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1、解析延拓与孤立奇点单值函数的孤立奇点多值函数二维调和函数与平面场保角变换法函数解析延拓 解析函数与全纯函数lim()zbf z0zbR0()()kkkf zaz b()()kkkmf za z b()()kkkf za z bsin()zf zz31()(2)f zzzi1()zf ze根据零点与极点的关系，即：如果b点是函数f（x）的一个m阶零点则b点就是函数 的一个m阶极点；反之亦然，来寻找函数的极点，并判断极点的阶数()1xf无穷远点的性质1()f z2()fz12,D D2()fz1()f z2D)(1zf2()fz1D10()xtxte dt(0)x zzz)1()(多值函数w=f(
2、Z)及支点多值函数的解析性与黎曼面多值函数有：根式函数、对数函数、反三角函数定义支点：对于每一个特定的多值函数，都存在一些特殊的点。当Z环绕该点转一圈回到原处时，w(z)的值将由一个单值分支变到另一个单值分支。这些特殊的点就称为多值函数的支点。三、多值函数的解析性与黎曼面：000()()limzzfzfzzz二维调和函数：用u（x，y）表示两个实变量x和y的二元函数，方程22220uuxy02222yuxu),(),()()(yxivyxuiyxfzfw称为二维拉普拉斯方程，具有连续的二阶导数并满足二维拉普拉斯方程的函数称为二维调和函数。定理一：设复变函数w=f(z)=f(x+iy)=u(x,
3、y)+iv(x,y)在复平面的区域D内解析，则它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是(x,y)平面的区域D内的调和函数。定理二 设由(x,y)到(u,v)的变换为保角变换，即w=w(z)在区域D内解析，则：如果U(x,y)满足拉普拉斯方程，则(u,v)也满足拉普拉斯方程。22220uv且：222222222()()UUw zxyuv 几种常用的保角变换1.线性变换 其中，其中，a 和和 b 是复常数。线性变换只是是复常数。线性变换只是把图形变为它的相似形。把图形变为它的相似形。2.幂函数和根式 幂函数幂函数 常用于使常用于使 的角域变为上半平面。的角域变为上半平面。根式根式 常用于使常用于
4、使 的角域变为上半平面。的角域变为上半平面。3.指数函数和对数函数 指数函数指数函数 将将 的带域变为的带域变为 的角域。的角域。对数函数对数函数 将将 的角域变为的角域变为 的带域。的带域。4.分式线性变换 常用于将圆变成圆，而且对于圆的对称点保持为常用于将圆变成圆，而且对于圆的对称点保持为 对称点。对称点。总结一下保角变换的解题步骤：（1）选择适当的保角变换）选择适当的保角变换 ，使问，使问 题的边界条件化难为易。题的边界条件化难为易。（2）在新坐标平面内求解定解问题。）在新坐标平面内求解定解问题。（3）由所选择的）由所选择的 ，建立，建立 与与z的关系，的关系，还原到还原到z平面，而得到原定解问题的解。平面，而得到原定解问题的解。
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