逻辑推理培训

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1、逻 辑 推 理（一）主讲：胡元明教学目标：（1）熟练运用假设法、图表法、反证法、枚举法、排除法、寻找突破口等方法解决推 理问题，培养学生初步的逻辑思维能力（逻辑推理能力是以敏锐的思考分析、快捷的反 应、迅速地掌握问题的核心，在最短时间内作出合理正确的选择）。）。（2）通过问题的分析和解决，培养学生的理性思考的习惯。 教学重点：假设法和图表法 教学难点：突破口的选择一、故事引入： 河边上有一高一矮的两个人在抬水，已知矮个子是高个子的儿子，但高个子却不是矮个 子的爸爸，你说他是谁？解数学问题总有一个分析推理过程。 有些问题有一定的解题规律和原理， 但在数 学竞赛中，往往遇到这样一类问题，它没有一定

2、的解题规律和原理，好像与数学没有直接联 系，它要求我们根据所给条件，进行合理的推理，作出正确的判断，这种判断推理问题，叫 做逻辑推理问题。把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理二、体验数学例 1 游戏：有 2 顶红帽子，3 顶白帽子，让三人看了，再把他们的眼睛蒙住。 问题一：给2 人戴上红帽子，1人戴上白帽子，把剩下的帽子藏起来，然后拿去蒙眼的 布，让他们说出自己戴的是什么帽子？问题二：给1 人戴上红帽子，2人戴上白帽子 问题三：给3 人戴上白帽子练习：（1）三个人位于垂直墙的一直线上，并将 眼睛蒙起然后从装有三顶茶色帽子和两顶黑色帽子 的箱中取出三顶让他们三人戴上并将以上信息告知

3、他们接着把他们眼睛上的蒙布拿掉，并要求每人确 定各自所戴帽子的颜色离墙最远的那个，他看到了 前面两人帽子的颜色后说“：我不知道我所戴帽子的颜 色”离墙第二远的那个人听到了上面的回答，又看到 了前面一个人戴的帽色，也回答自己不知道而第三 个人，虽然他看到的只是墙，但他听到了前面两人的 回答，却说：“我知道自己所戴帽子的颜色” 试问，他所戴的帽子是什么颜色？又是怎样 确定的呢？解答：茶色的。1. 根据第一个人的话可知前边两人为一茶一黑，或两茶色，因为如果是两黑的话，他就 能确定自己是茶色的；2. 第二个人有了这个提示，如果第三个人是黑色的，那他就能确定自己是茶色的了，而 他说也不知道，那就是说第三

4、个人戴的是茶色的了。3. 第三个人就是据此知道自己是茶色的了。(2) 豆豆和爸爸妈妈一起玩游戏。她先从一副扑克牌中抽出16张牌：黑桃J、8、7、4、 3、2；梅花K、Q、6、5、4；红桃A、Q、4；方块A、5。接着，把这16张牌合上扣在桌子 上，从中取走一张牌。然后，豆豆在妈妈的耳朵边悄悄地告诉她这张牌的点数，又在爸爸的 耳朵边悄悄地告诉他这张牌的花色。这时，豆豆问爸爸妈妈：“你们知道我取走的是哪一张 牌吗？”妈妈说：“我不知道。”爸爸说：“我知道你不知道。”妈妈想了想，又说：“现在我 知道了。”爸爸紧接着说：“我也知道了。”请问：豆豆取走的是哪一张牌？为什么提示：方块5,妈妈说不知道，说明这

5、个点数不是唯一的，即是A、Q、5、4中的一个； 爸爸说：“我知道你不知道，”表明具有这个花色的所有牌的点数至少出现了两次，因为如果 具有这种花色的牌里，某张牌的点子在16张里只有一个，那么妈妈就有知道的可能。所以， 这张牌不可能是黑桃或是梅花，即这张牌必在红桃A、Q、4与方块A、5之中；妈妈说现在 知道了，显然不是A；爸爸接着说我也知道了，那就只能是方块5,因为如果是红桃，还是 无法判断。例 2有红、黄、蓝三个盒子，两个盒子是空的，一个盒子放了乒乓球。每个盒子盖子 上都写了一句话：红盒上写着 “乒乓球不在这里”；黄盒上写着 “乒乓球不在这里”；蓝盒上写着 “乒乓球在红盒里”；不过，其中只有一句

6、话是真的，想一想，乒乓球究竟在哪个盒子里？例 3在一次数学竞赛中， A、 B、 C、 D、 E 五位同学分别得了前五名(没有并列同一 名次的)。关于各人的名次，大家作出了如下猜测：A说：“第二名是D,第三名是B。” B说：“第二名是C,第四名是E。” C说：“第一名是E,第五名是A。” D说：“第三名是C,第四名是A。” E说：“第二名是B,第五名是D。”可是，每人都只猜对了一半。研究一下，他们的名次如何？12ABCDE345练习：(1)李、张、王三位体育教练，每人都指导下列三名运动员中的一名：小孙、小钱、小赵。每位教练都比自己的学生大13岁。已知张教练比小孙大9岁，张教练与小钱的年龄和是50

7、岁。王教练与小钱的年龄和是54岁。李教练指导的运动员是。（2）张明、王辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师。已知（1）张明不在北京工作，王辉不在上海工作；（2）在北京工作的不是教师；（3）在上海工作的是工人；（4）王辉不是农民。问这三人各住哪里？各是什么职业？例4有10道判断题（在后面打丁或X）,每题10分。小红、小强和小明每人得了 70 分，每人的判断如下表：12345678910小明XVVVXVXXVX小红XXVVVXVVXX小强VXVXVVVXVV求各题的正确答案。练习：某次知识竞赛，共有6道题，均是判断题。正确的画“丁”错误的画“X”。每题答 对的得2分，不答的

8、得1分，打错的得0分，甲、乙、丙、丁的答案如下表所示，丁得了多 少分？题号 学生、123456得分甲VVVVV7乙XVXXX9丙XXXVX7丁VXXVVX?提示：法一：甲、乙有3题的答案不同，甲、乙答错的3道题只能是（3）、（4）、（6）三道 题，由此得到另三道题的正确答案。法二：甲有一道题错了，分别假设，如假设第一题错了例 5 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球、羽毛球、跳绳和踢毽子比赛。结果每人都得了一个 第一，一个第二，一个第三和一个第四，并且（1）甲得了乒乓球冠军；（2）乙得了羽毛球亚军；（3）丙得了跳绳第三名；（4）丁有三个项目的名次都在丙后面。 请问：四个项目的第一名各由谁获得？解：列表

9、分析如下：名、项运动员-X乒乓球羽毛球跳绳踢毽子甲八1324乙4213丙2431丁3142 丁有三个项目的名次都在丙后面，指的是丙得第1、2、3名的那几个项目，丁在这些 项目上分别是第2、 3、 4名。根据丙跳绳得第3名可知：丁跳绳得第4名； 由跳绳这一列，易知甲跳绳第2名，乙跳绳第1名； 丙不是乒乓球和跳绳第1 名，也不是羽毛球第1 名，（否则丁得羽毛球第2名，与乙 得第2名矛盾）。所以丙只能是踢毽子第1名； 从而得到丙是乒乓球第2名，羽毛球第4名； 所以丁的各项名次易得； 其它不难推出，结果如上表。练习：（2） A、B、C、D、E五人进行乒乓球单循环赛。结果是：A胜3场；E胜1场；B、C、

10、D各胜了 2场，且有1人胜了其他两人；A、C、D、E四人之间均有胜有负;C胜E。那么，实际结果是A胜 胜；E胜。解：用关系图记下推理的结论，并把关系图作为后面进一步推理的前提。1)A胜了3场a A负1场 假设A负于BA胜C,D,E（和矛盾），2)因此，A胜Bo设胜胜冷敢于宀和矛盾）；C胜,(6)(4)D因此，E负于BoB,C,D中有一人胜其他二人二这人负干E（3）B,C,D各胜2场i这人负于二已负于AE只胜1场(4) C胜Eo(5) E胜1场a E胜Do6)a D胜B,C n这人不可能是B,C n这个人是DB, C,D只有一人胜了其他二人B,C,D各胜2场C胜ABS各胜2场nd负于A例6.下面

11、的六道算式乍看莫名其妙：8+7=62；5+3=5 ；12+8=23 ；50+9=54； 11X1=55 ；0 9=1。实际上，这些算式中的数字均为密码，分别代表09中的不同数字，只是错位而已。请你破译这组密码，算式中的数字实际上分别代表什么数字？练习：已知A, B, C, D, E，F, G, H，I, J分别代表09中的不同的数字，且满足:(1) D + I x J = F ； (2) E x E = HE ； (3) C 十 J = G ； (4) H x H x x H 二 B o vJ个H试求A + c的值。解：由(3)知，有下列可能:62=3, 6宁3=2, 8宁2=4, 8宁4=2

12、。无论哪种情况都有J=2或G=2, J、G以外的其它字母都不是2.HM2由(2)知，只可能是算式6X6=36o.E=6, H=3。由(4)知，只可能是算式3X3=9o.J=2, B=9o至此，由(3)只可能是算式8宁2=4o. c=8,G=4o此时，还剩下数字0, 1, 5, 7。唯有算式5+1X2=7符合(1)式。.D=5, I=1, F=7o. A=0o. A+ c=0+ 8=8o解题思路可用下面的推理图表示：B = 9Hj 二 2（3）n 2 g J,H 丰 21H = 3（2）| E = 6 n C 主 6A,D,I,F： bl,5,7*iI : 1n n A : 0 n A + C

13、: 8.(2)若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个 盒子没有装棋子，然后他外出了。小光从每个有棋子的盒子里各拿一个旗子放在空盒内，再 把盒子重新排一下。小明回来仔细看了一番，没能发现有人动过盒子和棋子，问共有多少盒 子？（3）海盗的故事现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题 他们是由投票来解 决的。投票的规则如下：先由最凶猛的海盗（老大）来提出分配方案，然后大家一人一票表 决，如果有 50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于 50%的海盗 同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼，然后由剩下的海盗中最凶猛的

14、那个 海盗（老二）提出方案，依此类推。我们先要对海盗们作一些假设。1）每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也就是说，每个海盗 都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好， 而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。2）一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。3）每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。4）每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。5）每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1 枚金币，而 下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这

15、个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。6）最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下， 他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。现在，如果有10 个海盗要分100 枚金币，将会怎样？改变一下规则，投票中方案必须得到超过 50%的票数（只得到 50%票数的方案的提出 者也会被丢到海里去喂鱼），那么如何解决10 个海盗分100枚金币的问题？现在，如果有10 个海盗要分100 枚金币，将会怎样？要解决这类问题，我们总是从最后的情形向后推，这样我们就知道在最后这一步中什么 是好的和坏的决定。然后运用这个知识，我们就可以得到最后第二步应该作怎样的决定，

16、等 等。要是直接就从开始入手解决问题，我们就很容易被这样的问题挡住去路：“要是我作这 样的决定，下面一个海盗会怎么做？”以这个思路，先考虑只有2 个海盗的情况（所有其他的海盗都已经被丢到海里去喂鱼 了）。记他们为P1和P2,其中P2比较凶猛。P2的最佳方案当然是：他自己得100枚金币， P1 得 0 枚。投票时他自己的一票就足够50%了。往前推一步。现在加一个更凶猛的海盗P3。P1知道P3知道他知道如果P3的 方案被否决了，游戏就会只由P1和P2来继续，而P1就一枚金币也得不到。所以P3知道， 只要给P1 一点点甜头，P1就会同意他的方案（当然，如果不给P1 一点甜头，反正什么也 得不到，P1

17、宁可投票让P3去喂鱼）。所以P3的最佳方案是：P1得1 枚, P2什么也得不到， P3 得 99 枚。P4的情况差不多。他只要得两票就可以了，给P2枚金币就可以让他投票赞同这个方 案，因为在接下来P3的方案中P2什么也得不到。P5也是相同的推理方法只不过他要说服 他的两个同伴，于是他给每一个在P4方案中什么也得不到的P1和P3 一枚金币，自己留下 98 枚。依此类推，P10的最佳方案是：他自己得96枚，给每一个在P9方案中什么也得不到的P2，P4，P6 和 P8 一枚金币。下面是以上推理的一个表（Y表示同意，N表示反对）：P1P20100NYP1P2P31099YNYP1P2P3P401099

18、NYNYP1P2P3P4P5101098YNYNYP1P2P3P4P5P6 P7 P8 P9 P1001010101096NYNYNYNYNY现在我们将海盗分金问题推广： 1） 改变一下规则，投票中方案必须得到超过50% 的票数（只得到50%票数的方案的提出者也会被丢到海里去喂鱼），那么如何解决10个海 盗分100枚金币的问题？2）不改变规则，如果让500个海盗分100枚金币，会发生什么？3）如果每个海盗都有1 枚金币的储蓄，他可以把这枚金币用在分配方案中，如果他被 丢到海里去喂鱼，那么他的储蓄将被并在要分配的金币堆中，这时候又怎样？通过对规则的细小改变，海盗分金问题可以有许多变化，但是最有趣

19、的大概是1）和 2） （规则仍为 50%票数即可）的情况，本帖只对这两种情况进行讨论。首先考虑1）。现在只有P1和P2的情形变得对P2其糟无比：1票是不够的，可是就算 他把100枚金币都给P1，P1也照样会把他丢到海里去。可是P2很关键，因为如果P3进行 分配方案的话，即使他一枚金币也不给P2, P2也会同意，这样一来P3就有P2这张铁票！ P3的最佳方案就是：独吞100枚金币。P4要3张票，而P3是一定反对他的，而如果不给P2 一点甜头，P2也会反对，因为P2 可以在P3的方案中得救，目前为什么不把P4丢到海里呢？所以要分别给P1和P2 一枚金币， 这样P4就有包括他自己1票的3票。P4的方

20、案为：P1，P2每人1枚金币，他自己98枚。P5的情况要复杂点，他也要3票。P4是会反对他的，所以不用给，给P3枚金币就能 使他支持自己的方案，因为在接下来的P4方案中他什么也得不到。问题是P1和P2：只要 其中有一个支持就可以了。可是只给1枚金币是不行的，P4方案中他们一定有1枚金币可 得，所以只要在他们中随便选一个，给2枚金币，另一个就对不起了，不给。这样P5的方 案是：自己97 枚, P3得1 枚, P1或P2得2枚。P6的方案建立在P5的上面，只要给每个P5方案中不得益的海盗1枚金币。要注意的 是, P1和P2都应该看作在P5方案中不得益的：他们可能得2枚，可是也可能1枚不得， 所以只

21、要P6给他们1枚金币，根据“二鸟在林，不如一鸟在手“的原则，就可以让他们支 持P6的方案。所以P6的方案是唯一的：P1，P2, P4每人1 枚金币， P6 自己拿 97 枚。这样继续下去，P9的方案是：P3, P5, P7每人1枚金币，然后在P1，P2, P4, P6中任 选一人给2枚金币，P9自己得95枚。最后，P10的方案是唯一的：P1, P2, P4, P6, P8每 人 1 枚金币， P10 自己得 95 枚。2）是最有趣的（提醒：我们回到50%票即可的规则）。原题解中的推理过程直到200个 海盗都是成立的：P200给每个偶数号的海盗1枚金币，包括他自己，其他海盗什么也得不 到。从P2

22、01开始，继续推理就变得有点困难了： P201为了不被丢到海里去，必须什么也不 留给自己，而给从P1到P199中所有奇数号海盗每人1枚金币，从而争取到100票，加上他 自己1票，逃过一劫。P202也什么都得不到，他必须用这100枚金币买通100个从P201的 方案中什么也得不到的海盗，要注意到现在这个方案不是唯一的： P201 的方案中得不到金 币的海盗是所有奇数号的海盗，有101个（包括P201），所以有101种方案。P203必须得到102票，除了自己的1票外，他只有100枚金币，所以只能买到100票， 所以可怜的家伙就被丢到海里喂鱼了。但是，P203是个很重要的角色，因为P204知道如果

23、自己的方案不被通过，P203也一样会完蛋，所以他有P203的一张铁票。所以P204可以大 出一口气：他自己一票，加上P203 一票，然后加上用100枚金币买的确100票，他就得救 了！ 100个有幸得到1枚金币的海盗，可以是P1到P202中任何100个：因为其中的偶数号 的从P202的方案中什么也得不到，如果P204给他们中某个海盗1枚金币，这个海盗一定会 赞同这个方案；而编号为奇数的海盗呢，只是有可能从P202的方案中得益罢了（可能性为 100/101），所以根据“二鸟在林，不如一鸟在手“的原则，如果能得到1 枚金币，他也会 赞同这个方案。接下去P205是不能把希望放在P203和P204这两

24、张票上的，因为就算他被丢到海里去， P203和P204还可以通过P204的方案机会活下来。P206虽然可以靠P205的铁票，加上自己 1票和100枚金币搞到的100票，只有102票，所以他也被丢到海里喂鱼P207好不了多少， 他需要104票，而他自己以及P205和P206的 铁票加上100枚金币搞到的100票只有103票只好下海。P208运气比较好，他同样也要104 票,可是P205, P206, P207都会投票赞成他的方案! 加上他自己的1 票和买来的100票，他终于逃脱了做鱼食的命运。这样我们就有了一种可以一直推下去的新逻辑。海盗可以什么也不留给自己，买上100 票，然后依靠一部分一定会

25、被丢下海的海盗的铁票，从而让自己的方案通过。有这样运气的 海盗分别是 P201, P202, P204, P208, P216, P232, P264, P328 和 P456我们看到这样 的号码是200加上一个2的次幂。哪些海盗是受益者呢,显然铁票是不用（不能）给金币的。所以只有上一个幸运号码及 他以前的那些海盗才有可能得到1枚金币。于是我们得到500海盗分100枚金币的结论是： 前44个最凶猛的海盗被丢进海里，然后P456给P1到P328中的100个海盗每人1枚金币。课后习题：1尼尔斯来到一个小岛上,这里不论是谁,每星期都有几天说真话,有几天说假话。 一天,尼尔斯遇到狐狸和狼,狐狸说：“每

26、星期一、二、三是我说谎的日子。”而狼说：“每 星期四、五、六是我说谎的日子,而刚才狐狸说的是假话!”三天后,尼尔斯又遇到它们, 他已经知道这天狐狸说的是真话,这天狼说的是真话还是假话？若尼尔斯再次遇到狐狸时是星期四,这天狐狸说的是真话.因此狐狸每星期一、二、三说 谎,那么尼尔斯初次遇到狐狸时,狐狸说的是真话,但那么是星期一,狐狸应该说谎话,产生矛盾. 故尼尔斯再次遇到狐狸时不是星期四,同样也不应是星期五,星期六. 若尼尔斯再次遇到狐狸时是星期日 ,这天狐狸说的是真话,三天前是星期四,狐狸说的也应是 真话.因此狼说的应该是谎话,但狼说它自己每星期四说谎却成了真话,这不可能.故尼尔斯再 次遇到狐狸

27、不是星期日,同样可说明这天也不是星期一和星期二.因此,尼尔斯再次遇到狐狸时必定是星期三,狐狸说的是真话,初次遇到狐狸是星期日,狐 狸说的是谎话,当时狼说的是真话,即狼每星期四、五、六说谎.假如狼说真话,那一开始就只能是星期一、二、三,（也就是说狼说“狐狸说假话”这 句话是对的）,而星期一二三又是狐狸说真话的日子,自相矛盾,所以狼才是说谎的。那过了三天,狼就是说真话了。2. 个村子里，有50户人家，每家都养了一条狗。现在，发现村子里面出现了 n只疯狗,村里规定,谁要是发现了自己的狗是疯狗,就要将自己的狗枪毙。但问题是,村子里面 的人只能看出别人家的狗是不是疯狗,而不能看出自己的狗是不是疯的,如果

28、看出别人家的 狗是疯狗,也不能告诉别人。于是大家开始观察,第一天晚上,没有枪声,第二天晚上,没 有枪声,第三天晚上,枪声响起（具体几枪不清楚）,问村子里有几只疯狗？只有晚上才能 看出病狗，并且一天晚上只能看一次。答案：3条！ 推理过程：A、假设有1 条病狗,病狗的主人会看到其他狗都没有病,那么就知道自己的狗有病,所以第一天晚上 就会有枪响。因为没有枪响，说明病狗数大于1。B、假设有2条病狗，病狗的主人会看到有1条病狗，因为第一天没有听到枪响，是病狗数大于1，所以病狗的主人会知道自己 的狗是病狗，因而第二天会有枪响。既然第二天也没有枪响，说明病狗数大于 2。 由 此推理，如果第三天枪响，则有3条

29、病狗。3. 老师拿出5顶帽子给自己的四位学生看，其中2顶是黑帽子， 1顶蓝帽子， 1顶黄帽 子， 1 顶红帽子。接着，四人按甲、乙、丙、丁的顺序前后依次坐好，闭上眼睛后，老师替 每人戴上 1 顶帽子，剩下的 1 顶帽子也藏了起来，最后，才师让他们张开眼睛，只能朝前看， 判断自己头上戴的帽子是什么颜色。结果，排在后面的乙、丙、丁看了看，想了想，都摇头 说猜不出。这时最前面的甲却发话了，他正确地猜到自己头上戴的是黑帽子。甲是如何判断 的呢？总结：逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错，如何从较繁杂的条件中选 准突破口，层层分析，一步步向结论靠近，这是解决问题的关键。解决这类问题常采用比较法、图解法、列表法、假设法、排除法等方法，解题时要从众 多条件中清理出头绪，选择突破口，限制搜索范围，使条件条理化、图形化、表格化，然后 再根据题目的条件用逻辑推理的方法，不断地否定和排除不可能存在的情况，从而得出正确 的结论。作业：1.英国、法国、德国和巴西4 个国家的足球队进行友谊赛，每两队赛一场。每场 比赛胜方得3分，负方得0 分，平局各得1分，已知：（1）这 4只球队三场比赛的总得分为4 个连续奇数；（2）法国队总分第一；（3）德国队有两场同对方踢平，其中一场的对手是英国。 问：总分排在第四的是哪只球队？2. P248 8课后反思：