例1变速直线运动的速度

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1、例例1.1.变速直线运动的速度物体作匀速直线运动时,有，时间路程速度TSV 即这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.由于匀速运动物.VV 体的速度是不变的，因此4 41 1导数的概念导数的概念一、导数概念的引一、导数概念的引入入 由于变速直线运动物体的速度 V(t)是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)?设一物体作变速直线运动，在0,t这段时间内所走路程为 S=S(t).下求V(t0)如图SS(t0)S(t0+t)0 设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t

2、)，从而，物体在 t0,t0+t 这段时间内所走路程为S =S(t0+t)S(t0)物体在 t0,t0+t 这段时间内的平均速度为tSV.)(0tSVtV t越小，近似值tS就越接近精确值V(t0).当t无限变小时，近似值tS就会无限接近也就是tStVt00lim)(精确值V(t0).ttSttSt)()(lim000例例2.2.曲线的切线斜率圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言.这一定义是不合适的.如y=x2,x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图y=x20 xy又如，y=x3,如图又比如，y=sinx,如图.sin12sin1 有无

3、穷多交点与曲线切线，但处的在作为从直观上看，应以xyyxyy0 xy=x3y0 xyy=sinx112切线的一般定义：如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN 下面讨论曲线C：y=f(x),在点M(x0,y0)处的切线斜率问题.设N的坐标为(x0+x,y0+y),割线MN的倾角为,切线MT的倾角为.如图Ty=f(x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0P割线 MN 的斜率tgk当x0 时,N 沿 C 趋于M,MN MT.从而.因此,tgtg.Ty=f(x

4、)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0 xxfxxf)()(00MPNPxyPTy=f(x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0所以切线MT的斜率：tgkxxfxxfx)()(lim000 xyx0limtglim 0 xP定义：定义：设 y=f(x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义.如果当x0时，xxfxxfxfx)()(lim)(0000 xxfxxfxy)()(00的极限存在,则称这个极限值为f(x)在x0处的导数，记作f (x0),即.d)(ddd ,000 xxxxxxxxfxyy或也可记为二、导数的定二、导数的定义义xxfxxfx)()(lim000存在，则称f(x)在x

5、0可导(或称f(x)在 x0 的导数存在).否则，称f(x)在x0不可导(或称 f(x)在 x0的导数不存在).特别，不可导若)()()(lim000 xxfxxfx.)(0为无穷大的导数在也称xxf注注1.1.若;)()(lim)(0000hxfhxfxfh若记x=x0+x,当x0时,x x0,;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx特别，取x0=0,且若 f(0)=0,有.)(lim)0(0 xxffx注注2.2.导数定义还有其他等价形式,注注3.3.对于例1,有0dd)()(00tttStStV对于例2,曲线y=f(x)在点 M(x0,f(x0)处切线斜率.dd)(00 xxx

6、yxfk注注4.4.由于xxfxxfxfx)()(lim)(0000,)()(lim)(0000 xxfxxfxfx记称为 f(x)在x0的右导数.,)()(lim)(0000 xxfxxfxfx记称为 f(x)在x0的左导数.有,f(x)在x0可导 f(x)在x0的左,右导数存在且相等.注注5.5.若 y=f(x)在(a,b)内每点可导，则称 f(x)在(a,b)内可导.此时，x(a,b)都有唯一确定的值f(x)与之对应，所以导数是x的函数.称为y=f(x)的导函数,.d)(d ,dd ,),(xxfxyyxf 记作按定义，).,()()(lim)(0baxxxfxxfxfx，f (x)就是

7、x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.而f(x0)就是f(x)在x=x0处的函数值，即0)()()(lim)(0000 xxxxfxxfxxfxf另外，求是不变的，时，xxxfxxfx)()(lim0.x看作常量，变的是注注6.6.,)()()(,),()(上可导在则称存在，和且内可导在若baxfbfafbaxfy用定义求导数一般可分三步进行.设y=f(x)在点x处可导(1)求y=f(x+x)f(x)(2)求比值xxfxxfxy)()(3)求极限).()()(limlim00 xfxxfxxfxyxx三、求导举三、求导举例例例例3.3.求 y=C(常数)的导数.解：解：(1)y=f(x

8、+x)f(x)=C C=0(2)0 xy(3).0lim0 xyx故(C)=0,即常数的导数为0.例例4.4.设 y=f(x)=xn.n为正整数，求f(x).解：解：(1)y=f(x+x)f(x)nnnnnnnnnnnxxCxxCxxCxxCx)()()(33322211nnnnnnnnnxCxxCxxCxxC)()()(33322211=(x+x)n xn(2)12332211)()()(nnnnnnnnnxCxxCxxCxCxy(3).lim)(1110nnnxnxxCxyxf即 (xn)=nx n 1比如，(x)=1,(x2)=2x,(x3)=3x2,一般，对幂函数y=x,为实数有 (x

9、)=x1比如,1)1(2xx,2)(32xx ,3)(43xx,2121)(21xxx ,31)(3231xx例例5.5.求y=sinx的导数.解：解：(1)y=sin(x+x)sinx(2)xxxxxy2sin)2cos(2(3)22sin)2cos(lim0 xxxxyx2sin22cos2xxxxxcos1cos即即(sinx)=cosx类似类似 (cosx)=sinx例例6.6.求y=ax的导数，其中a0,a1.解：解：)1(xxxxxaaaay从而xaayxxx1lim0 xaxaxxlnlim0 xaaxxx1elimln0.lnaax即即 (ax)=axlna特别，取特别，取a=

10、e,则则 (ex)=ex例例7.7.求y=logax 的导数，其中a0,a1,x0,并求y|x=1.解：解：xyyx0limxxxxaaxlog)(loglim0 xxxax)1(loglim0axxxxln1)1ln(lim0 xxxax0limln1axln1即axxaln1)(log特别，取a=e,则xx1)(ln从而.ln1ln111aaxyxx由例2知,函数y=f(x)在x0处的导数 f(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线的斜率，即 k=f(x0).)()(000 xxxfxfy法线方程为).0)(),()(1)(0000 xfxxxfxfy一般,若f(x0)存

11、在,则y=f(x)在点M(x0,f(x0)处切线方程为四、导数的几何意四、导数的几何意义义特别，(i)当f(x0)=0时，即k=0.从而切线平行于x轴.因此，法线垂直于x轴.如图切线方程：y=f(x0).法线方程：x=x0.y=f(x)0 xyMf(x0)x0(2)当f(x0)=(不存在).即k=tg=.故2从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.切线方程：x=x0.法线方程：y=f(x0).如图,单位圆在(1,0)处切线方程:x=1.法线方程:y=0.0 xy11又如图由于在原点(0,0)处,xy032xy xfxffx)0()(lim)0(0 xxfx)(lim0 xxx320lim(不存在

12、)从而切线方程:x=0,法线方程:y=0.例例8.8.求过点(2,0)且与曲线y=ex相切的直线方程.解：解：由于点(2,0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式 y f(x0)=f(x0)(x x0).由于(ex)=ex,处切线方程为故点),(00 xex).(000 xxeeyxx因切线过点(2,0),代入,得)2(000 xeexx得x0=3.所求切线为y e3=e3(x3)定理定理.若y=f(x)在 x0可导，则y=f(x)在 x0必连续.证：证：因f(x)在 x0可导，即.)(lim00存在xfxyx五、可导与连续的关五、可导与连续的关系系由极限与无穷小量的关系，有).0(0.)(0

13、时当，其中xxfxy或.)(0 xxxfy故.0)(limlim000 xxxfyxx 定理的逆命题不成立，即,若y=f(x)在x0连续，y=f(x)在x0不一定可导.0032不可导连续，但在在如xxxy例例.讨论f(x)=|x|在 x=0 处的可导性和连续性.解：解：由于)0(0|lim)(lim00fxxfxx故|x|在x=0连续.但|x|在x=0不可导.因f(x)=|x|=x,x0 x,x0,实数)的导数解：解：y=e lnx)(ln xey)ln(ln xexxx1 1x例例11.11.求y=sinnxsinnx的导数，n为常数.解：解：)sin(sin xnxyn)(sinsinsi

14、n)(sin xnxxnxnn)(sinsinsin)(cossin1xxnnxnxnxxnnxxnxnnxxnnncossinsincossin1)cossincos(sinsin1xnxnxxxnnxnxnn)1sin(sin1定理定理3.3.若x=(y)在某区间Iy内严格单调,可导,(y)0,则它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导,且)(1)(yxf证：证：由于x=(y)在Iy内严格单调、连续.从而它的反函数y=f(x)存在,并在Ix内有相同的单调性,同时,y=f(x)在Ix内连续.)(1)(yxf即yxxyyx00lim1lim下证三、反函数求导法三、反函数求导法则则xIx,给

15、改变量x0,相应的函数y=f(x)有改变量0)()(xfxxfy由于 x=(y)和 y=f(x)互为反函数，)()(yxxfy故)()(，yyxxxxfyy由从而即，)()(yyyx即x也就是函数x=(y)的改变量.yxxy1 有因y=f(x)连续，故当x0时，y0，且(y)0 xyxyx0lim)(故yxy0lim1)(1yyxxydd1dd 或例例11.11.证明)11(11)sin arc(2xxx证：证：y=arc sinx是x=siny的反函数.x=siny在)2,2(内单调，可导，且(siny)=cosy 0,)2,2(y所以在对应区间(1,1)内，有)(sin1)(arcsiny

16、xycos1y2sin11211x)11(11)(arccos 2xxx类似例例12.12.证明211)tgarc(xx证：证：y=arc tgx是x=tg y在)2,2(上的反函数x=tg y在)2,2(内单调，可导，且.0sec)tg(2yy)tg(1)tg(arc yx从而y2sec1y2tg11211x211)arcctg(xx类似例例13.13.设yaxaaaxy求,0,arccos22解：解：)cos arc()(22xaaaxy)()(11)2(212222xaxaaxax2222221|xaxxaaxx=,2222axxax,2222axxax当 x 0且|x|a时当x a 时

17、=axxax ,22axaxxax ,2222四、导数公式表四、导数公式表说明：说明：公式12xx1)|(ln(1)当 x 0时，xxx1)(ln)|(ln(2)当 x 0时，0|xx)(ln()|(lnxxxxx1)(1综合(1)、(2)有)0(1)|(lnxxx公式17因为xxch)sh()2()sh(xxeex)()(21xxee)1()(21xxee类似得公式18xeexxch2例例14.14.)1ln(arch ),1ln(arsh 22的导数求xxxyxxxy)1ln(2xxy12211122xxxx,112x.11)arsh(2xx即.11)arch(,2xx同理解解:例例15.

18、15.设sinx,x 0ex1,0 x ln32x2,ln3 x求 f(x)的导数,并指出 f(x)的不可导点.解解:当 x 0时,f (x)=(sinx)=cosx.当 0 x ln3时,f (x)=(ex1)=ex.当 ln3 x时,f (x)=(2x2)=4x.f(x)=考虑分段点 x=0,ln3处的导数.xfxffx)0()0(lim)0(0 xfxfx)0()(lim0 xxxsinlim0=1 (当x 0时,f(x)=sinx)xfxffx)0()0(lim)0(0 xexx1lim0=1(当 0 x ln3时,f(x)=ex1)由于 f (0)=f+(0)=1,故 f(0)=1.

19、由于当 0 x ln3时,f(x)=ex1.当 ln3 x时,f(x)=2x2.故 f(ln3)=eln31=2.从而xfxffx)3(ln)3(lnlim)3(ln0 xxx2)3(ln2lim20所以 f(x)=ln3 处不可导.综合,f (x)=cosx,x01,x=0ex,0 x ln34x,ln3 0在(,+)内可导.解解:由于可导必连续,故要使 f(x)可导,必先使 f(x)连续.由于 f(0)=3.3)3(lim)0()(lim)0(00axxaxfxffxx.22)(lim)0()(lim)0(200 xxxxfxffxx故 a=2,b=3时,f(x)在(,+)可导.,3)(l

20、im0 xfx.)(lim0bxfx得 b=3.f(x)=以前所接触到的函数通常是y=f(x)的形式,即左边是y,而右边是一个不含y的表达式.如xeyxxyxtg ,sinln1我们称为显函数根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现.五、隐函数求导法五、隐函数求导法则则比如，给二元方程 y3+2x21=0任给一个x，都可根据上面的方程，解出唯一的一个y来即，任给一个x都有唯一的一个y与之对应，因此,y是x的函数.称y为由方程y3+2x21=0所确定的隐函数.定义：定义：设有二元方程F(x,y)=0，如果对任意的 xIx,存在唯一的y满足方程F(x,y)=0,则称方程F(x,y)=0在

21、Ix上确定了一个隐函数y=y(x).有些隐函数很容易表成显函数的形式.如，由y3+2x21=0，解得.2132xy把一个隐函数化为显函数的形式，称为隐函数的显化.有些隐函数不一定能显化或者很难显化.如 yx siny=0 (0 0,x 0 xxyln1sinln两边对x求导,注意到y是x的函数,从而lny是x的复合对数.xxxxxyy1sin1211cos)(ln1从而xxxxxyy121cosln1sinxxxxxxx121cosln1sin1sin解解(二二)：xxy1sin xxeln1sinxxxxxeyxx121cosln1sin ln1sinxxxxxxx121cosln1sin1

22、sin由于对y=f(x)两端取对数时要求y 0.这限制了对数求导法的应用范围.应想办法去掉这种限制.两边取绝对值,再取对数.|)(|ln|)(|ln|)()(|ln|lnxgxfxgxfy设y=f(x)g(x).其中f(x),g(x)均非0且在点x处可导。(i)当y 0时,yyyyxx1)(ln)|(ln(ii)当y 0时,yyyyyyxx1)(1)(ln()|(lnyyyyx1)|(ln,0,有时当即同理,当f(x),g(x)不等于0时,)()(1)|)(|(ln ),()(1)|)(|(lnxgxgxgxfxfxf.|)(|ln|)(|ln|ln 两边求导从而对xgxfy得)()(1)()

23、(11xgxgxfxfyy即)()(1)()(1xgxgxfxfyy注意注意:对数求导法只能求使y0的x处的导数.若要求使y=0的x处的导数,则须另想办法.例例23.23.)100()2)(1(1002的导数求xxxy解解:可用对数求导法求导数.|)100()2)(1(|ln21ln1002xxxy|100|ln|2|ln|1|ln211002xxx两边对x求导,y是x的函数.1001002211211100992xxxxxyy故100100221121100992xxxxxyy例例20.20.).0(,)()2)(1()()2)(1()(fnnxxxnxxxxxfy求自然数为其中设解解:由于f(0)=0.不能用对数求导法.)0(f xfxfx)0()(lim0 xnxxxnxxxxx1)()2)(1()()2)(1(lim0)()2)(1()()2)(1(lim0nxxxnxxxxnnnn)1(!)1(