，其动量随时ii=1间的变化率应当等于作用于物体的合外力，即

6、d (m u)dt dt4 牛顿第三定律 两个物体之间的作用力 F 和反作用力 F ，沿同一直线，大小相 等，方向相反，分别作用在两个物体上。5 力学相对性原理 对于不同的惯性系，牛顿第二定律有相同的形式 , 在一惯性系 内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系是否相对其它惯性系运动。四 难点解析与问题讨论1描述运动物理量的矢量性质点的运动常常随着大小和方向的变化而变化，因此描述质点运动的物理量 位置矢量、位移、速度、加速度都是矢量。它们的运算遵循矢量的运算法 则。并且要注意位移和路程、平均速度和平均速率的区别 。d rdr问题11在曲线运动中，1与A r是否相同？ k /与Au是否相同？

7、dt与dtd u d u有何区别？齐和万有何区别？请举例说明。解 本题考察的是关于位移、速度、加速度的矢量性概念，针对学生对矢量符 号容易漏掉或理解不深的问题展开的。(1) lArl与a r不相同，a r是两矢量之差，即A r = r - r ，而A r是两个矢量21的模之差，即Ar = |r I-|r I，由图1.1 (a)可见，两者是不同的概念。2 1(2) 同理kU与Au也不相同，由图1.1 (b )可见。d rdr(3) dt表示质点运动的速度，是矢量，有大小和方向；而dt是矢径大小的变化率，只有大小，没有方向 。(4) du = a是质点运动的加速度；而d= a是质点运动的切向加速度

8、，反映 dtdt T的是速度大小变化率 。2 弹性力和摩擦力的问题在受力解时，比较复杂的是弹性力和摩擦力，弹性力的大小和物体所受的其 他力及运动状态有关，比较容易判断的是力的方向，它总是垂直于物体接触点的 切面，而它们的大小则往往需要通过牛顿定律求出。同样在解题时要注意的是在 实际问题中静摩擦力往往也是未知的，并且不能随意套用公式计算出来，只能 根据物体的运动情况和受力解得到。静摩擦力的方向可先假设，再由计算结果 来给予检验，如果计算结果是正值，那么它的方向就与假设相同；如果计算结果 是负值，那么它的方向就与假设相反。问题12如图1.2所示，一个质量m = 20kg的小车放在光滑的平面上，其上

9、放1有一个质量m = 2.0 kg的木块，木块与小车之间的静摩擦系数卩=0.30，滑动摩20擦系数卩=0.25，用F = 2.0 N的力在水平方向上拉木块，问木块与小车之间的摩图 1.2擦力F多大？能用F = r F来求吗?ffN解 首先我们要明确是m和m之间的摩擦是滑动摩擦还是静摩擦？假设m与1 2 1m之间发生相对滑动的话，则作用在m上的滑动摩擦力F的大小为2 2 fF = rF = rmg = 0.25 x 2.0 x 9.8 = 4.90 N，贝U F F，这是不可能的事。由此说 fNf明m和m之间无相对滑动。它们之间的摩擦是静摩擦。那么，静摩擦力能否用12F =卩F来计算呢？ F =

10、 0.30 x 2.0 x 9.8 = 5.88 N F，显然这也是不可能的事。 f00 Nf 0因此m和m之间虽然有静摩擦力，但还没有达到最大静摩擦力。本题中的静摩 12擦力只能根据物体的受力情况，用牛顿第二定律求得。首先，将m和m作为整体来考虑，小车与地面间无摩擦，它们在水平方向上只12受F作用，根据牛顿第二定律有F2.0F = (m + m ) a, a = = 0.09 m - s -212m + m 2 + 20图 1.3F12其次，对木块而言，对其进行受力解根据牛顿第二定律有 F - F = m af2得F =F-m a=2.0-2.0x0.09 =1.82Nf2从本题可以看出，对

11、静摩擦力的计算不能不加解地运用F =卩F这一公式，而 f0 N是要根据物体的受力情况和运动状态，用牛顿第二定律求得。3牛顿运动力学的应用 在运用牛顿定律解题时，要注意它仅适用于宏观、低速并能看成质点的物体而且只在惯性系中成立，所以首先一定要先判断是否在其适用范围之内，否则就会有错误的结论。其次是在列出牛顿第二定律的分量式时，要注意力和加速度的方向的确定。若与坐标轴正方向相同为正，反之为负，若方向一时无法判定，则可先 假定一个方向，然后根据计算结果来确定。同时要根据质点所做运动的情况来选 择合适的方程，如果质点做的是直线运动，那么方程为 F =ma 即可，如果质点做的是曲线运动（一般是圆周运动

12、），则方程为d u乙 F = m，T dt问题13在做匀速转动的水平转台上，与转轴相距R处有一体积很小的工件A,如图所示。设工件与转台间静摩擦系数为卩，若使工件在转台上无滑动, s则转台的角速度应满足A ro ,B3卩gB ro R2 RC ro iD rom 滑1 2 1 2 轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a.今用一竖直向下的恒力F = m占 代替质量为m的物体，可得质量为m的重物的加速度为的大小a，贝)12(A) a = a(B) a a习题 1.10 图解 对M , M两物体进行受力解，M受力P , T ；1 2 1 1m 受力 P , T 。根据牛顿第二定律 22有

13、P T = M a , T P = M a ，可求得 a =1 1 2 2(M - M12M + M12如；当用一竖直向下的恒力F = Mg代(M M ) g替质量为M的物体，可得质量为M的重物的加速度为的大小a= T2一。由此可知12A a,故选B。2 填空题1.11 在 xoy 平面内有一运动的质点，其 x , y 分量的运动方程分别为 x =10cos(5t )，Y = 10 sin(5 t) (SI)，t时刻其速率u， 其切向加速度的大小其法向加速度的大小A解根据u =空,udt可得u = 50 sin (5t),u = 50 cos (5t) , t时刻质点的速率为 dt=50 m

14、- s -1 ,切向加速度的大小aT匹=0 ,法向加速度的大小 dtu2=250 m - s 2。R112在x轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为u,初始位置为 x ,加速度为 a=Ct20(其中C为常量)，则其速度与时间的关系U =， 运动方程为x=u0Jx dx = J t (u + Ct3)dt 可得 x = x + u t +Ct4。030012x0 0解 根据d u = ad, dx=u dt,通过积分卜d u = J TCt 2 dt可得u =u + 1 Ct 3 ；通过积分3113灯距地面高度为H,个人身高为H,在灯下以匀速率u沿水平直线行走，如图1.2所示.则他的头顶在地

15、上的影子M点沿地面移动的速度u解 建立如下坐标，设时刻t影子M点在地面的位置为x，人在地面的位置为u t，由几何关系知一-=，将此式对t求导得h = H - u，因为u =，所以u =x - u thdtdtMdtM H + h1.14如图,一质点P从O点出发以匀速率1m - s-1作顺时针转向的圆周运动，圆的半径lm,3如图所示,当它走过3圆周时，走过的路程是4小，方向是。，这段时间内的平均速度大习题1.14 图3解 质点P从O点出发以匀速率lm - s-1作顺时针转向的圆周运动，当它走过3圆周到达 433B时，走过的路程是一 x 2兀=兀m42- OBu =t22m - s -1，3兀方向

16、与ox轴成45。115 质点沿半径为R的圆周运动，在t = 0时经过P点，此后它的速率u按u =A+B t （A、B 为正的已知常量）变化，则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向加速度at=，法向加速度a =。七nduu 2(A + Bt )2=B , a =dtn RR116以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度u与水平面的夹角为0时，它的切向加速度a的大小为a =,法向加速度a的大TTn小为a =。n解 因为忽略空气阻力，物体只受重力作用，所以物体的加速度就是重力加速度g，将g分解为沿速度方向和与速度垂直方向即得到a = g sin 0 , a = g cos 0

17、。Tn117 如图所示装置中，若两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，则在外力F的作用下，物体m和m的加速12度为 a =， m 与 m 间绳子的张力 T = 。1221.17 图解 因为两个滑轮与绳子的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都忽略不计，绳子不可伸长，对m , m两物体进行受力解，m受力P , T,F ； m受力P , T。根据牛顿第二定律1 2 1 1 2 2m g 一 m g + F2 m m g + Fm有 F + P 一 T = m a, T 一 P = m a，可求得 a = 12, T1 1 2 2m + m12i 寸m + m12118 在如

18、图所示的装置中，两个定滑轮与绳的质量以及滑轮与其轴之间的摩擦都可忽略不计，绳子不可伸长，m与平面之间的摩擦也可不计，在水平外力F的作用1下，物体 m 与 m 的加速度 a=，绳中的张力 T=12解 因为两个滑轮与绳摩擦都忽略不计，绳子受力解， m 水平方向受子的质量以及滑轮与其轴之间的不可伸长， 对 m , m 两物体进行12m 受力 P ,T 。根据牛22顿第二定律有 F 一 T = m a,T 一 P = m a ，1 2 2可求得F 一 m g2 -m + m12m m g + FmT = i_22。m + m123 计算题1.19已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = 12 i +

19、21 j ,式中r的单位为m, t的单位为 s.求：(1)任一时刻的速度和加速度；(2)任一时刻的切向加速度和法向加速度。解(1)由u =有：u = 21 i + 2 j， a =，有：a = 2 id tdt(2) 而u = |u|，有速率：u = J(21)2 + 22 = 2112 + 1adu2t，利用a 2 = a2 + a2有：dt1.20质点沿x轴作直线运动，它在t时刻的坐标是x = 4.5 12 213 ,式中x以米计，t以秒计，试求(1) t = 1 s和t = 2 s时刻的瞬时速度；( 2 )第二秒内所通过的路程；(3) 第二秒内的平均加速度以及t = 1 s和t = 2s

20、时刻的瞬时加速度。解(1)由 u = dX = d (4.5 12 213) = 91 612dt dt可知当 t = 1 s 时 u = 9 x 1 6 x 12 = 3 m - s -1 ,1当 t = 2 s 时 u = 9 x 2 6 x 22 = 6m - s-12(2)令 udx=91 612 = 0dtt = 1 .5 s 时 x 有极值，其速度为零，质点改变运动方向，即质点的“回头”点。此时x = x|= 3.375 m1.5t =1.5而 x = 4.5 x 12 2 x 13 = 2.5 m 1则质点所经过的路程为x = 4.5 x 2 2 2 x 2 3 = 2 m2As

21、 = I y 一 y I + I y 一 y 1=I 3.3751.5121.52.5I+I23.375 I=2.25m3)u u小.，a =1 = 9 i ( m - s-2)Atdua = (9 121) i ( m - s-2)dt贝 Ia = 3 i (m - s-2)a = 15 i (m - s-2)121.21 一质点在 y 轴上作加速运动，开始时 y = y , u = u 。若 00(1) 加速度a = kt + c，求任意时刻的速度和位置，其中k , c ,为常量;(2) 加速度 a = k u ，求任意时刻的速度和位置；(3) 加速度 a = ky ，求任意位置的速度。解

22、：（ 1）由u=u0+ J t a (t) dt0和y=y0+ J u (t) dt0可依次得速度 u =u +Jt(kt + c ) d t =u+1-k t 2+ c t0002位置坐标 y=y+Jt(u + c t +lt2)dt=y + u t +1c t 2 +1k t 300020026（ 2 ）由a=d u - k u可得仝-kdt，dtu两边积分有Ju du= - k J tdtu0u0所以lnuktu0可得u二u e - k t0再由 udy可得 d y=ud t = u e- kt d tdt0两边积分有Jydy = Ju e -kt d ty000由此可得y =y(u 0

23、 ( e - kt- 1)0k（ 3 ）由于 ad ud udyud udtdydtdy于是u d u = ady两边积分有J u u d u = J y kydyu 0 y0由此可得 u 2 = u 2 + k ( y 2 - y 2),故001.22质点的运动方程为：x = R cos wt , y = R sin w t , z =t，式中R、h、w为正2兀的常量。求：（1）质点运动的轨迹方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。h解（l）质点的轨迹方程为：X 2 + y 2 = R 2，z = w t，这是一条空间螺旋线。2兀空间螺旋线在Oxy平面上的投影，是圆心在原点，半径

24、为R的圆，其螺距为h。dxd yd z h2) u = 一Rw sin w t ， u = Rw cos wt， u = w，x dty d tz d t2 冗u2 + u 2 + u 2w4兀2(3) a =一 R 2 cos t a = R 2 sin ta = 0xyZia = a 2 + a 2 = R 2 xy1.23质点在xOy平面内的运动方程为x=3t, y=2t2+3。求：（1） t=2s时质点的位矢、速度和 加速度；（2）从t=1s到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向；（3） o 1 s和12 s 两时间段，质点的平均速度；（4）写出轨迹方程。解 (1)(2)r = 3

25、1 i + (212 + 3) j，u = dr = 3 i + 41 j，a = dtt = 2 s 时，r = 6 i + 11 j， u = 3 i + 8 j， a = 4 jAr = r - r = (6 i + 11 j) - (3 i + 5 j) = 3 i + 6 j , |ar | = 32 + 62 = X45 ,2 1zr与X轴正向的夹角9 = arctan = 63.4。(3)(3 1 + 5 j)一 3 j = 3 i + 2j,7At2= 3i+6 j(4)y=2+3=2x231.24质点的xt关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动.问（1）它 们属

26、于什么类型的运动?（2）哪一个速率小？解（1）从图象可以看出，三条线反映的都是：x与t成线性关系，所以 它们属于匀速直线运动（2）根据u =空dt可知直线的斜率越小，速率就小，所以c对应的速率小。1.25质点沿x轴正向运动，加速度a = ku， k为常数.设从原点出发时速度为u，求运 0 动方程 x = x（t） 。解由于是一维运动，所以，由题意：dU= ku, dt分离变量并积分有：P丄du =-J t kdt ，得：u = u e-ktu 0u00dxdt= u ek t ，0积分有： J x dxJ tu ek t dt0. ux = o (1 - e -k)k1.26已知子弹的轨迹为抛

27、物线，初速为u，并且u与水平面的夹角为0。试分别求出抛 00物线顶点及落地点的曲率半径。(1)抛物线顶点处子弹的速度ux=u cos 0，顶点处切向加速度为0法向加速度为g0因此有：u 2(u cos 0 )2g =旷PP11u2 cos 2 00gyvg习题1.26 图(2)在落地点时子弹的速度为u，0由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成0 角，则： a = g cos 0 n有：u2g cos 0 = 旷贝I：P2u 2P = 02 g cos 01.27如图所示，质量为m的钢球A沿着中心在0、半径为R的光滑半圆形槽下滑.当A滑 到图示的位置时，其速率为v，钢球中心与0的连线0A和

28、竖直方向成0角，求这时钢球对槽的压力和钢球的切向加速度.解 对小球进行受力解u2根据牛顿第二定律有N - P cos 0 = m -Ru 2m + mg cosRP sin 0a = g sin 0T m1.28 质量为 10kg 的质点在 x0y 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 f =6N ，xf = 7 N，当 t = 0 时，x = y = 0， u = - 2m - s-1 ， u = 0。当 t = 2s 时，求：yx 0y 0 质点的位矢；(2) 质点的速度。(1)由题意根据牛顿第二定律a =F可以得到m1fa = T6=0.6 m -x mI10f7a = =0.7 m -

29、、ym10又因为 a =d v通过积分dt解s -2s - 2I - 2Ju0ta0dta dt0y2uy=0.7由v = dr通过积分 dtx = J t (0.6 t - 2)dt = 0.3t2 - 2t 0 y = J 0.7 tdt = 0.35 t2 0所以r = (0.3 12 21)i + 0.35 12 j当t = 2s时r = (0.3 x 22 - 2 x 2)i + 0.35 x 2 j=-2.8 i + 1.4 j(2)v = (0.6 t - 2)i + 0.7 tj当 t = 2s 时v = (0.6 x 2 - 2) i + 0.7 x 2 j=0.8 i +

30、1.4 j1.29质量为m的子弹以速度u水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度 0成正比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函 数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解 由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为： f = -ku又由牛顿第二定律可得：f = m，则-ku = m -dtdt分离变量，可得：匹=-dt，两边同时积分，有：卜 匹=Jt - -dt，u mu 0 u 0 mk所以： u = u e m0(2)子弹进入沙土的最大深度也就是u = 0的时候子弹的位移，贝I：考虑到匹=匹旦，u =空，可推出：dx =-竺du，而这个式子

31、两边积分就可以得到 dt dx dt dtk位移：X =-f0 mdu= muwkk 0max1.30两根弹簧的倔强系数分别为k 1和k 2 .求证:1)它们串联起来时，总倔强系数k与k,和心.满足关系关系式丄= 2 k111:一 + 一 ； kk 122)它们并联起来时，总倔强系数k = k + k2.解 当力F将弹簧共拉长x时，有F = kx,其中k为总倔强系数.两个弹簧分别拉长X和x2，产生的弹力分别为F1 =k1x1， F2 =k2x2.(1)由于弹簧串联，所以F = F = F2, x = x + x2,F F F 因此 一 =r + 2-kkk2111= + 一.k k k122)

32、由于弹簧并联，所以 F = F1 + F2， x = x1 = x2习题 1.28 图因此kx =k1x1 +k2x2，k = k1 + k2 .1.31如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动.在环上套有一珠子.今 逐渐增大圆环的转动角速度rn，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置.以珠子所 停处的半径与竖直直径的夹角e表示.解 珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为 珠子做圆周运动的向心力，其大小为： F = mgtge. 珠子做圆周运动的半径为 r = Rsine.根据向心力公式得F = mgtge = mm2Rsine，可得mgcos 0习题 .3 图解得

33、0 = 土 arc cos1.32 一质量为m的小球以速率u从地面开始竖直向上运动.在运动过程中，小球所受空气 0阻力大小与速率成正比，比例系数为k .求：(1)小球速率随时间的变化关系u (t)；(2)小球上升到最大高度所花的时间 T.解(1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为正，根据牛 顿第二定律得方程d u-mg - ku = m _dt分离变量得d um d (mg + ku )dt = - m=-mg + k uk mg + k u积分得 t = 一巴ln( mg + ku ) + C km当 t = 0 时，u = u 所以 C = ln( mg + k

34、u ),0k0因此t = - lnkmg + k u mg + k u0小球速率随时间的变化关系为u = (u +0mgm gkt)exp(-)- km(2)当小球运动到最咼点时u = 0，所需要的时间为mmgT = - ln k mg + k u 0讨论(1)如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤 由于u = dX，所以dtdx =(u + mg0kt)exp(-)-mgkdt积分得m (u0x =+ mg )kkktexp(- 一)mmgt + C k当t = 0时，x = 0，所以m(u0 +mg )0 kkt1 - exp(-)mmg(mg、m (u +)C =0 kk因此(2)如果小球以u 0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，贝I微分方程变为d u mg - ku = m _dt用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为m gm gktu = (-u 0) exp()kk0m这个公式可将上面公式中的g改为-g得出.4 开放性习题1.33 以“GPS”为关键词在互联网上查阅其工作原理，并了解GPS与人们日常生活的关系, 以及它的发展前景。1.34 以“高速铁路”为关键词在互联网上查阅其速度的不断提高需克服哪些方面带来的困难？