七章 非平稳时间序列

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1、第七章 非平稳时间序列时间序列数据被广泛地运用于计量经济研究。经典时间序列分析和回归分析有许多假定前提，如序列的平稳性、正态性等,，如果直接将经济变量的时间序列数据用于建模分析，实际上隐含了这些假定。在这些假定成立的条件下，进行的检验、检验与等检验才具有较高的可靠度。但是，越来越多的经验证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的。那末，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列来进行分析，会造成什么不良后果？如何判断一个时间序列是否为平稳序列？当我们在计量经济分析中涉及到非平稳时间序列时，应作如何处理呢？这就是本章要讨论的基本内容。第一节 伪回归问题经典计量经济学建模过程中，通常假定经

2、济时间序列是平稳的，而且主要以某种经济理论或对某种经济行为的认识来确立计量经济模型的理论关系形式，借此形式进行数据收集、参数估计以及模型检验，这是20世纪70年代以前计量经济学的主导方法。然而，这种方法所构建的计量经济模型在20世纪70年代出现石油危机后引起的经济动荡面前却失灵了。这里的失灵不是指这些模型没能预见石油危机的出现，而是指这些模型无法预计石油危机的振荡对许多基本经济变量的动态影响。因此引起了计量经济学界对经典计量经济学方法论的反思，并将研究的注意力转向宏观经济变量非平稳性对建模的影响。人们发现，由于经济分析中所涉及的经济变量数据基本上是时间序列数据，而大多数经济时间序列是非平稳的，

3、如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能会带来不良后果，如伪回归问题。所谓“伪回归”，是指变量间本来不存在有意义的关系，但回归结果却得出存在有意义关系的错误结论。经济学家早就发现经济变量之间可能会存在伪回归现象，但在什么条件下会产生伪回归现象，长期以来无统一认识。直到20世纪70年代，Grange、Newbold研究发现，造成“伪回归”的根本原因在于时间序列变量的非平稳性。他们用Monte Carlo模拟方法研究表明，如果用传统回归分析方法对彼此不相关联的非平稳变量进行回归，t检验值和F检验值往往会倾向于显著，从而得出“变量相依”的“伪回归结果”。因此，在利用回归分析方法讨

4、论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。如果经济变量时间序列是非平稳的，则需要寻找新的处理方法。20世纪80年代发展起来的协整理论就是处理非平稳经济变量关系的行之有效的方法。该理论自从诞生以来，受到众多经济学家的重视，并广泛运用于对实际经济问题的研究。所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数据的随机过程的特征随时间而变化。当生成序列的随机过程是非平稳的时候，其均值函数，方差函数不再是常数，自协方差函数也不仅仅是时间间隔t-s的函数，前面所介绍的高斯马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导

5、致伪回归结果，前面所介绍的计量经济技术也将遇到困难。在经济领域中，我们所得到的许多时间序列观测值大都不是由平稳过程产生的。例如，国内生产总值GDP大多数情况下随时间的位移而持续增长；货币供给量M2在正常状态下会随时间的位移而扩大。也就是说，2009年GDP或M2观测值的随机性质与1999年的GDP和M2的随机性质有相当的区别。由于在实际中遇到的时间序列数据很可能是非平稳序列，而平稳性在计量经济建模中又具有重要地位，因此有必要对观测值的时间序列数据进行平稳性检验。第二节 单位根过程与检验 从前面平稳过程的定义可以看出，一个平稳过程的数据图形特征为：数据围绕长期均值E(xt)=波动，偏离均值之后，

6、有复归均值的调整；方差有限且不随时间改变；其自相关函数随时间衰减。与之相对应的概念是非平稳过程，定义为对平稳过程的条件之一不能满足的过程即为非平稳过程，其数据图形特征为：不存在长期均值；方差具有时变性且趋于无穷；从理论说，自相关不随时间衰减，但对于有限样本，样本自相关亦可能较慢速的衰减。所以我们可以根据平稳过程的数字特征对它进行平稳性检验，这是时间序列平稳性的检验方法的传统方法。介绍传统方法的书籍较多，所以本书不作介绍，本书介绍平稳性检验的现代方法之一：单位根检验法。一、单位根过程一般来讲，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系，这种前后依存关系是时间序列预测的基础。假定为

7、一时间序列，最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，而与其前一时期以前的取值状况无直接关系，也就是说主要与相关，与 ，无关。可用如下的一阶自回归模型来描述这种关系： (7.1)常记作AR(1)。如果不仅与前一期有关，而且与相关，显然，在这种情况下用AR(1)来刻画的动态依存关系就不恰当了，而需要在模型中引入。一般的，如果 与过去时期直到的取值相关，则的动态关系就需要使用包含 ，在内的阶自回归模型来加以刻画。阶自回归模型的一般形式为： (7.2)为了说明单位根过程的概念，这里侧重以AR(1)模型进行分析。根据平稳时间序列分析的理论可知，当时，该序列是平稳的,此模

8、型是经典的Box-Jenkins时间序列AR(1)模型。但是，如果，则序列的生成过程变为随机游走过程： (7.3)其中，独立同分布且均值为零、方差恒定为。随机游走过程的方差为：当时，序列的方差趋于无穷大，这说明随机游走过程是非平稳的，同时也说明随机游走过程具有“记忆性”。下面我们来对比一下随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征表1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较对 象指 标随机游走过程平稳一阶自回归过程()方差 (无限的) (有限的)自相关系数穿越零均值点的期望时间无限的有限的记忆性永久的暂时的有时我们也称一个随机游动过程是一个单位根过程。过程之所以被称为单位根过程是因为如

9、下事实。如果我们用滞后算子L来表示过程，则有 （7.4）而（7.4）所对应的特征函数为 （7.5）当方程（7.5）有一个根位于单位园上即=1,有时，从而可知yt由随机趋势所决定。这样，刻划了数据生成过程(DGP)（7.1）的特征根位于单位园上且数据由随机趋势所支配，因此，时称过程（7.1）为单位根过程较随机游动更一般的，是一般的单位根过程。如果随机过程遵从： (7.6)其中，为一平稳过程，且。则称序列为（不带漂移的）单位根过程。带漂移和时间趋势的单位根过程服从如下模型： (7.7)显然，随机游动过程是一般单位根过程的一个特例。从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根的过程，其一阶差分：是一平稳

10、过程，像这种经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(Integrated Process)，记为I(1)。有时一个序列经一次差分后可能还是非平稳的，如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为I(2)。一般地，如果序列经过d次差分后平稳，而d-1次差分却不平稳，那么称为d阶单整序列，记为I（d），d称为整形阶数。特别地，若序列本身是平稳的，则称序列为零阶单整序列，记为I（0）。二、Dickey-Fuller检验（DF检验）我们知道大多数的经济变量，如GDP、总消费、价格水平以及货币供给虽M2等都会呈现出强烈的趋势特征。这些具有趋势特征的经济变量，当发生经济振荡或冲击

11、后，一般会出现两种情形，一是受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又回到它们的长期趋势轨迹；二是这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态。若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程(比如随机游走过程)，当运用最小二乘法时，前面所介绍的高斯马尔科夫定理不再成立，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。同时，如果我们所研究的经济变量(如GDP)是非平稳的，则经济出现突发性振荡(如石油价格猛增，金融危机或政府开支骤减等)所造成的影响不会在短期内消失，其影响将是持久性的。这也是研究单位根检验的重要意义所在。在介绍检验方法之前，先讨论检验统计量的分布。（这部分内容理论性强，可跳过或选讲）情形1：数

12、据生成过程（DGP）：, y0 = 0, ut IID(0, s 2) (7.8) OLS估计过程： (7.9) 提出假设 ；以OLS估计式为例，若真值，则统计量 ， (7.10)的极限分布为标准正态分布。 若真值，则统计量 = (7.11)渐近服从标准正态分布。在成立的条件下，这时统计量不再服从通常的分布，而是服从DF分布。此时称为DF统计量。可以证明当T 时， (7.12)统计量是Op(1 )的，其渐近分布与s 无关。由于该极限分布无法用解析的方法求解，一般都是用模拟和数值计算的方法研究DF统计量的有限样本分布。 图1 在情形1下： T=100，模拟1万次的DF统计量的分布 情形2：数据生

13、成过程（DGP）：yt = yt-1 + ut, y0 = 0, ut IID(0, s 2) (7.13)OLS估计过程： (7.14) 其原假设为 下面我们讨论、的极限分布和有限样本分布特征。统计量= DF、的极限分布都是Wiener过程的泛函。可以证明，当T 时， (7.15)（推导可参见Hamilton时间序列分析。DF统计量是O(1 )的。）不再服从t分布。的极限分布是Wiener过程的泛函。 (7.16) 统计量是Op(1 )的。（推导见张晓峒，攸频：DF检验式中漂移项和趋势项的t 统计量研究，数量经济技术经济研究，2006第2期）图2 在情形2下： T=100，模拟1万次的DF统

14、计量的分布 图3 在情形2下： T=100，模拟1万次的的分布 情形3：数据生成过程（DGP）： yt = a + yt-1 + ut, （a是否为零均可）y0 = 0, ut IID(0, s 2) OLS估计过程： (7.17) 为防止a 不为零时从而使估计式引入时间趋势项，导致解释变量多重共线性，等价的OLS估计式是 其中，相当于： 讨论DF=、的极限分布和有限样本分布特征。可以证明，当T 时， (7.18) 其中 + |A| = 推导见Hamilton时间序列分析。DF统计量是Op(1 )的，其渐近分布既不依赖于a，也不依赖于s。 , 服从的是如下极限分布。 (7.19) (7.20)

15、其中F1和F2都是Wiener过程的泛函。, 统计量是Op(1 )的，其渐近分布既不依赖于a，也不依赖于s。图4 在情形3下： T=100，模拟1万次的DF统计量的分布T =100，模拟1万次的分布见图。图5 在情形3下： T=100，模拟1万次的的分布图6 在情形3下： T=100，模拟1万次的的分布时的DF的分布是时的DF分布的镜像，所以只研究条件下DF的分布即可。对于经济问题，很少出现 的情形。下面我们用图形把 DF统计量的有限样本分布特征总结一下。以模型 (7.8)为条件，取样本容量T = 100，用蒙特卡罗方法，分别用（7.17）、（7.14）和（7.9）式各模拟10000次得到的D

16、F的分布见图7。黑、蓝、红色直方图分别代表（7.17）、（7.14）和（7.9）式中DF统计量的分布。随着确定项的增加，分布越来越向左移。蓝色DF分布近似于t分布，但整体向左大约移动了1.6个单位。 图7 情形1、2、3的DF统计量分布的蒙特卡罗模拟（T=50） 因为不同情况，DF统计量分布有区别，所以Fuller(1976) 针对如下三种方程编制了临界值表模型I： 模型： 模型； Fuller使用蒙特卡罗模拟方法得到的DF统计量的百分位数表如下表2 DF分布百分位数表 模型 T a 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25- 2.66- 2.2

17、6- 1.95- 1.600.921.331.702.16 50- 2.62- 2.25- 1.95- 1.610.911.311.662.08 100- 2.60- 2.24- 1.95- 1.610.901.291.642.03情形1 250- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.291.632.01 500- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 - 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 25- 3.75- 3.33- 3.00- 2.63- 0.370.000.340.72 50- 3.

18、58- 3.22- 2.93- 2.60- 0.40- 0.030.290.66 100- 3.51- 3.17- 2.89- 2.58- 0.42- 0.050.260.63情形2 250- 3.46- 3.14- 2.88- 2.57- 0.42- 0.060.240.62 500- 3.44- 3.13- 2.87- 2.57- 0.43- 0.070.240.61 - 3.43- 3.12- 2.86- 2.57- 0.44- 0.070.230.60 25- 4.38- 3.95- 3.60- 3.24- 1.14- 0.80- 0.50- 0.15 50- 4.15- 3.80-

19、3.50- 3.18- 1.19- 0.87- 0.58- 0.24 100- 4.04- 3.73- 3.45- 3.15- 1.22- 0.90- 0.62- 0.28情形3 250- 3.99- 3.69- 3.43- 3.13- 1.23- 0.92- 0.64- 0.31 500- 3.98- 3.68- 3.42- 3.13- 1.24- 0.93- 0.65- 0.32 - 3.96- 3.66- 3.41- 3.12- 1.25- 0.94- 0.66- 0.33 t() N(0, 1)- 2.33- 1.96- 1.65- 1.281.281.651.962.33注：1. 适

20、用于情形1、2、3，条件b = 1。T：样本容量，a：检验水平。 后来，Mackinnon把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在EViews软件中使用的是Mackinnon临界值表。三、Augmented Dickey-Fuller检验（ADF检验） 以上三个自回归模型对于研究实际经济变量太严格，只允许数据生成过程是一阶自回归，还应该进一步讨论在AR(p) 模型条件下，随机误差项非白噪声条件下，检验用统计量的分布特征。扩展之一：从一阶自回归过程到阶自回归过程 (7.21)当中含有单位根时，可以通过如下模型研究 b = 1条件下，检验用统计量DF的分布特征。 , (7.22)其中

21、，为 (7.21) 式中的自回归系数。为什么可以通过 (7.22) 式进行研究呢？ 这是由于从而可把(7.21)式 等价地变换为 亦即 （7.22) 式中相对于的DF统计量的分布与 (7.9) 式中DF统计量的分布近似相同。 (7.22) 式中的差分项 ，之所以不会对DF统计量的分布产生影响是因为当 ，则全部 。与 的交叉积渐进被忽略。 从而使 (7.22) 式中 的DF统计量的分布与 (7.9) 式中的DF统计量渐近相同。当模型 (7.21) 中含有位移项和趋势项 时，对应的DF统计量的分布分别与情形2、情形3中DF统计量的分布相同。扩展之二：扰动项原来不相关变为相关考虑如下AR(1) 过程

22、 (7.23)其中允许随机项ut是一个ARMA(p, q) 过程，甚至参数 p, q 的值也可未知。则可以用下式研究和DF统计量的分布。 (7.24)若，上式是一个差分的AR(k) 过程。加入 滞后项的目的是捕捉 (7.8) 式误差项ut中的自相关。（ut的自相关项对于模型 (7.8) 来说是移动平均项，所以 滞后项的加入可以捕捉之。）因为可逆的移动平均过程可以转化为一个无限阶的自回归过程，所以对而言的移动平均项, 完全可以通过增加的滞后项而吸收。进而被足够的项所吸收。从而使近似为一个白噪声过程。Said-Dickey (1984) 证明 (7.24) 式中的DF统计量的分布与 (7.8) 式

23、中的DF统计量的分布类似。 当 (7.8) 式中加入位移项和趋势项时， 的DF分布分别与 情形1和 情形中的DF分布类似。无论是情形1还是情形2发生，如果还用DF检验，都会导致随机扰动项存在自相关。而当随机扰动项存在自相关时，直接使用DF检验法会出现偏误，为了保证单位根检验的有效性，人们对DF检验进行拓展，从而形成了扩展的DF检验，简称为ADF检验。根据我们的讨论，要使扰动项无自相关，只需要在原模型加入差分项即可，具体做法如下。假设基本模型为如下三种类型：模型I： 模型： 模型； 其中为随机扰动项，它可以是一个一般的平稳过程。为了借用DF检验的方法，将模型变为如下形式：模型I： 模型： 模型：

24、 由于在上述模型中检验原假设的统计量的极限分布，同DF检验的极限分布相同，从而可以使用相同的临界值表。由于实际数据绝大多数具有不同程度的相关性，因而ADF是实证研究的主要工具。但是，如何保证实证结论的准确性还需要考虑一个问题：滞后阶的确定。我们知道，的滞后项加入检验方程是为校正自相关性，因此滞后阶的选取既要截获相关性，同时又要尽量减少信息损失（滞后阶越大，用于估计的有效样本就越少，从而使信息损失越大），基于这一思想，实证中常用的方法有2种：其一，渐近t检验，即对较大的滞后阶p,用t检验确认是否显著，若不显著，减少p值直到对应的系数的t值显著。由于t显著是对 的系数而言的，故t统计量是渐近有效的

25、，但一般而言，显著性水平应稍高如，或0.20亦可。其二，基于最小信息准则（AIC）来选取滞后阶p，即定义 （7.25）令CT=2，称Ik为Akaike信息准则（AIC）,令CT =logT，称Ik为Schwarz贝叶斯信息准则（BIC），即 (7.26) (7.27)选取较大的滞后阶p，计算对应的AIC（或BIC），然后减少p，直至AIC（BIC）最小并基于此确定最终滞后阶。由于AIC和BIC渐近一致，故使用AIC或BIC均是可行的。这二种方法确定滞后阶体现了从一般到特殊的思想即从一般（较大）的p值开始直至最优的滞后阶（或特殊的滞后阶）。实施上述从一般到特殊的方法确定滞后阶有可能犯过度差分(o

26、verdifference)和不足差分(underdifference)的错误，即初始的p值选取得过大(小)，使其逐渐减小(增大)的过程中确定了不恰当的滞后阶。然而，从一般到特殊所确定的滞后阶或最小的AIC（或BIC）从实证的角度并不能保证估计残差具有严格的iid性质，而不适当的p值可能导致检验势降低，因而，选取理想的p值并非易事。 怎样做单位根检验呢？在此EViews中可以进行如下操作从工作文件（Work File）中打开序列数据（Series）窗口。点击View键，选Unit root test功能。这时会打开一个窗口。其中有四项选择。（1）ADF检验还是PP检验（缺省状态是ADF检验）。

27、（2）检验对象是水平序列（Level），还是其一阶差分序列（1st difference），二阶差分序列（2nd difference），缺省状态是水平序列。（3）检验式中应包括的附加项。有三种选择，“漂移项”（Intercept），“趋势项和漂移项”（Trend and Intercept），“无附加项”（None）。缺省状态是加漂移项。（4）检验式中因变量的滞后差分项的个数（可以使用EViews默认自动选择或者用户设定阶数）。例1 根据中国统计年鉴2004，得到我国19782003年的GDP序列，检验其是否为平稳序列。在Eviews中录人数据，其结果如表3，时间序列图见图8。表3 中国19

28、782003年度GDP序列年度GDP年度GDP年度GDP19783624.1198711962.5199667884.619794038.2198814928.3199774462.619804517.8198916909.2199879395.719814862.4199018547.9199982067.519825294.7199121617.8200089468.119835934.5199226638.1200197314.819847171199334634.42002105172.319858964.4199446759.42003116898.4198610202.219955

29、8478.1图8 GDP时间序列图在EViews中双击要检验单位根的序列GDP；打开序列后，点击ViewUnit Root Test后，直接进入检验单位根的对话框（默认ADF检验）如下也可以输入命令 ADF GDP，直接进入检验单位根的对话框 图9 单位根检验的对话框由GDP时间序列图可以看出，该序列可能存在趋势项，因此选择ADF检验的第三种模型进行检验，使用系统默认自动选择的滞后阶数，检验结果如下 图10 单位根检验的结果从上图中可以看出，根据SIC准则ADF检验选择的滞后期数4，DF统计量的值为0.360464。在1、5、10三个显著性水平下，单位根检验的Mackinnon临界值分别为-4

30、.467895、-3.644963、-3.261452，显然，上述t检验统计量值大于相应临界值，从而不能拒绝，表明我国19782003年度GDP序列存在单位根，是非平稳序列。第三节 两变量协整分析一、协整的概念在给出协整（Cointegration）概念之前，先看一个货币需求分析的例子。经典的理论分析告诉我们，一个国或地区的货币需求量主要取决于规模变量和机会成本变量，即实际收入、价格水平以及利率。如果以对数形式的计量经济模型将货币需求函数描述出来，其形式为：其中，M为货币需求，P为价格水平，Y为实际收入总额，r为利率，u为扰动项，为模型参数。人们关心的问题是如何估计出上述回归模型，检验模型参数

31、是否满足条件：，并回答估计出来的货币需求函数是否揭示了货币需求的长期均衡关系。如果上述货币需求函数是适当的，那么货币需求对长期均衡关系的偏离将是暂时的，扰动项序列是平稳序列，估计出来的货币需求函数就揭示了货币需求的长期均衡关系。相反，如果扰动项序列有随机趋势而呈现非平稳现象，那么模型中的误差会逐步积聚，使得货币需求对长期均衡关系的偏离在长时期内不会消失。因此，上述货币需求模型是否具有实际价值，关键在于扰动项序列是否平稳。但面临的问题是，货币供给量、实际收入、价格水平以及利率可能是非平稳的I（1）序列。一般情况下，多个非平稳序列的线性组合也是非平稳序列。如果货币供给量、实际收入、价格水平以及利率

32、的任何线性组合都是非平稳的，那么上述货币需求模型的扰动项序列就不可能是平稳的，从而模型并没有揭示出货币需求的长期稳定关系。反过来说，如果上述货币需求模型描述了货币需求的长期均衡关系，那么扰动项序列必定是平稳序列，也就是说，非平稳的货币供给量、实际收入、价格水平以及利率四变量之间存在平稳的线性组合。上述例子揭示了这样一个事实：“包含非平稳变量的均衡系统，必然意味着这些非平稳变量的某种组合是平稳的”。这正是协整理论的思想。所谓协整，是指多个非平稳经济变量的某种线性组合是平稳的。例如，收入与消费，工资与价格，政府支出与税收，出口与进口等，这些经济时间序列一般是非平稳序列，但它们之间却往往存在长期均衡

33、关系。下面给出协整的严格定义：对于两个序列与，如果，而且存在一组非零常数，使得，则称和之间是协整的。一般的，设有k个序列 用表示由此k个序列构成的k维向量序列，如果：（1）每一个序列都是d阶单整序列，即； （2）存在非零向量，使得为(d-b)阶单整序列，即。则称向量序列的分量间是d、b阶协整的，记为，向量称为协整向量。特别地，若，则，说明尽管各个分量序列是非平稳的一阶单整序列，但它们的某种线性组合却是平稳的。这种（1，1）阶协整关系在经济计量分析中较为常见。例如，假设变量与变量之间存在（1，1）阶协整关系，协整向量为，则这种协整关系可表示为： (7.28)组合变量就为I（0）过程。协整概念的提

34、出对于用非平稳变量建立经济计量模型，以及检验这些变量之间的长期均衡关系非常重要。（1）如果多个非平稳变量具有协整性，则这些变量可以合成一个平稳序列。这个平稳序列就可以用来描述原变量之间的均衡关系。（2）当且仅当多个非平稳变量之间具有协整性时，由这些变量建立的回归模型才有意义。所以协整性检验也是区别真实回归与伪回归的有效方法。（3）具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正模型。由于误差修正模型把长期关系和短期动态特征结合在一个模型中，因此既可以克服传统计量经济模型忽视伪回归的问题，又可以克服建立差分模型忽视水平变量信息的弱点。二、协整检验协整性的检验有两种方法，一种是基于回归残差的协整检验，

35、这种检验也称为单一方程的协整检验；另一种是基于回归系数的完全信息协整检验。这里我们仅考虑单一方程的情形，而且主要介绍两变量协整关系的EG两步法检验。第一步，若Xt与Yt是一阶单整（I（1）序列，即是平稳的，用OLS法对回归方程(也称为协整回归方程) (7.29)进行估计，得到残差序列 。第二步，检验的平稳性。若为平稳的，则Xt与Yt是协整的，反之则不是协整的。因为若Xt与Yt不是协整的，则它们的任一线性组合都是非平稳的因此残差将是非平稳。换言之，对残差序列是否具有平稳性的检验，也就是对Xt与Yt是否存在协整的检验。检验为非平稳的假设可用两种方法。一种方法是对残差序列进行DF检验或者ADF检验，

36、即对进行单位根检验，其检验方法在前面已介绍。一个需要注意的问题是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项而非真正的非均衡误差进行的。而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的临界值，下表是双变量情形下不同样本容量的临界值。表4 双变量协整ADF检验临界值显 著 性 水 平样本容量0.010.050.1025-4.37-3.59-3.2250-4.12-3.46-3.13100-4.01-3.39

37、-3.09-3.90-3.33-3.05 另一种方法是协整回归DW检验。具体做法为，用协整回归所得的残差构造DW统计量： (7.30)若是随机游走的，则的数学期望为0，故DW也应接近于0。因此，只需检验：是否成立，若成立，为随机游走，Xt与Yt间不存在协整，反之则存在协整。Sargan和Bhargava最早编制了用于检验协整的DW临界值表。表5是观察数为100时，该检验的临界值。例如，当DW0.71时，在1的显著性水平上我们能拒绝，即拒绝非协整假设。表5 检验DW=0的临界值显著性水平%DW临界值1051150386100322三、误差修正模型（Error Correction Model ,

38、ECM）误差修正模型是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，常称为DHSY模型。误差修正模型的基本思路是，若变量间存在协整关系，即表明这些变量间存在着长期稳定的关系，而这种长期稳定的关系是在短期动态过程的不断调整下得以维持。产生这种结果的原因在于，大多数的经济时间序列的一阶差分是平稳序列。同时，存在着某种联系方式(如线性组合)把相互协整过程和长期稳定均衡状态结合起来。这时相互协整隐含的意义是：即使所研究的水平变量各自都是一阶差分后平稳，受支配于长期分量，但这些变量的某些线性组合也可以是平稳的，即所研究变量中的长期

39、分量相互抵消，产生了一个平稳的时间序列。之所以能够这样，是因为一种调节过程（误差修正机制）在起作用，防止了长期关系的偏差在规模或数量上的扩大。因此，任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差修正机制，反映短期调节行为。为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。假设两变量X与Y的长期均衡关系为 (7.31) 由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此我们实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下分布滞后形式 (7.32) 该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。对上式适当变形得 或

40、 （7.33）式中，如果将（7.33）式中的参数，与（7.31）式中的，相应参数视为相等，则（7.33）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。于是（7.33）式表明Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。同时，（7.33）式也弥补了简单差分（7.32）式的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。（7.33）式称为一阶误差修正模型（first-order error correction model）。模型(7.33)可以写成： (7.34)其中表示误差修正项。由(7.32)可知，一般情况下，所以有。我们可以据此分析的修正作用

41、：若(t1)时刻大于其长期均衡解，为正，则（）为负，使得减少；若(t1)时刻小于其长期均衡解，为负，（）为正，使得增大。体现了长期非均衡误差对的控制。需要注意的是，在实际分析中，变量常以对数的形式出现。其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率，而经济变量的变化率常常是稳定序列，因此适合于包含在经典回归方程中。于是长期均衡模型（7.31）中的可视为Y关于X的长期弹性（long-run elasticity），而短期非均衡模型（7.32）中的可视为Y关于X的短期弹性（short-run elasticity）。建立误差修正模型一般分为两步，分别建立区分数据长期特征和短期待征的计量经济学

42、模型。从理论上讲，第一步，建立长期关系模型。即通过水平变量和OLS法估计出时间序列变量间的关系。若估计结果形成平稳的残差序列时，那么这些变量间就存在相互协整的关系长期关系模型的变量选择是合理的，回归系数具有经济意义。第二步，建立短期动态关系即误差修正方程。将长期关系模型中各变量以一阶差分形式重新加以构造，并将长期关系模型所产生的残差序列作为解释变量引入，在一个从一般到特殊的检验过程中，对短期动态关系进行逐项检验，不显著的项逐渐被剔除，直到最适当的表示方法被找到为止。值得注意的是，作为解释变量引入的长期关系模型的残差，代表着在取得长期均衡的过程中各时点上出现“偏误”的程度，使得第二步可以对这种偏

43、误的短期调整或误差修正机制加以估计。下面以建立我国货币需求函数为例，说明误差修正模型的建模过程。货币需求函数通常在局部调整的结构下加以设定。在这种模型中，当前实际货币需求余额是关于实际货币需求余额滞后值、实际国民收入(通常用GDP表示)和机会成本等变量的回归。那么这种依据交易方程设定的模型可作为长期关系模型，其一般形式为： (7.35) 其中：M为相应的名义货币余额，P为物价指数(通常用GDP的平减指数表示),Y为实际的国内生产总值(GDP)，为季度通货膨胀率(根据综合物价指数衡量)。这里关于实际收入(产业规模)和机会成本变量的长期弹性分别由给出。第二阶段误差修正方程的一般形式是： (7.36)其中，EC为长期关系模型中的残差。在具体建模中，首先要对长期关系模型的设定是否合理进行单位根检验，以保证EC为平稳序列。其次，对短期动态关系中各变量的滞后项，进行从一般到特殊的检验，在这个检验过程中，不显著的滞后项逐渐被剔除，直到找出了最佳形式为止。通常滞后期在l0,1,2,3中进行试验。