数学建模二次章节程

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1、数学建模第二次课程 目的：目的：介绍一些简单的数学建模问题；介绍数学建模的一般思想和思路；介绍简单的初等数学模型；增加大家对数学建模的兴趣；为今后参加数学建模竞赛打下良好的基础；初等模型介绍初等模型介绍2.1 公平的席位分配公平的席位分配2.2 录像机计数器的用途录像机计数器的用途2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离汽车刹车距离2.5 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.1 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 1

2、00.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结

3、果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1

4、B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有

5、已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对，即对A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义，定义1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应

6、计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B当当 rB(n1+1,n2)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不同不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离

7、离制制动动距距离离常数常数假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;vtd11F d2=m v2/2F m21kvvtdt1为反应时间为反应时间21ddd且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比22kvd 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k21kvv

8、td模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒准秒准

9、则则”22106.075.0vvkvvtd模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）12342.5 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t(分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73

10、 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b(米米)(米米)l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg)浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n 基本不变基本不变问题分析问题

11、分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正比成正比2）

12、阻力）阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重空艇重 w0,阻力阻力 f,浆手数浆手数 n,浆手功率浆手功率 p,浆手体重浆手体重 w,艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11.021.7ntnbatloglog最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/9 进行检验进行检验tn12487.216.886.325.84与模型巧合！与模型巧合！