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1、第六节第六节 用配方法化二次型成规范形用配方法化二次型成规范形一、拉格朗日配方法的详细步骤用正交变换化二次型为规范形，其特点是保用正交变换化二次型为规范形，其特点是保持几何外形不变持几何外形不变问题有没有其它方法，也可以把二次型化问题有没有其它方法，也可以把二次型化为规范形？为规范形？问题的回答是一定的。下面引见一种行之有问题的回答是一定的。下面引见一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.假设二次型含有假设二次型含有 的平方项，那么先把含有的平方项，那么先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其他的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其他的变量同样进展，直到都配成平方项为止，经过
2、非退化线样进展，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到规范形性变换，就得到规范形;ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk,2,1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.假设二次型中不含有平方项，但是假设二次型中不含有平方项，但是 那么先作可逆线性变换那么先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xx
3、xxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxy
4、yxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 10021
5、0101100011011C.100111311 .02 C二、小结将一个二次型化为规范形，可以用正交变换将一个二次型化为规范形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求假设要求找出一个正交矩这取决于问题的要求假设要求找出一个正交矩阵，无疑应运用正交变换法；假设只需求找出一阵，无疑应运用正交变换法；假设只需求找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以运用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以运用正交变换法的益处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的益处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；假设二班
6、一步一步地求解，但计算量通常较大；假设二次型中变量个数较少，运用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，运用拉格朗日配方法反而比较简单需求留意的是，运用不同的方法，所比较简单需求留意的是，运用不同的方法，所得到的规范形能够不一样，但规范形中含有的项得到的规范形能够不一样，但规范形中含有的项数必定一样，项数等于所给二次型的秩数必定一样，项数等于所给二次型的秩 .,323121321变变换换并并写写出出所所作作的的可可逆逆线线性性为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 思索题思索题解答故故令令方方项项由由于于所所给给二二次次型型不不含含平平,解解 ,33212211 yxyyxyyx,)(2322312yyyyf 有有 ,3322311 3322211zyzyzzyyzyzyyz或或再再令令,232221zzzf 得得标标准准形形 .,3332123211zxzzzxzzzx所用可逆线性变换为所用可逆线性变换为
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