离散型随机变量的分布

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1、离散型随机变量的分布2.5 常用随机变量的分布常用随机变量的分布1.()1,()PCI xC 单单点点分分布布记记为为,0ECD 01,xcF(x),xc 分分布布函函数数为为：离散型随机变量的分布2.两点分布两点分布特例：特例：0-1分布分布10Epqp 222222()(10)(1)DEEpqppppppqa.随随机机变变量量X的的取取值值范范围围：0，1.(即即样样本本空空间间只只含含有有两两个个基基本本事事件件.)b.分分布布律律：P Xmp qmpqmm(),;1011或者：或者：离散型随机变量的分布3.二项分布（二项分布（Binomial Distribution）(,)B n p

2、(),0,1,2,kn knPkp qknk (,)B n p 记记为为B(n,p),B(n,p),注注：若若不不能能推推出出nAk（次次伯伯努努利利试试验验中中 成成功功 次次的的概概率率）离散型随机变量的分布xp(x)0B(20,0.25)B(20,0.5)B(20,0.75)离散型随机变量的分布10.523二二项项分分布布的的图图形形：）p=0.5p=0.5时时是是对对称称的的，p p离离越越远远，分分布布越越 不不对对称称，但但n n越越大大，不不对对称称性性越越不不明明显显。）图图像像是是先先升升后后降降的的，有有极极大大值值点点。）当当(n+1)p(n+1)p是是整整数数时时，（n

3、+1)p-1n+1)p-1和和（n+1)pn+1)p 同同时时取取得得最最大大值值；当当（n+1)pn+1)p不不是是整整数数时时，(n+1)p(n+1)p取取得得最最大大值值离散型随机变量的分布例例 5.已已知知随随机机变变量量XB n p(,)，问问：当当m为为何何值值时时，P Xm()最最大大？解解：分分析析：找找一一个个m，使使P XmP Xm()()1，且且P XmP Xm()()1。当当()np m 10，即即mnp()1时时，P X mP X m()()1当当()np m 10，即即mnp()1时时，P X mP X m()()1这时，这时，P XmP Xm()()0011，P

4、XmP XmC p qCpqn mmpqnp mmpnmmn mnmmn m()()()()111111111)当当()np 1是是整整数数时时，取取mnp01()，则则P XmP Xm()()001都都是是最最大大值值。离散型随机变量的分布2)当当()np1不不是是整整数数时时，取取mnpnp011()()，这这时时有有P XmP Xm()()001，而而mnp011()，所所以以，P XmP Xm()()001。最最后后得得：P Xm()0是是最最大大值值。离散型随机变量的分布0011110011 111nnnkn kkn kkkkkknkn kknkn kkmmlm llm lllnn!

5、Ex pkp qkp qk!(nk)!kn!p q(k)!(nk)!(n)!nppq(k)!(nk)!klnmmm!Enpp qnpp ql!(ml)!lnp.令令，则则离散型随机变量的分布222000122222022121222111nnkn kkkkknnkn kkn kkknkn kkmlm llmnExpkp qknnk(k)p qkp qkk(n)!n(n)ppqnp(k)!(nk)!klnmm!En(n)pp ql!(ml)!n(n)p(pq)n(n)p.令令，则则22DE(E)npq离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布事件事件A发生的

6、次数发生的次数不到不到k次的概率：次的概率：事件事件A发生的次数发生的次数多于多于k次的概率：次的概率：事件事件A发生的次数发生的次数不少于不少于k次的概率：次的概率：事件事件A发生的次数发生的次数不多于不多于k次的概率：次的概率：)()1()(nPkPkPnnn)()1()0(kPPPnnn)1()1()0(kPPPnnn)()2()1(nPkPkPnnn二项分布常用公式二项分布常用公式:离散型随机变量的分布Cumulative=true 至多至多 number_s 次成功的概率次成功的概率 (即即 number_s 的累积概率）的累积概率）=false number_s 次成功的概率次成功

7、的概率（单次概率）（单次概率）可用可用Excel里的统计函数里的统计函数BINOMDIST来计来计算算离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布14142500003500(15)(,2500,0.002)0.0020.998kkkkPB kk 10250001200 250020000010000001025000.0020.998(10,2500,0.002,)0.986395kkkPPkBINOMDIDSTTRUE 离散型随机变量的分布物理含义：单位时间上的记数物理含义：单位时间上的记数离散型随机变量的分布单位时间内，电话呼唤次数，公共汽车站单位时间

8、内，电话呼唤次数，公共汽车站的乘客人数，机场降落的飞机数等；的乘客人数，机场降落的飞机数等；0tP(t),Poisson 若若不不是是单单位位时时间间，而而是是 到到 这这段段时时间间，则则为为称称为为“流流”。离散型随机变量的分布P(x)x0=2.5=5=10注注意意：泊泊松松分分布布是是非非对对称称的的，但但是是，越越大大，非非对对称称性性越越不不明明显显。离散型随机变量的分布0011111kkkkkkkEkP(k)keek!(k)!eee(k)!=2220021222212kkkkkkkEk P(k)(kkk)ek!(kk)eEk!eee(k)!=2221DE(E)()离散型随机变量的分

9、布Excel里的统计函数里的统计函数Poisson离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布H(n,N,M)记记为为离散型随机变量的分布H(5,10,100)H(10,10,100)H(20,10,100)p(x)x13570离散型随机变量的分布001rrkkMNMknkP(k)Nn 需需验验证证规规范范性性，即即0rkMNMNknkn 上上式式等等价价于于离散型随机变量的分布0011NNNN kkkkkNN(x)xxkk 000011MNMMNMksksM NMk sksMNM(x)(x)xxksMNMxks nx上上面面两两式式上上含含的的系系数数相相

10、等等00rNMrkk s nkNMNMMNMnksknk 离散型随机变量的分布00rrkkMNMknkEkP(k)kNn 11111rkMNMknkMnNNn 1kl令令1011111rkMNMlnkMMMEnnnNNNNn 11nMnMNnD()NNN 离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布n 例例、箱箱子子里里有有个个白白球球和和个个黑黑球球，从从中中依依次次随随机机取取球球，每每次次取取一一个个，取取出出看看过过颜颜色色后后立立即即放放回回，这这样样不不停停地地取取下下去去，直直到到取取出出白白球球为为止止，设设 为为取取到到白白球球为为止止所所需需要要的的取取球球次次数数，求求；（）

11、的的概概率率分分布布；（）至至少少需需要要 次次才才能能取取到到白白球球的的概概率率。离散型随机变量的分布1qp 令令111111kkkkkkkEkP(k)kpqpkqp(q)2001111kkkkpp(q)p(q)p()q(q)p 221111111kkkkkkEk pqpk(k)qkq 211111kkkkpqk(k)qpq(q)pp 0011111kkkkpq(q)pq(q)pq()ppqp 2221211qpq(q)ppp 22222211qqDE(E)pppp 离散型随机变量的分布巴巴斯斯卡卡分分布布（第第r r次次成成功功发发生生在在第第n n次次）1(1,1,)1(),(,1,.)1rk rnb rnpkPkpqp kr rr 第第 次次成成功功前前面面的的二二项项分分布布,)rt st 问问题题：甲甲乙乙按按某某种种方方式式下下注注，先先胜胜t t局局者者赢赢，但但进进行行到到甲甲胜胜r r,乙乙胜胜s s局局（时时，因因故故停停止止，问问：如如何何分分配配赌赌注注？