《线谐振子和粒子数表象》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线谐振子和粒子数表象（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、线性谐振子哈密顿量算符为（）其中厄米算符 和 满足如下对易关系：xp,x pi（4.6.2）定义两个非厄米算符 和 ：aa1()2axip1()2axip（4.6.3）1.线性谐振子2221122Hpx利用式（4.6.2）不难证明，这两个非厄米算符满足如下基本对易关系：,1a a（4.6.4）式（4.6.3）的逆变换关系为()2xaa()2piaa（4.6.5）利用式（4.6.5），并考虑到对易关系（4.6.4），哈密顿算符又可表示为（4.6.6）1()2Ha a（4.6.7）由于 与算符 仅仅相差一个常数矩阵，所以我们只需求解 的本征值问题。设它的属于本征值为 的本征矢为 ，即Ha aa a
2、a a 首先，由于 是一个右矢 的模的平方，是非负数，因此可得到如下结论：2()()(a aaaa0（4.6.8）即 的本征值为非负数。a a 其次，利用对易关系（4.6.4）不难证明()(1)(1)a a aaa aa（4.6.9）这表明，若 是的一个本征矢，相应的本征值 ，则 也使它的一个本征矢，相应的本征值为 。类似的将算符 作用于本征矢 ，有1a aa()(1)a a aa（4.6.10）由此，我们可将 称为“产生算符”，称为“湮灭算符”，如果 是 的一个本征矢，则 和 对这个本征矢作用后得到的新的右矢 仍然是 的本征矢，但其本征值增加或减小 。重复的使用这种作用，我们可以从某一给定的
3、本征矢出发，得到具有不同本征值的所有本征矢。这种方法可称为“阶梯法”。所得到的本征值谱显然是等间隔的，间隔为 。aaa aaa()aaa a11 最后，本征值取值条件（4.6.8）表明，本征值谱有一个下限，设下限为 相应的本征矢为 ，即00 00000a a （4.6.11）由于 是 的属于最小本征值的本征矢，所以满足如下条件：0a a00a（4.6.12）根据这个条件，由式（4.6.11）可得 ，这是唯一可能小于 的本征值。零本征值的态可记为 ，称为基态。条件（4.6.12）可记为：001000a（4.6.13）由于 的本征值和本征矢可记为a a (n=0,1,2,)n()0nnnA a（4
4、.6.14）（4.6.15）其中 是归一化系数，待定。由式（4.6.6），（4.6.7）（4.6.14）可知nA1()2H nnn即一维线性谐振子能量本征值为 ，这与波动力学方法所得到的结果一致。1()2nEn 现在来考察基本算符 和 对表象基矢 的作用。由式（4.6.9）的结果可知，与 描写了同一个态，因此有aanan1n1nancn（4.6.16）于是可得 。若取 ，则式（）化为 1nincne0n11annn1a nn n（）（）其中 是常数。为了确定 ，对上式取模的平方，有ncnc =22(1)1ncann aann a ann由式（4.6.17）还可得到式（4.6.14）中归一化系数
5、，于是一维线性谐振子哈密顿量的归一化的本征矢可表示为1()0!nnan（4.6.19）（4.6.20）由式（4.6.17）和（4.6.18），可以立即得到算符 和 在能量表象中的矩阵元aa,11n nn nan ann,1n nn nan ann（4.6.21）利用算符 ，和 ，之间的变换关系（4.6.5），以及上述式（4.6.20）和（4.6.21），可以得到坐标算符 和动量算符 在谐振子能量表象中的矩阵元：（4.6.22）（4.6.23）aaxpxp,1,1(1)2n nn nn nxn x nnn,1,1(1)2n nn nn npn p ninn 定义算符 ，称为粒子数算符。它的本征方
6、程为：na an na a nn n（）由式（4.6.20）和（4.6.21）还可以立即得到算符 的矩阵元：a an,m+1m,n-1mn n =(m+1)(n)=n()n nn mmnmn a a na aaa（4.6.24）2.粒子数表象 （4.6.25）可作这种理解：想象谐振子体系为许多能量为 的“准粒子”的集合，具有 个准粒子的态记为 ，粒子数算符 作用于本征态 上，其相应的本征值是粒子数 。nnnnn 所谓粒子数表象，就是将粒子数的产生算符和湮灭算符作为基本力学量，其它力学量，如坐标、动量以及动能、势能、哈密顿算符等等都可用它表示；态矢量作为产生算符作用于真空态表示。以及粒子数算符 在二次量化表象中以及多粒子体系的量子统计中有十分重要的应用。而粒子数表象也早已广泛应用于全同粒子的量子理论以及量子场论。,a an
线谐振子和粒子数表象
