气体分子碰壁数及其应用

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1、气体分子碰壁数及其应用2.5 气体分子碰壁数及其应用气体分子碰壁数及其应用 1.6.2 1.6.2 已用最简单的方法导出了单位时间已用最简单的方法导出了单位时间内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数的近似内碰撞在单位面积器壁上的平均分子数的近似公式公式。在推导中简单地在把立方容器中的气体分子在推导中简单地在把立方容器中的气体分子分为相等的六组，每一组都各垂直于一个器壁分为相等的六组，每一组都各垂直于一个器壁运动，且认为每一分子都以平均速率运动。运动，且认为每一分子都以平均速率运动。本节将用较严密的方法导出本节将用较严密的方法导出（通常有两种（通常有两种方法：一种是利用速率分布；另一种是利用速方法：

2、一种是利用速率分布；另一种是利用速度分布，这里仅介绍速度分布法）。度分布，这里仅介绍速度分布法）。接着利用麦克斯韦速度分布来证明气体压强接着利用麦克斯韦速度分布来证明气体压强公式。公式。最后本节将介绍气体分子碰壁数的一些重要最后本节将介绍气体分子碰壁数的一些重要应用。应用。气体分子碰壁数及其应用 2.5.1 由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁由麦克斯韦速度分布导出气体分子碰壁数及气体压强公式数及气体压强公式 简并压强简并压强 若容器内装有分子数密度为若容器内装有分子数密度为n n的理想气体。的理想气体。内壁上有一内壁上有一d dA A的面积元。的面积元。现以现以d dA A的中心的中心O O为

3、原点，画出一位置直角坐为原点，画出一位置直角坐标，其标，其x x 轴垂直于轴垂直于d dA A 面元，如图所示。面元，如图所示。为了表示容器内气体分子的速度方向，还引入为了表示容器内气体分子的速度方向，还引入一个速度坐标。一个速度坐标。（一）证明（一）证明4/nv速度坐标的方向速度坐标的方向正好与以正好与以O O为原为原点的位置坐标方点的位置坐标方向相反如图所示。向相反如图所示。气体分子碰壁数及其应用显然，在容器中处于位置坐标为显然，在容器中处于位置坐标为v vx xd dt t，v vy yd dt t，v vz zd dt t的的B B点附近的小体积内的气体，只要其速点附近的小体积内的气体

4、，只要其速度矢量在度矢量在V V 到到V+V+d dV V范围内的分子，在范围内的分子，在d dt t时间内时间内均可运动到均可运动到d dA A面元之相碰。面元之相碰。说明：速度矢量说明：速度矢量V V 到到V+V+d dV V相应于速度分量区间：相应于速度分量区间：v vx x 到到v vx x+d dv vx x，v vy y 到到v vy y+d dv vy y，v vx x 到到v vx x+d dv vx x 。实际上，只有在实际上，只有在以以d dA A为底、为底、v vx xd dt t为为高，其母线与高，其母线与BOBO直直线平行的斜柱体中线平行的斜柱体中的 所 有 速 度的

5、 所 有 速 度V V 到到V+V+d dV V 的分子，在的分子，在d dt t时间内均会与时间内均会与d dA A碰撞碰撞.气体分子碰壁数及其应用 从此式可看出，不同的从此式可看出，不同的v vx x,v,vy y,v vz z 对应于不对应于不同的斜柱体，同的斜柱体，也对应于不同的分子数也对应于不同的分子数 d dN Nv vx x,v,vy y,v vz z)AtvvvvvfvfvnfvvvNxzyxxyxzyxddddd)()()(),(d这些碰撞分子的总数等于单位体积内速度矢量这些碰撞分子的总数等于单位体积内速度矢量在在V V 到到V+V+d dV V范围内的分子数与斜柱体体积的乘

6、积。范围内的分子数与斜柱体体积的乘积。气体分子碰壁数及其应用若要求出若要求出d dt t 时间内碰撞在时间内碰撞在d dA A面元上所有各种面元上所有各种速度分子的总数速度分子的总数,则还应对则还应对v vx x积分。积分。考虑到所有考虑到所有v vx x0 0的分子均向相反方向运动，它的分子均向相反方向运动，它们不会碰到们不会碰到d dA A上，所以，上，所以，v vx x应从应从0 0积分到无穷大。积分到无穷大。dAdtdvvvnfxxx)(AdtvvfvvfvvvnfvNzzyyxxxxdd)(d)(d)()(d显然，显然，d dt t时间内，速度分量在时间内，速度分量在v vx x 到

7、到v vx x+d dv vx x，-v vy y，-v vz z范围内的，碰撞在范围内的，碰撞在d dA A面元上的分子数面元上的分子数 d dN N(v vx x)等于对等于对v vy y、v vz z的积分，的积分，气体分子碰壁数及其应用 为麦克斯韦分布的平均速率为麦克斯韦分布的平均速率。单位时间内碰在单位面积上总分子数为单位时间内碰在单位面积上总分子数为 tAvvvfnNxxxddd)(0022/1ddd)2exp()2(tAvvkTmvkTmnxxxtAvntAmkTndd41dd2mkTv8mkTpmkTn284vntAN41dd气体分子碰壁数及其应用（二）（二）气体压强公式气体压

8、强公式 气体压强是在单位时间内大数气体分子碰撞气体压强是在单位时间内大数气体分子碰撞器壁而施于单位面积器壁的平均冲量。器壁而施于单位面积器壁的平均冲量。一个速度分量为一个速度分量为v vx x、v vy y、v vz z的分子，对图中面的分子，对图中面元元d dA A作完全弹性碰作完全弹性碰 撞时将施予器壁撞时将施予器壁2mv2mvx x的冲的冲量，而与量，而与 v vy y、v vz z 的大小无关的大小无关.气体分子碰壁数及其应用 若在若在d dt t时间内，所有速度分量在时间内，所有速度分量在 v vx x 到v vx x+d+dv vx x，-v vy y，-v vz z范围范围内的、

9、碰撞在面元内的、碰撞在面元d dA A上的分子数为上的分子数为 d dNN（v vx x），），xxxmvvdNvI2)()(0)(d2xxvNmvIAtvvvnfvNxxxxddd)()(d0222d)(212d)(2ddxxxxxxxvnmvvvfnmvvvfnmtAIp则所有这些分子由于碰撞而给予面元则所有这些分子由于碰撞而给予面元d dA A的冲量为的冲量为在在d dt t时间内，所有各种速度的分子碰时间内，所有各种速度的分子碰撞在撞在d dA A上的总冲量为上的总冲量为气体分子碰壁数及其应用 它与它与1.6.31.6.3中证明的气体压强公式一致。中证明的气体压强公式一致。注意到在气体

10、压强公式的证明中并未利用麦注意到在气体压强公式的证明中并未利用麦克斯韦分布，说明该式具有普适性。克斯韦分布，说明该式具有普适性。只要是非相对论的只要是非相对论的(v vc c）无相互作用的）无相互作用的系统，气体压强公式一般都可适用系统，气体压强公式一般都可适用.32222vvvvxyx32vnmp 这里已利用了这里已利用了f f(v vx x）是偶函数的性质。）是偶函数的性质。考虑到处于平衡态的理想气体其分子的混沌考虑到处于平衡态的理想气体其分子的混沌性，故有性，故有将此式代入上面式子，即得将此式代入上面式子，即得气体分子碰壁数及其应用三三、简简并并压压强强（d de eg ge en ne

11、 er ra ac cy y p pr re es ss su ur re e）按按照照量量子子理理论论，在在T T=0 0 K K温温度度下下的的金金属属中中的的自自由由电电子子以以1 10 06 6mms s-1 1数数量量级级的的平平均均速速率率在在运运动动着着.金金属属表表面面相相当当于于装装有有自自由由电电子子的的容容器器壁壁，自自由由电电子子碰碰撞撞器器壁壁表表面面所所产产生生的的压压强强称称为为费费米米压压强强，也也称称简简并并压压强强。下下面面来来求求铜铜在在T T=0 0 K K温温度度下下的的简简并并压压强强。由由=n nmm可可求求出出数数密密度度n n。铜铜为为一一价价

12、金金属属，每每个个原原子子提提供供一一个个自自由由电电子子，已已知知铜铜的的已已知知T T=0 0 K K时时，在在金金属属铜铜中中自自由由电电子子的的费费米米能能kg1067.164,mkg109.82733mJ101.121182FeFvmE气体分子碰壁数及其应用T T=0 0 K K时时铜铜的的均均方方速速率率这这时时它它的的简简并并压压强强其其数数量量级级达达1 10 04 4 MMp pa a。在在超超密密态态物物质质白白矮矮星星、中中子子星星中中，存存在在大大量量的的电电子子或或中中子子，它它们们的的速速率率分分布布也也十十分分类类似似于于T T=0 0 K K时时的的自自由由电电

13、子子速速率率分分布布，因因而而也也存存在在简简并并压压强强。由由于于数数密密度度很很大大，简简并并压压强强更更高高，故故在在这这些些星星体体的的演演变变中中简简并并压压强强起起了了十十分分重重要要的的作作用用。,5322Fvv2253331FeeFvmmvnmp210mN107.352FEm气体分子碰壁数及其应用*2.5.2 泻流及其应用（热分子压差、分子束技术泻流及其应用（热分子压差、分子束技术及其速率分布、同位素分离、热电子发射）及其速率分布、同位素分离、热电子发射）（一）泻流（一）泻流（effusioneffusion）气体从很小的容器壁小孔中逸出称为泻流。气体从很小的容器壁小孔中逸出称

14、为泻流。处于平衡态的气体，在处于平衡态的气体，在d dt t时间内，从时间内，从A A面积面积小孔逸出的分子数小孔逸出的分子数 4/AdtvnN但只要在宏观上很短时间但只要在宏观上很短时间d dt t内逸内逸 出的气体分子数与出的气体分子数与容器中总分子容器中总分子 数相比小得数相比小得多，则分子数密度和平均速多，则分子数密度和平均速率在率在 t t 时刻时刻 有确定数值。有确定数值。泻流是宏观粒子流，严格说容器中气体处于泻流是宏观粒子流，严格说容器中气体处于非平衡态。非平衡态。气体分子碰壁数及其应用（三）分子束和原子束（三）分子束和原子束（atomic beam and molecular

15、beamatomic beam and molecular beam）原子束和分子束是研究原子和分子的结构以原子束和分子束是研究原子和分子的结构以及原子和分子同其它物质相互作用的重要手段。及原子和分子同其它物质相互作用的重要手段。固体、液体和稠密气体中的分子间距较小，固体、液体和稠密气体中的分子间距较小，有复杂的相互作用，很难研究单个孤立分子的有复杂的相互作用，很难研究单个孤立分子的性质。性质。稀薄气体分子间距较大，其相互作用随压强稀薄气体分子间距较大，其相互作用随压强的减小变弱，但因分子无规运动，使得对分子的减小变弱，但因分子无规运动，使得对分子本身的探测和研究较困难。本身的探测和研究较困难

16、。分子束或原子束中，分子或原子作准直得很分子束或原子束中，分子或原子作准直得很好的定向运动，它们之间的相互作用可予忽略，好的定向运动，它们之间的相互作用可予忽略，利用它来研究分子或原子的性质及其相互作用利用它来研究分子或原子的性质及其相互作用较为理想较为理想。气体分子碰壁数及其应用 所以分子束或原子束技术在原子物理、分所以分子束或原子束技术在原子物理、分子物理以及气体激光动力学、等离子体物理、子物理以及气体激光动力学、等离子体物理、化学反应动力学，甚至在空间物理、天体物化学反应动力学，甚至在空间物理、天体物理、生物学中都有重要应用。理、生物学中都有重要应用。它也是研究固体表面结构的重要手段。它

17、也是研究固体表面结构的重要手段。在历史上，很多重要实验应用了原子、分在历史上，很多重要实验应用了原子、分子束实验。子束实验。例如，在例如，在2.3.12.3.1中介绍的中介绍的斯特恩验证麦克斯特恩验证麦克斯韦分布实验。斯韦分布实验。19221922年，斯特恩因发现分子束技术及他与年，斯特恩因发现分子束技术及他与革拉赫合作做了斯特恩革拉赫合作做了斯特恩革拉赫实验，从革拉赫实验，从而发现了质子的磁矩。而发现了质子的磁矩。他单独荣获他单独荣获19431943年诺年诺贝尔物理奖贝尔物理奖。气体分子碰壁数及其应用（四）分子束速率分布（四）分子束速率分布（spead distrbution of mole

18、cular beamspead distrbution of molecular beam）因为从加热炉器壁小孔中逸出的分子就是无碰因为从加热炉器壁小孔中逸出的分子就是无碰撞向小孔运动的分子。撞向小孔运动的分子。在在d dt t时间内从时间内从d dA A面积的小孔逸出的分子数可写为面积的小孔逸出的分子数可写为 0)(4141dAdtdvvnvfdAdtvnN在在2.3.12.3.1麦克斯韦分布麦克斯韦分布的实验验证中曾指出，从分的实验验证中曾指出，从分子束实验中所测得的分子束子束实验中所测得的分子束速率分布不同于麦克斯韦速速率分布不同于麦克斯韦速率分布，就具体求出麦克斯率分布，就具体求出麦克

19、斯韦分子束速率分布。韦分子束速率分布。气体分子碰壁数及其应用 因为气体分子是辐射状地从小孔射出的，从因为气体分子是辐射状地从小孔射出的，从各个方向射出的分子的速率分布相同，所以各个方向射出的分子的速率分布相同，所以从从小孔射出的总分子数中的速率分布就等于分子小孔射出的总分子数中的速率分布就等于分子束中的速率分布束中的速率分布F F（v v）d dv v。：dAdtdvvvfndNv)(4dAdtdvvkTmvkTmndNv322/3)2exp()2(44将麦克斯韦速率分布表达式代入将麦克斯韦速率分布表达式代入由上述积分式可知，其中速率为由上述积分式可知，其中速率为v v 到到v v+d+dv

20、v 范围内的分子数是范围内的分子数是0)(4141dAdtdvvnvfdAdtvnN气体分子碰壁数及其应用 利用气体分子平均速率公式，则分子利用气体分子平均速率公式，则分子束速率分布束速率分布F F（v v）d dv v可表示为可表示为dAdtvndNdvvFv)4/()(dvvkTmvkTmdvvF3222)2exp()(2)(dvvkTmvkTmkTmdvvF322/3)2exp(8)2(4)(dAdtvndvdAdtvvfndvvF)4/()()4/()(dAdtdvvvfndNv)(4气体分子碰壁数及其应用 分子束速率分布也可用如下方法求得。分子束速率分布也可用如下方法求得。因为分子束

21、中的分子处于宏观运动状态（它因为分子束中的分子处于宏观运动状态（它不同于处于平衡态的理想气体，从宏观上看，不同于处于平衡态的理想气体，从宏观上看，平衡态气体的分子均处于静止状态）。平衡态气体的分子均处于静止状态）。因而分子束的速率分布函数正比于因而分子束的速率分布函数正比于f f（v v）vv。故故 vdvvAfdvvF)()(001)()(vdvvfAdvvF0)(dvvvfvkTmvA81由归一化条件由归一化条件而对于速率分布，其平均速率为而对于速率分布，其平均速率为可知分子束速率分布的归一化系数可知分子束速率分布的归一化系数气体分子碰壁数及其应用 它们均比麦克斯韦速率分布中的及要大些它们

22、均比麦克斯韦速率分布中的及要大些。这是因为气体分子处于动态，因而速度大的这是因为气体分子处于动态，因而速度大的分子逸出的机会相对多些分子逸出的机会相对多些 dvvkTmvkTm3222)2exp()(2dvvkTmvkTmkTmdvvF3223)2exp()2(48)(mkTvmkTv4)(,892束束分子束速率分布为分子束速率分布为分子束的平均速率及均方根速率分别为分子束的平均速率及均方根速率分别为气体分子碰壁数及其应用从平均速率公式知，在从平均速率公式知，在T T一定时平均速率和一定时平均速率和 m m1/21/2成反比成反比 又从气体分子碰壁数公式看到又从气体分子碰壁数公式看到,质量小的

23、分子质量小的分子平均速率大平均速率大,因而易于逸出小孔。因而易于逸出小孔。这就为同位素分离提供了一种十分有用的方法这就为同位素分离提供了一种十分有用的方法若一容器由疏松的器壁所构成，它含有极大量若一容器由疏松的器壁所构成，它含有极大量的可透过气体的小孔。从小孔穿出的分子被抽入的可透过气体的小孔。从小孔穿出的分子被抽入收集箱中。收集箱中。容器中充满质量分别为容器中充满质量分别为m m1 1和和m m2 2的两种分子所组的两种分子所组成的混合理想气体，其分子数密度分别为成的混合理想气体，其分子数密度分别为n n1 1及及n n2 2若若m m1 1m m2 2，则容器中，则容器中m m1 1分子减

24、少的速率大于分子减少的速率大于m m2 2分子减少的速率，从而使容器中的分子减少的速率，从而使容器中的m m1 1分子逐步减分子逐步减小，小，说明质量大的同位素相对富度将增加。说明质量大的同位素相对富度将增加。（五）同位素分离（五）同位素分离（isotope separationisotope separation）气体分子碰壁数及其应用而收集箱中质量小的同位素相对富而收集箱中质量小的同位素相对富度增加。度增加。核工程就利用这一性质来分离天然核工程就利用这一性质来分离天然铀中的铀中的238238U U（富度（富度99.3%99.3%）和）和235235U U（富度（富度0.7%0.7%）两种同

25、位素。）两种同位素。这样大约需数千级的级联分离，才这样大约需数千级的级联分离，才能获得较纯的能获得较纯的235235UFUF6 6气体。气体。这是早期分离天然铀所采用的方法。这是早期分离天然铀所采用的方法。现在是利用离心分离天然铀的方法。现在是利用离心分离天然铀的方法。气体分子碰壁数及其应用（六）热电子发射（六）热电子发射（thermal electrons emitting）在生活中和科学技术中有很多热电子发在生活中和科学技术中有很多热电子发射现象的实例。射现象的实例。自由电子经典模型可知，金属中的自由自由电子经典模型可知，金属中的自由电子的势能要比金属外空气中的游离电子电子的势能要比金属外

26、空气中的游离电子低低W W的脱出功。的脱出功。自由电子脱出金属表面所作的功可由热自由电子脱出金属表面所作的功可由热运动能量提供。运动能量提供。只要从金属内部只要从金属内部“碰撞碰撞”到金属表面上到金属表面上的自由电子的动能大于的自由电子的动能大于W W，它就能穿透金，它就能穿透金属表面进入自由空间，这就是热电子发射属表面进入自由空间，这就是热电子发射现象。现象。气体分子碰壁数及其应用 由于位于金属表面的自由电子所受到由于位于金属表面的自由电子所受到的晶格离子的吸引力的合力方向是沿金的晶格离子的吸引力的合力方向是沿金属表面法向指向金属内部的。属表面法向指向金属内部的。若令沿金属表面法向向外的方向

27、定为若令沿金属表面法向向外的方向定为x x正方向，则正方向，则只有速度分量只有速度分量v vx x满足满足v vx xv vx xminmin条件的自由电子条件的自由电子“碰碰”到金属表面到金属表面上时才能逸出金属表面。上时才能逸出金属表面。其中其中v vx xminmin与脱出功与脱出功W W之间有如下关系之间有如下关系2/)(2minxevmW 气体分子碰壁数及其应用这说明，在单位时间内从单位面积金属表面逸这说明，在单位时间内从单位面积金属表面逸出的电子数应等于在单位时间内出的电子数应等于在单位时间内“碰撞碰撞”在单位在单位面积金属表面上满足面积金属表面上满足 m me ev v2 2x

28、x/2/2 W W 的电子数。的电子数。这就是热电子发射强度这就是热电子发射强度J Je e。若设金属自由电子数密度为若设金属自由电子数密度为n n，则利用在推导，则利用在推导中利用到的（中利用到的（2.442.44）式。）式。AdtvvfvvfvvvnfvNzzyyxxxxdd)(d)(d)()(ddAdtdvvvnfxxx)(在在d dt t时间内，碰撞在时间内，碰撞在d dA A面积器壁上的，速度面积器壁上的，速度分量为分量为v vx,x,到到v vx x +d+dv vx x而而 v vy y,v,vz z 为任意的分子的为任意的分子的总数为总数为气体分子碰壁数及其应用 金属中自由电子

29、不遵从麦克斯韦分布。金属中自由电子不遵从麦克斯韦分布。但作为近似处理，认为麦克斯韦分布能适用。但作为近似处理，认为麦克斯韦分布能适用。将分布函数代入，可得将分布函数代入，可得 min)(xvxxxedvvvnfJmin/2/122/1)exp()2()2exp()2(xvkTwxxxeduumkTndvvkTmvkTmnJ)exp()exp()2(2/12/1kTWTkTWmkTndAdtdvvvnfvdNxxxx)()(这是表示热电子发射强度的李查逊这是表示热电子发射强度的李查逊（RichardsonRichardson）公式。）公式。气体分子碰壁数及其应用应用量子统计，考虑到电子气体不遵从

30、麦克应用量子统计，考虑到电子气体不遵从麦克斯韦分布，所求得的更精确的结果是斯韦分布，所求得的更精确的结果是 )exp(2kTWTJe)exp(21kTWTJe现在是现在是 对上面两式作一比较对上面两式作一比较气体分子碰壁数及其应用 金属的脱出功金属的脱出功W W约为几电子伏特。由于约为几电子伏特。由于1 1电子伏电子伏特相当于特相当于7.747.7410103 3K K温度的热运动能量，这相当温度的热运动能量，这相当于数万于数万K K温度下的热运动能量温度下的热运动能量。而金属的熔解温度约为数千度而金属的熔解温度约为数千度K K，说明，说明WkTWkT。可见式中的指数因子起了主要作用。可见式中

31、的指数因子起了主要作用。至于两式中的另一因子至于两式中的另一因子 T T1/2 1/2 及及 T T2 2 的差异对的差异对J Je e所产生的影响已显得不甚重要。所产生的影响已显得不甚重要。所以，在热电子发射中用麦克斯韦分布所产生所以，在热电子发射中用麦克斯韦分布所产生误差并不大。误差并不大。)exp(21kTWTJe)exp(2kTWTJe气体分子碰壁数及其应用 正因为正因为W W k kT T，在室温下，在室温下v vx xv vx xminmin的电子的电子数几乎为零，只有在温度较高，且选用数几乎为零，只有在温度较高，且选用W W较较小的金属时才能明显地看到热电子发射现小的金属时才能明显地看到热电子发射现象。象。日光灯管及各种电子管中发射电子的阴日光灯管及各种电子管中发射电子的阴极均由灯丝来加热，就是这个原因。极均由灯丝来加热，就是这个原因。电子发射除利用加热外，也可利用光的电子发射除利用加热外，也可利用光的照射或施加一定强电场照射或施加一定强电场。前者称光电效应，后者称场致电子发射。前者称光电效应，后者称场致电子发射。它们的基本原理十分类似，所不同的仅它们的基本原理十分类似，所不同的仅是在单个自由电子热运动能量上再附加上是在单个自由电子热运动能量上再附加上一个光子的能量或电场能量，使总能量超一个光子的能量或电场能量，使总能量超过脱出功过脱出功W W。