第5章衍生金融工具的风险分析(2)欧式期权(金融工程与

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1、金融工程与风险管理金融工程与风险管理第第5章章 衍生金融工具的风险分析（衍生金融工具的风险分析（2）：欧）：欧式期权式期权5.1B-S模型的理论基础模型的理论基础 弱式有效市场与马尔可夫过程弱式有效市场与马尔可夫过程 1965年，法玛（年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说）提出了著名的效率市场假说（EMH），该假说认为），该假说认为:前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。前提：投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬。推论：证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证推论：证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。券价格能完全反应全部信息。

2、只有新信息才能引起价格的变动，而新信息是不可预测的，只有新信息才能引起价格的变动，而新信息是不可预测的，故价格的变化不可预测。故价格的变化不可预测。价格变化（回报）不可预测，等价于回报是相互独立价格变化（回报）不可预测，等价于回报是相互独立的。的。cov(,)0,tsr rts EMH根据市场对信息集包含的信息进行分类：弱根据市场对信息集包含的信息进行分类：弱式、半强式和强式式、半强式和强式 弱式有效市场：市场价格已经包含了历史上所有的弱式有效市场：市场价格已经包含了历史上所有的交易信息（价格和交易数量等）。交易信息（价格和交易数量等）。EMH与可用马尔可夫过程（与可用马尔可夫过程（Marko

3、v Stochastic Process）如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有如果证券价格遵循马尔可夫过程，该过程具有“无后效无后效性性”，其未来价格的概率分布与历史无关。，其未来价格的概率分布与历史无关。衍生资产的定价问题的关键：标的资产的波动的假设。衍生资产的定价问题的关键：标的资产的波动的假设。B-S模型假设：资产价格的波动服从几何布朗运动，它是模型假设：资产价格的波动服从几何布朗运动，它是一种特殊的一种特殊的马尔可夫过程。马尔可夫过程。5.2 维纳过程维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性有随机游走性（不可预测性），（不可预测性

4、），这种特性这种特性可以采用可以采用Wiener process，它是，它是Markov stochastic process的一种。的一种。对于随机变量对于随机变量w是是Wiener process，必须具，必须具有两个条件：有两个条件：1.在某一小段时间在某一小段时间t内，它的变动内，它的变动w与时段与时段t满足满足ttwt（5.1）1,(0,1)ttttwwwiidN这里，2.在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段t和和s,wt和和ws是独立的，是独立的，这个条件也是这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！过程的条件，即增量独立！1111,tttsssttsswwwwwwwwww其

5、中，cov(,)0tsww（5.2）有效市场有效市场 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有过程，其性质有()0,()ttEwDwt 当时段的长度放大到当时段的长度放大到T时（从现在的时（从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻）随机变量时刻）随机变量wT的满足的满足00()()0()()TTTTEwE wwDwD wwT 证明：证明：01111111 ,()()()0()1 ()()NTTiiiiiiNNTiiiiNNTiiiiiNTiiwwwwwwwtwttEwtEtEDDwt Dt NT 又 若若t0t0，由（，由（5.1）和（）和（5.2

6、）得到）得到cov(,)0tttsdwdtdw dw（5.3）（5.4）所以，所以，的分布性质为的分布性质为(0,)()0,()tttdwNdtE dwD dwdttdw以上得到的随机过程，称为维纳过程。以上得到的随机过程，称为维纳过程。程序：维纳过程的模拟程序：维纳过程的模拟%假设初始点为假设初始点为0，由标准正态分布产生随机数，由标准正态分布产生随机数300个，个，这样将这样将1个单位时间等分为个单位时间等分为300个等分个等分 rnd=random(norm,0,1,300,1);%建立初始的零向量，用来放置计算的结果建立初始的零向量，用来放置计算的结果 w=zeros(1,300);f

7、or i=1:299 w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/300)0.5;end x=1:1:300;w plot(x,w)1,(0,1)ttttwwtiidNB-S模型证明思路模型证明思路ITO引理引理2221()2ffffdfab dtb dwtxxxITO过程过程(,)(,)ttdxa x t dtb x t dwB-S微分方程微分方程222212fffrssrftss抖+s=抖B-S买权定价公式买权定价公式12()()rtCS N dKeN d5.3 伊藤引理伊藤引理 一般维纳过程一般维纳过程(Generalized Wiener process)可可表示为表示为(0,)t

8、ttdxadtbdwdwNdt 其中，（5.5）22(,)(),()tttdxN adt b dtE dxadt D dxb dt显然，一般维纳过程的性质为显然，一般维纳过程的性质为 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不恰当ttdxadtbdw(,)(,)ttdxa x t dtb x t dw若把变量若把变量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b当作变量当作变量x和和时间时间t的函数，的函数，扩展后得到的即为扩展后得到的即为ITO过程过程 B-S 期权定价模型是根据期权定价模型是根据

9、ITO过程的特例几何过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动，不妨令布朗运动来代表股价的波动，不妨令ttttdss dts dw,(,),(,)ttttttsx a s ts b s ts省略下标省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程，变换后得到几何布朗运动方程()dsr tdtdws（5.6）目的：证券的预期回报与其初始价格无关。目的：证券的预期回报与其初始价格无关。思考：一般维纳过程的缺陷思考：一般维纳过程的缺陷ttdsdtdw若将价格变化表示为若将价格变化表示为111111 ()tttttttttttttssdssdtdwssdtdwrssdtE rs 伊藤引理：若某伊藤引理：若某随机变量

10、随机变量x的的变动过程变动过程可由可由ITO过过程表示为（省略下标程表示为（省略下标t）(,)(,)dxa x t dtb x t dw（令（令f(x,t)为随机变量为随机变量x以及时间以及时间t的函数，即的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产可以代表以标的资产x的衍生证券的价格）的衍生证券的价格）则则f(x,t)的变动过程可以表示为的变动过程可以表示为2221 ()2,(,),(,),(,)ffffdfab dtb dwtxxxhere ff x t aa x t bb x t（5.7）证明：将（证明：将（5.7）离散化）离散化(,)(,)xa x ttb x tw wt由（由（5.1）知

11、）知利用泰勒展开，忽略高阶项，利用泰勒展开，忽略高阶项，f(x,t)可以展开为可以展开为222222211(,)22 fffff x ttxxttxxtfx tx t （5.8）32200limlim0ttx ta tbt 因此，（因此，（5.8）可以改写为）可以改写为（5.9）22201lim2tfffftxxtxx 保留保留1阶项，忽略阶项，忽略1阶以上的高阶项阶以上的高阶项2200322222022limlim lim2 tttxa tbtatbtabtbt 200,tt 且当时，有从而22222200lim()lim()0ttDxbtD即即x2不呈现随机波动！不呈现随机波动！（5.10

12、）22222()()()ExE btbtE由（由（5.10）可得）可得22(0,1),()(0)()1NDEE由于则22()Exbt（5.11）由（由（5.11）得到）得到（5.12）由于由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即就收敛为真实值，即22xbt22212fffdfdtdxdxtxx2221()2fffdtadtbdwb dttxx当当t0时，时，由（由（5.9）可得）可得2221()2ffffab dtb dwtxxx,tttdSdtdw SsSdSSdtSdw命题：命题：设当前时刻为设当前时刻为t，若股票价格服从几何布朗运动若股票价格

13、服从几何布朗运动则则T时刻股票价格满足对数正态分布时刻股票价格满足对数正态分布22lnln(/2),0,TsNSTt tT 5.4 几何布朗运动与对数正态分布几何布朗运动与对数正态分布()lngg SS22211,0gggSSSSt 令令则则这样由这样由ITO引理得到引理得到21()2dtdw2221()2ggggdgSSdtS dwtSSS(,)aS bS21(ln)()2dSdtdw即即21(ln)()2TTttdSdtdw21lnln()()2TTtsSww由（由（5.1）Ttww 21lnln()2TSS(0,1)iidN22lnln(/2),TSNS 21()exp()exp()2T

14、E SSE exp()exp()EE 注意：22lnln(/2),TSNS 由于则称则称ST服从对数正态分布，服从对数正态分布，ST的期望值为的期望值为2exp()exp(/2)E ()exp()TE SS所以所以5.5 B-S模型的推导模型的推导 Black、Scholes和和Merton发现了看涨期发现了看涨期权定价公式，权定价公式，Scholes和和Merton也因此获也因此获得得1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设模型基本假设8个个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。化。标的股票不支付红利标的股票不支付红利期权为欧式

15、期权期权为欧式期权无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票标的股票对卖空没有任何限制对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动的变化为几何布朗运动dsdtdwdssdtsdwsw其中，代表维纳过程5.5.1 B-S微分方程微分方程dssdtsdw假设标的资产价格变动过程满足假设标的资产价格变动过程满足 这里这

16、里S为标的资产当前的价格，令为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证代表衍生证券的价格，则券的价格，则f(s,t)的价格变动过程可由的价格变动过程可由ITO引理近引理近似为似为22221()2ffffdfssdts dwtsss22221()2fffffsstswtsss 假设某投资者以假设某投资者以1 1个单位的衍生证券空头个单位的衍生证券空头和和份的份的标的资产多头标的资产多头来构造一个组合，且来构造一个组合，且满足满足ffsfss=-+d=-+则该组合的收益为则该组合的收益为fsd=例：例：无套利定价与期权的风险对冲无套利定价与期权的风险对冲 假设一种不支付红利的股票，目前的市价假

17、设一种不支付红利的股票，目前的市价为为10元，我们知道在元，我们知道在3个月后，该股票价格个月后，该股票价格要么是要么是11元，要么是元，要么是9元。元。假设现在的无风险年利率等于假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份问题：求一份3个月期执行价格为个月期执行价格为10.5元的元的该股票欧式看涨期权的价值。该股票欧式看涨期权的价值。为了找出该期权的价值，为了找出该期权的价值，可构建一个可构建一个由由1单位看单位看涨期权空头和涨期权空头和m单位的标的股票多头单位的标的股票多头组成的组合。组成的组合。若股票价格若股票价格11，则该期权执行，则组合收益为，则该期权执行，则组合收益为11m0.5

18、若股票价格若股票价格9，则该期权不执行，则组合收益为，则该期权不执行，则组合收益为9m 为了使该组合在期权到期时无风险，为了使该组合在期权到期时无风险，m必须满足必须满足下式：下式：11m0.59m，即，即m=0.25 组合价值为组合价值为2.25元元 由于该组合中有一单位看涨期权空头和由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位单位股票多头，而目前股票市场价格为股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，元，因此，从无套利出发，期权费从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足（期权的价值）必须满足元19.225.225.01.0e10 0.252.190.31ff元 根据无套利定价原理，

19、无风险组合只能获得无风根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为险利率，所以组合的现值为 下面将证明该组合为无风险组合，在下面将证明该组合为无风险组合，在t时间区间时间区间内收益为内收益为ffssD =-D+D22221()2()ffffsstswtsssfs ts ws 22221()2ffstts 注意到此时注意到此时不含有随机项不含有随机项w，这意味着该组，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于，且由于t较小（不采用连续复利），则较小（不采用连续复利），则ffss=-+又由于22221()2ffRrtstts抖=D 兆

20、譊=-+sD抖22221()2fffstfs rttss抖-+sD=-+鬃 D抖（）整理得到整理得到222212fffrssrftss抖+s=抖B-S 微分方程的意义微分方程的意义222212fffrssrftss抖+s=抖衍生证券的价格衍生证券的价格f，只与当前的市价，只与当前的市价S，时间，时间t，证券价格波动，证券价格波动率率和无风险利率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，有关，它们全都是客观变量。因此，无论无论投资者的风险偏好如何，都不会对投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。因此，的值产生影响。因此，B-S微分方程构造了一个风险中性世界。微分方程构造了一个风险中性世

21、界。在对衍生证券定价时，可以采用在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价风险中性定价，即所有证券，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程微分方程求出价格求出价格f。释义：风险中性定价释义：风险中性定价 假设一种不支付红利的股票，目前的市价假设一种不支付红利的股票，目前的市价为为10元，我们知道在元，我们知道在3个月后，该股票价格个月后，该股票价格要么是要么是11元，要么是元，要么是9元。假设现在的无风元。假设现在的无风险年利率等于险年利率等于10%，问题：求一份问题：求

22、一份3个月期执行价格为个月期执行价格为10.5元的元的该股票欧式看涨期权的价值。该股票欧式看涨期权的价值。理解：在我们这个世界上，一共有理解：在我们这个世界上，一共有3种人，种人，风险风险规避者、偏好者和风险中性者规避者、偏好者和风险中性者，但是证券的价格，但是证券的价格只有一个。所以，证券的定价对风险中性者也是只有一个。所以，证券的定价对风险中性者也是适用的，风险中性者也必须以同样的价格来购买适用的，风险中性者也必须以同样的价格来购买证券。证券。因为风险中性的投资者不需要额外的风险补偿，在由因为风险中性的投资者不需要额外的风险补偿，在由风险中性者构成的风险中性者构成的子世界子世界，所有证券的

23、预期收益率都，所有证券的预期收益率都等于无风险收益率。风险中性者与风险规避者最大的等于无风险收益率。风险中性者与风险规避者最大的区别是：二者对证券价格变化的概率不同。区别是：二者对证券价格变化的概率不同。启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率回报率等于无风险收益率超额收益率为超额收益率为0。风险中性者与规避者风险中性者与规避者 例如某个证券，风险规避者是这样定价的例如某个证券，风险规避者是这样定价的0.1 0.05(11 0.6911 9(1 0.6911)10e 而在风险中性者是这样定价的而在风险中性者是这样定价的0.1(1

24、1 0.62669(1 0.6266)10e 注意：证券的上涨概率增加，但同时贴现率也增加，所注意：证券的上涨概率增加，但同时贴现率也增加，所以定价不变。所以风险中性世界的定价仍能够用于现实以定价不变。所以风险中性世界的定价仍能够用于现实的世界！的世界！风险中性定价原理风险中性定价原理 风险中性定价原理风险中性定价原理：在这个改变了：在这个改变了概率概率的的世界里，所有证券的预期收益率都等于无世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率风险利率r，所有现金流量都可以通过无风，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。险利率进行贴现求得现值。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人风险中

25、性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定为假定风险中性概率仅仅是为方便定价给出的风险中性概率仅仅是为方便定价给出的参数，参数，它与我们概率论中所讲的概率具有本质的不同它与我们概率论中所讲的概率具有本质的不同联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效用？用？假定存在风险中性世界，股票上升的概率为假定存在风险中性世界，股票上升的概率为p，下跌的概率为下跌的概率为1-p。（虽然有实际的概率，但可（虽然有实际的概率，但可以不管），以不管），由于风险中性，则该股票无超额收益，由于风险中性，则该股票无超额收益，其回报率只有无风险利率其回报率只有无风险利率0.1 0.2

26、5(119(1)10,0.6266pp ep0.1 0.25(0.5 0.62660 0.3734)0.31fe 元n同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为期权的现值为风险中性世界，所有证券都只能获得无风险收益率！风险中性世界，所有证券都只能获得无风险收益率！5.5.2 B-S买权定价公式买权定价公式122121()()ln(/)(/2)0,.rttcSN dXeN dSXrheredddtTTtSs t is present time ，对于欧式不支付

27、红利的股票期权，其看涨期权对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日（买权）的在定价日t的定价公式为的定价公式为（1）设当前时刻为）设当前时刻为t，到期时刻，到期时刻T，若股票，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为的股票价格为st=S,则则T时刻的股票价格的期时刻的股票价格的期望值为望值为B-S买权定价公式推导买权定价公式推导()exp()exp()TE sSTtS（5.13）()exp()TE sSr（5.14）由（由（5.13）和（）和（5.14）得到）得到r（5.15）根据根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件

28、微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则下，则资产的期望回报为无风险回报，则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。回报率均为无风险利率。（2）在）在风险中性的条件下风险中性的条件下，任何资产的贴现率为，任何资产的贴现率为无风险利率无风险利率r，故买权期望值的现值为，故买权期望值的现值为max(,0)(),0,()()()()rtTrTTTrTTTXrrTTTTTXXceEsXeE sXsXsXesX f sdses f sdseXf sds22(ln(ln)1()exp22TTTT

29、sEsf ss 第第1项项第第2项项推导第推导第1项项lnl,122222n2()(ln(ln)1 exp22(ln(ln)1 exp22(ln(ln)1 exp221 exp(lnl1n)TrtTTTXrTTTTXTrTTTXsSTrTTTXTTces f sdssEsesdsssEseSeedssEsedssSrssS 22(ln(ln)1exp22TTTXsEsds 2,12(ln(ln)11exp(lnln)exp22TTtTTXTsEscSsSrdss 2222222lnln(/2),(ln)ln(/2)ln(/2)ln(ln)(/2)lnlnln(ln)(/2)ln(ln)/2TT

30、TTTTTTsNSrEsSSrSEsrsSrsEsrrsEs 由此得到22,12(ln(ln)11exp(ln(ln)exp222TTtTTTXTsEscSsEsdss 令令 ln,(ln),TTkskEsg 由此得到由此得到22,12(ln(ln)11exp(ln(ln)exp222TTtTTTXTsEscSsEsdss 22,12222(ln(ln)11expln(ln)22211()exp222TTtTTTXTTXTsEscSsEsdssgkkSkkdssgg 22222222242222222()12221 )21 222()2()()2kggkggkkkkkggkgkgkkgk gk

31、gkkk 22,12222222111exp()22ln(ln)(),(ln)ln(/2)lnln(/2)lnln(/2)tTXTTTTTTTTTTcSkgkdssggsEskgkyygEsSrsSrysSrdsdydssdys 令即又22222111 exp()2211exp()221exp()22TTTTkgkdssggysdysydy 22lnln(/2),TTTsSrydssdy g ，被积函数为：被积函数为：y的积分下限为的积分下限为221lnln(/2)|ln(/)(/2)TsXXSryS Xrd y的积分上限为的积分上限为2lnln(/2)|TsSry 这样就完成了第这样就完成了

32、第1项的证明。项的证明。122,1221121111exp()221 exp()22 1()()ln(/)(/2)tTXTdcSkgkdssggySdySNdSN dS Xrd 推导第推导第2项项,22222()(ln(ln)1 exp2211()exp22XrtTTXrTTTXTrTTceXf sdssEseXdsskkeXdssgg ()/zkkg首先进行变量代换，令首先进行变量代换，令(ln)TTTTTdsdsdkdzdsgs dzgggs 则则z的积分下限的积分下限2222lnln(/2)|lnln(/2)ln(/)(/2)TTTTsXsXsXsSrkkzgXSrS Xrd z的积分上

33、限的积分上限|Tsz 将将z和和dz代入代入222222222211()exp2211exp221exp221()()ln(/)(/2),rTXTrTdTrdrrkkXedssggzXegs dzs gzXedzXeNdXeN dS Xrhere d ,11,221221221 ();()()()ln(/)(/2)ln(/)(/2)rttrtcSN dcXeN dcSN dXeN dS XrdS Xrdd 其中，由两个部分的推导得到由两个部分的推导得到pr0dN(d)例如例如:当当d1.96时时,N(d)95.5%5.5.3 B-S模型的含义模型的含义 由由Z的积分下限可知，的积分下限可知，N

34、(d2)是在风险中性是在风险中性世界中世界中ST大于大于X的概率，或者说式欧式看的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。涨期权被执行的概率。22211()exp22()rTXTrssXedSSuuXeN d X e-r(T-t)N(d2)是是X的风险中性期望值的现值。的风险中性期望值的现值。StN(d1)=e-r(T-t)ST N(d1)是是ST的风险中性期望值的现的风险中性期望值的现值。值。()max(,0)r T ttTCeESX()()|0,r T tr T tTTTTeE SSXeX SXSX()()()|0,r T tr T tr T ttTTTeE S eSXeX SXSX12(

35、)()11()()()()rttr T tr T tttCS N dXeN dS N deS eN dS=100，X=95，r=0.10,T=0.25(quarter)，=0.50，则，则d1=ln(100/95)+(0.10+(0 5 2/2)/(0 5 0 0.251/2)=0.43 N(d1)=N(0.43)=0.6664d2=0.43+(0 50 0.251/2)=0.18，N(d2)=N(0.18)=0.5714Call Option Example120.10.25()()100 0.6664950.5714 13.70rtcSN dXeN de 期权的价值关于标的资产的价格及其方

36、差，以及到期时间期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等等5个变量的非线性函数个变量的非线性函数Ct=f(St,X,r)的函数的函数。5.6 欧式看跌期权的定价欧式看跌期权的定价 利用金融工程技术来看待期权平价关系利用金融工程技术来看待期权平价关系 考虑任意考虑任意t时刻，如下两个组合：时刻，如下两个组合：组合组合A：一份欧式看涨期权加上金额为：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金的现金组合组合B：一份有效期和执行价格与上述看涨期：一份有效期和执行价格与上述看涨期权相同的权相同的欧式看跌期权欧式看跌期权，加上一单位标的资产，加上一单位标的资产)(tTrXe 组合组合A到期时刻到期时刻

37、T的收益的收益()()max(0,)max(,)r T tr T tTTTCXeeSXXX S 组合组合B到期时刻到期时刻T的收益的收益max(0,)max(,)TTTTTPSXSSX S 两个组合在两个组合在T时刻具有相同的价格，且由于欧式期时刻具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在权不能提前执行，则在t时刻两个组合价值也必然时刻两个组合价值也必然相等（无套利原理）即相等（无套利原理）即()()r T tr T tttttttPSCXePCXeS此为看涨看跌期权平价公式。此为看涨看跌期权平价公式。12()()rttCS N dXeN d()12()()rr T ttttPS N d

38、XeN dXeS()21(1()(1()r T ttXeN dSN d()21()()r T ttXeNdS Nd从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了变换，是关于纵向对称的。都进行了变换，是关于纵向对称的。1212(,)()()rttttCC S d dXS N dXeN d121221(,)()()()()tttrtrtPCSddXS NdXeNdXeNdS Nd（）根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项2221()(3)2ccccccstrsstrS DeltaThetaVegaRho

39、Gamma5.6 期权的风险分析期权的风险分析这里省略这里省略S的下标的下标t 命题：欧式看涨期权的命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)22211112211212-22212221112()()(),()121 exp(2)221 2rdrrrddrN ddN ddcN dSXeSdSdSddSSN dXeXeedddXeddXeee 证明：由于则（）22 212211112112222ln(/)1111111()12()12()()()()dddrrrs XrrrN dedN dXeXeeedN dXeedN dN dSXeeSdXdCN dS 所以，最后两项相等，则，命题成立。21

40、21ln(/)(/2)/2ln(/)S XrddS Xr 练习练习 蒙特卡洛模拟几何布朗运动：假设初始价蒙特卡洛模拟几何布朗运动：假设初始价格为格为100元的某股票的回报率服从漂移率为元的某股票的回报率服从漂移率为零，波动率为零，波动率为10%的几何布朗运动，单位的几何布朗运动，单位时间时间1被分为被分为100等分，模拟等分，模拟10次以上，并次以上，并得到最终的价格分布。得到最终的价格分布。计算：求欧式看涨期权的计算：求欧式看涨期权的Theta和和Vega谢谢观看/欢迎下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH