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1、1第一章第一章 几何空间中的向量几何空间中的向量n 直线方程n 两直线的位置关系n 直线与平面的位置关系n 线线夹角与线面夹角n 点线距离2xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L,01111DzCyBxA,02222DzCyBxA直线的一般方程其中其中.021nn(交面式)3,01111DzCyBxA21212121()()()0.AA xBB yCC zDD上述直线也等价于几何上，一条直线可看作任意两个过该直线且不平行的平面的交线，即直线方程的表达直线方程的
2、表达式不唯一式不唯一.1111122222()()0.k AxB yC zDkA xB yC zD其中其中,通过直线的所有平面可以写成通过直线的所有平面可以写成11112222()0.A xB yC zDA xB yC zD或上面两个方程称为通过直线上面两个方程称为通过直线L的的平面束平面束4xyzo方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M,LM ),(zyxMsMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 5pzznyymxx000 直线
3、的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的方向向量直线的方向向量直线的参数方程直线的参数方程6例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2,000 zy点坐标点坐标),2,0,1(7因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3,1,4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx提示：每一类型的方程都有
4、其对应的条件，转化的过程提示：每一类型的方程都有其对应的条件，转化的过程就是寻找条件的过程就是寻找条件的过程8解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交,所以交点为所以交点为),0,3,0(B取取BAs ,4,0,2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx921)1(LL ,0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L,0,4,11 s,1,0,02 s,021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即令s1=m1,n1,p1,s2=m2,n2,p2.10直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,22
5、2222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角公式两直线的夹角公式|cos2121ssss两直线两直线 l1,l2 的方向的方向 s1,s2 之间夹角称为该两之间夹角称为该两直线的夹角直线的夹角(通常指锐角通常指锐角).11解法一、直线参数方程方法解法一、直线参数方程方法 （适用于求直线上的点）（适用于求直线上的点）1 1、确定直线需要那些条件、确定直线需要那些条件 2 2、怎样寻找需要的条件、怎样寻找需要的条件12解法二、结合平面求解法解法二、结合平面求解法先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂
6、直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131.1213 tztytx13代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN373,1713,272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx14定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角,:000pzznyymxxL ,0:DCzByAx,pnms ,CBAn ,2s n,2s n 0.2 1
7、5222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：L)1(.pCnBmA L)2(/.0 CpBnAm .cos 2 cossin2|snsn/snsn16例例 5 5 设直线设直线:L21121 zyx，平面，平面:32 zyx，求直线与平面的夹角，求直线与平面的夹角.解解,2,1,1 n,2,1,2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21|.637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角17M0M0SlM1注：注：d与M0的选择无关pzznyymxx000设直线l方程为：为的距离到直线则，外一点直线dlMzyxMl11111),(01sM Mds问：问：还有什么方法求解点到直线距离还有什么方法求解点到直线距离181M2M异面直线间的距离定义：异面直线间的距离定义：L12L211211LLL LLM经过可作唯一的平面 与 平行，,之间的距离定义为 上任意一点到平面 的距离n192121122112122112Pr()(,)nn M Mdj M MnSSM MSSS SM MSS 根据点到平面的距离公式得到根据点到平面的距离公式得到
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