2425切线长定理

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1、CPD 这是一位同学运动完后放的篮球，这是一位同学运动完后放的篮球，如果截它的平面，那么你能从中发现什如果截它的平面，那么你能从中发现什么几何知识呢？么几何知识呢？墙墙 地面地面 P从圆外一点从圆外一点可以引圆的可以引圆的两条切线。两条切线。AB 过圆外一点作圆的切线，过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的这点和切点之间的线段线段的长的长,叫做这点到圆的叫做这点到圆的切线长。切线长。OPABOPAB根据你的直观判断，猜测图中根据你的直观判断，猜测图中PAPA是否等是否等于于PBPB？11与与22又有什么关系？又有什么关系？12关键是关键是作辅助线作辅助线AOPB证明：连结证明：连结OAOA、O

2、B OB PAPA、PBPB是是 O O的两条切线的两条切线OAAPOAAP，OBBPOBBP又又 OA=OBOA=OB，OP=OPOP=OP Rt RtAOP RtAOP RtBOP BOP PA=PB,PA=PB,APO=APO=BPOBPOPAPA、PBPB是是OO的两条切线，的两条切线，A A、B B为切为切点，如何证明点，如何证明 PA=PB,PA=PB,APO=BPO APO=BPO？PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B BPA=PBPA=PBOPA=OPBOPA=OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的

3、连线平分两条切线的夹角。等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理切线长定理:APO。B几何语言几何语言:切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等、线段相等、角相等角相等提供了新的方法。提供了新的方法。APO。BM 假设连结两切点假设连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出什么新的结论你又能得出什么新的结论?并给出证明并给出证明.OPOP垂直平分垂直平分ABAB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPBPA=PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角

4、的平分线为顶角的平分线 OPOP垂直平分垂直平分ABAB例例.PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交交ABAB于于C C。(1)(1)写出图中所有的垂直关系写出图中所有的垂直关系OAPAOAPA，OBPBOBPB，ABOPABOPAPO。BCED例例.PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交交ABAB于于C C。(2)(2)写出图中与写出图中与OACOAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BP

5、COAC=OBC=APC=BPCAPO。BCED例例.PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交交ABAB于于C C。(3)(3)写出图中所有的全等三角形写出图中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCPAPO。BCED例例.PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交交ABAB于于C C。4 4写出图中所有的等腰三角形写出图中所有的等腰三角形OAB,PABAPO。BCED例例.PAPA

6、、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交交ABAB于于C C。5 5假设假设PA=4PA=4、PD=2PD=2，求半径，求半径OA.OA.APO。BCED设设OA=xcm,OA=xcm,那么那么PO=PD+x=(2+x)cmPO=PD+x=(2+x)cm在在RtRtOAPOAP中，由勾股定理，中，由勾股定理，得得 4 42 2+x+x2 2 =(x+2)=(x+2)2 2 解得解得x=3 x=3 所以，半径所以，半径 OA OA 的长为的长为3cm.3cm.：如图：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线

7、，切点的切线，切点分别是分别是A A、B B，Q Q为为OO上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，交的切线，交PAPA、PBPB于于E E、F F点，点，PA=12cmPA=12cm，P=70P=70,求求:(1):(1)PEFPEF的周长的周长 (2)EOF (2)EOF的大小。的大小。EAQPFBO一、判断一、判断1 1过任意一点总可以作圆的两过任意一点总可以作圆的两条切线条切线 2 2从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。它们的长相等。如图如图,PA,PA、PBPB切圆于切圆于A A、B B两点，两点，APB=50APB=50,连结连结POPO，那么，

8、那么 APO=APO=度。度。25PBOA二、填空二、填空填空：如图，填空：如图，PAPA、PBPB分别与分别与OO相切于点相切于点A A、B B，1 1假设假设PB=12PB=12，PO=13PO=13，那么，那么AO=;AO=;2 2假设假设PO=10PO=10，AO=6AO=6，那么，那么PB=PB=；3 3假设假设PA=4PA=4，AO=3AO=3，那么，那么PO=PO=；PD=PD=；5852(2)(2)观察观察OPOP与与BCBC的位置关系，并给予证明。的位置关系，并给予证明。(1)(1)假设假设OA=3cm,APB=60OA=3cm,APB=60，那么，那么PA=_ PA=_ _

9、._.PABCOM如图，如图，ACAC为为O O的直径，的直径，PAPA、PBPB分别切分别切O O于点于点A A、B B，OPOP交交O O于点于点M M，连结，连结BCBC。PBAO(3)(3)连结圆心和圆外一点连结圆心和圆外一点(2)(2)连结两切点连结两切点(1)(1)分别连结圆心和切点分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建根本图形。往往需要我们构建根本图形。1.1.切线长定理切线长定理 从圆从圆外一点引圆的两条切外一点引圆的两条切线，它们的切线长相线，它们的切线长相等，圆心和这一点的等，圆心和这一点的连线平分两条切线的连

10、线平分两条切线的夹角。夹角。小结：小结：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相线段相等，角相等，弧相等，垂直关系等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。灵活应用。三角形与圆三角形与圆三角形的内切圆三角形的内切圆思考思考一张三角形的铁皮，如何在它上面一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且截下一块圆形的用料，并且使圆的使圆的面积尽可能大面积尽可能大呢？呢？与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形

11、的内切圆三角形的内切圆的圆心三角形的内切圆的圆心三角形的内切圆三角形的内切圆:三角形的内心三角形的内心:内心的性质内心的性质:I即三角形三条角平分线的交点即三角形三条角平分线的交点1.1.与顶点的连线平分三个内角。与顶点的连线平分三个内角。2.2.到三角形三边的距离相等。到三角形三边的距离相等。COBADEFo o外心：外心：三角形三边垂三角形三边垂直平分线的交点。直平分线的交点。性质：性质：到三角形三个到三角形三个顶点的距离相等。顶点的距离相等。o o内心：内心：三角形三个内三角形三个内角平分线的交点。角平分线的交点。性质：性质：到三角形三边到三角形三边的距离相等。的距离相等。A AA AB

12、 BB BC CC C三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的外接圆三角形的外接圆1.1.一个三角形有且只有一个内切圆；一个三角形有且只有一个内切圆；一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；2.2.一个三角形一个三角形 有且只有一个外接圆；有且只有一个外接圆；一个圆有无数个内接三角形；一个圆有无数个内接三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；交点；三角形的外心是三角形三条边垂直平分三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；线的交点；4.4.三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三

13、角形三个顶点的距离相等。三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。COBA如图，如图，ABCABC的内切圆分别和的内切圆分别和BCBC，ACAC，ABAB切于切于D D，E E，F F；如果；如果AF=2cm,AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,BD=7cm,CE=4cm,那么那么BC=cm,BC=cm,AC=AC=，AB=AB=。116cm9cmFED如图，如图，PAPA、PBPB、DEDE分别切分别切OO于于A A、B B、C C，DEDE分别交分别交PAPA，PBPB于于D D、E E，P P到到OO的切线长为的切线长为8CM8CM，那么，那么PDEPDE的周长为的周长为 A.16c

14、mD.8cmC.12cmB.14cmAPDCBEA例：如图例：如图,ABCABC的内切圆的内切圆OO与与BCBC、CACA、ABAB分别相交于点分别相交于点D D、E E、F F，且且ABAB9cm9cm，BCBC14cm14cm，CACA13cm,13cm,求求AFAF、BDBD、CECE的长。的长。AECDBFOxxyyzzDEF 1直角三角形中直角三角形中,设直角边分别为设直角边分别为a a、b,b,斜边为斜边为c,c,内切圆半径为内切圆半径为r r，那么，那么r2abcabc rBDEFOCA如图，如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为2,2,ABCABC的周长为的周长为3

15、0,30,求求ABCABC的面积的面积S.S.设设ABCABC的三边为的三边为a a、b b、c c，周长为，周长为l l，内切圆的半径为内切圆的半径为r,r,面积为面积为S S，那么，那么12S=l r1S=a2bc rBDEFOCA2rSabc拓广探索拓广探索垂心垂心重心重心外心外心内心内心交点交点性质性质位置位置三条高线三条高线的交点的交点三条角平分三条角平分线的交点线的交点三边垂直三边垂直平分线的平分线的交点交点三条中线三条中线的交点的交点在形内、在形内、形外或直形外或直角顶点角顶点在形内、形在形内、形外或斜边中外或斜边中点点在形内在形内在形内在形内到三角形到三角形各顶点距各顶点距离相

16、等离相等到三角形到三角形三边距离三边距离相等相等把中线分把中线分成了成了2:12:1两局部两局部等边三角形的等边三角形的“四心四心等边三角形的等边三角形的“四心重合四心重合直角三角形的直角三角形的“四心四心内心内心外心外心重心重心垂心垂心 直角三角形的外接圆与内切圆直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部三角形内部a+b-c2圆的外切四边形圆的外切四边形的两组的两组对边和对边和

17、相等。相等。探索圆外切四边形边的关系。探索圆外切四边形边的关系。1 1找出图中所有相等的线段找出图中所有相等的线段2 2填空：填空：AB+CD AD+BCAB+CD AD+BC,=)=DN=DPDN=DP，AP=ALAP=AL，BL=BMBL=BM，CN=CMCN=CM对边和相等的四边形能作出内切圆对边和相等的四边形能作出内切圆比较圆的内接四边形的性质：比较圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形圆的内接四边形的的对角对角互补。互补。对角互补的四边形能作外接圆。对角互补的四边形能作外接圆。EF HG OABCDEF OABCDE如图，如图，ABAB是是OO的直径，的直径，ADAD、DCDC、BCB

18、C是是切线，点切线，点A A、E E、B B为切点，假设为切点，假设BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的长的长.PBAOC 已知：如图，已知：如图，PA PA，PBPB分别切分别切O O于于A A、B B，ACAC为直径。为直径。求证：求证：APBBAC21为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下方法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角下方法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为为3030的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，假设法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，假设测得测得PA=5cmPA=5cm，那么锅盖的半径长是多少？，那么锅盖的半径长是多少？PABOO例例.如图，如图，ABCABC中中,C=90,C=90,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切于相切于点点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求O O的半径的半径r.r.OEBDCAFBAPOCEDOOOP PPA