金融经济学第六讲

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1、金融经济学第六章上海财经大学金融学院第六章 离散时间套利定价理论v6.1 无套利机会与等价鞅（一个例子）无套利机会与等价鞅（一个例子）v Harris&Kreps(1979)Harris&Kreps(1979)等发现，如果一个价格系统不存在等发现，如果一个价格系统不存在套利机会，那么该系统存在一个等价鞅测度，利用鞅测度，套利机会，那么该系统存在一个等价鞅测度，利用鞅测度，我们可以非常方便地定价各种衍生产品的价格。我们可以非常方便地定价各种衍生产品的价格。v 考虑两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。考虑两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。v例例1 1：考虑一个两期模型，假定第一期

2、标的资产价格为：考虑一个两期模型，假定第一期标的资产价格为S=35S=35，期权的执行期权的执行价格为价格为X=35X=35，连续复利无风险利率为连续复利无风险利率为9.531%9.531%，因此，因此 ，成熟期为一期。假定资产价格或者上升成熟期为一期。假定资产价格或者上升25%25%，或者下跌，或者下跌25%25%，即上升后价，即上升后价格为格为Su=43.75Su=43.75，下降后价格为下降后价格为SdSd=26.25=26.25，其资产价格变化如下图其资产价格变化如下图6.16.1所示。所示。由此一个看涨期权的回报如图由此一个看涨期权的回报如图6.26.2所示。所示。1.1)(tTre

3、R第六章 离散时间套利定价理论v（图（图6.1）：一期资产价格树）：一期资产价格树 （图（图6.2）：一期看涨期权价格树）：一期看涨期权价格树 第六章 离散时间套利定价理论v 构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套期保值，构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出售从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出售H份标的在该资产份标的在该资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为S-Hc，完全完全套期保值后的回报都是套期保值后的回报都是26.25，其回报过

4、程可以用图，其回报过程可以用图6.3来刻画。来刻画。v（图（图6.3）：一期的无风险投资组合树）：一期的无风险投资组合树 第六章 离散时间套利定价理论v1、出售的期权份额出售的期权份额H：v因为完全套期保值后成熟时的回报相同，因此我们有：因为完全套期保值后成熟时的回报相同，因此我们有：v ，v因此我们可以求解出因此我们可以求解出H：v ；v将相关数值代入，得将相关数值代入，得H=2。v2、无套利机会时的期权价格：无套利机会时的期权价格：v 因为无套利机会存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上因为无套利机会存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回报率，因此我们有：的回报率，因此我们

5、有：v整理得：整理得：v ；v此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨-看跌平价关看跌平价关系得到。系得到。25.26duHcSdHcSuduccSdSuHuHcSuHcSR)(RduRucdudRcHRHcuRScduu/)(第六章 离散时间套利定价理论v3、等价鞅测度：等价鞅测度：v事实上我们可以将上式改写为：事实上我们可以将上式改写为：v ，v其中其中 相当于一个概率，称为一个等价鞅测度。在该测度下，相当于一个概率，称为一个等价鞅测度。在该测度下，期权价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关。期权价格等于未来受益的期

6、望贴现，与个体偏好等因素无关。v注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概率。注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概率。11)1(RcRccdududR第六章 离散时间套利定价理论v例例2：考虑一个四期的期权定价例子。假定标的资产的价格：考虑一个四期的期权定价例子。假定标的资产的价格S=35，期权的期权的执行价格执行价格X=35，成熟期为一年。连续复利无风险利率为成熟期为一年。连续复利无风险利率为9.525%，因，因此此 ；如果将一年分为四季，则有；如果将一年分为四季，则有v 。假定资产价格变化如下图。假定资产价格变化如下图6.4所所示。则示。则u=1.

7、10517，d=0.904837，R=1.024098，。由此我们由此我们可以求解各种欧式期权和美式期权的价格。可以求解各种欧式期权和美式期权的价格。v(1)在第在第0期开始时发行的、成熟期为期开始时发行的、成熟期为4、执行价格为、执行价格为35的欧式看涨期权价的欧式看涨期权价格，则个体只能在第格，则个体只能在第4期执行该期权，其价格可以表示为：期执行该期权，其价格可以表示为：v(2)计算在第一期当资产价格为计算在第一期当资产价格为38.68时发行的、第三期成熟的、操作价格时发行的、第三期成熟的、操作价格为为40的欧式看涨期权价格：的欧式看涨期权价格：v v以此类推。以此类推。09993.1)

8、(tTreR024098.125.009525.0)(eeRtTr59512.037.4)1/()(1(14)(0443344rXdSuXSuc222)1()68.38(02rXuc第六章 离散时间套利定价理论v（图（图6.4）：资产价格和期权收益树）：资产价格和期权收益树 第六章 离散时间套利定价理论v6.2 无套利机会与等价鞅测度无套利机会与等价鞅测度v一、一、模型的建立模型的建立v 考虑一个多期证券市场经济，考虑一个多期证券市场经济，t=0,1,T。假定在该经济中存在假定在该经济中存在I位位个体，个体，。为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂的消费品，。为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂

9、的消费品，并将这种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为并将这种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为1。v 信息结构：信息结构：v 假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间。假定经济假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间。假定经济中的信息是逐渐展示出来的，到中的信息是逐渐展示出来的，到T期个体才能知道真正的自然状态是中期个体才能知道真正的自然状态是中的哪一个。我们可以用一个事件树来刻画信息结构。的哪一个。我们可以用一个事件树来刻画信息结构。v定义：一个事件是定义：一个事件是 的一个子集。称两个事件不相交，如果这两个事的一个子集。称两个事件不相交，如果这两个事件的交集

10、是空集，即一个自然状态如果属于一个事件，它就不属于另一件的交集是空集，即一个自然状态如果属于一个事件，它就不属于另一个事件。个事件。Ii,.,2,1第六章 离散时间套利定价理论v定义：定义：的一个分割是一组事件的一个分割是一组事件 的集合，如果这些事件的集合，如果这些事件彼此不相交，且它们的并等于彼此不相交，且它们的并等于 。称一个给定分割要比另一个分割更。称一个给定分割要比另一个分割更精细，如果后一个分割的任一事件都是前一分割中事件的并。精细，如果后一个分割的任一事件都是前一分割中事件的并。,.,321AAA第六章 离散时间套利定价理论v 我们可以用我们可以用 来记个体被赋予的公共信息结构，

11、来记个体被赋予的公共信息结构，其中每一个其中每一个 都是都是 的一个分割，满足：的一个分割，满足：v 如果如果 ，则，则 比比 更精细；更精细；，v定义：一个随机过程是一个由时间定义：一个随机过程是一个由时间t标识的随机变量序列。标识的随机变量序列。v定义：称一个随机过程定义：称一个随机过程 关于关于 适应适应(adapted to )，如果对于任意的如果对于任意的t，关于关于 可测。可测。v定义：称一个随机过程定义：称一个随机过程 关于关于 可料的可料的(predictable to )，如果对于任意的如果对于任意的t，关于关于 可测。可测。v 资产结构：资产结构：v定义定义：一个时间事件或

12、有权益一个时间事件或有权益(time-event contingent claim)是一种证券，是一种证券，在交易日在交易日 、事件、事件 发生时支付一单位消费品，在其它时间和发生时支付一单位消费品，在其它时间和情形下没有支付。情形下没有支付。,.,1,0;TtFttFst tFsF0F|TF,.1,0|)(ttSS)(tStF,.1,0|)(ttSS)(tS1tF1tttFa 第六章 离散时间套利定价理论v定义：一个复杂证券是由时间定义：一个复杂证券是由时间0消费品和一族时间事件或有权益构成的消费品和一族时间事件或有权益构成的证券，它可以被表示为证券，它可以被表示为 ，其中，其中 和和 v分

13、别为以消费品衡量的时间分别为以消费品衡量的时间0和时间和时间t、事件事件 下的红利。下的红利。v定义：一个长生命证券定义：一个长生命证券(long-lived security)是一种在任意交易日都可以是一种在任意交易日都可以交易的复杂证券。交易的复杂证券。v假定经济中存在假定经济中存在N+1种长生命证券，种长生命证券，j=0,1,N。假定第假定第0种资产是面值种资产是面值为为1的的T期贴现债券，其红利流可以表示为：期贴现债券，其红利流可以表示为：v ，(6.2.1)v记第记第0种资产的除息价格过程为种资产的除息价格过程为 ，则有，则有 。v假定其它假定其它N种资产是风险资产，第种资产是风险资

14、产，第j种资产的随机红利流可以表示为：种资产的随机红利流可以表示为：v 。(6.2.2)v记第记第j种资产的除息价格过程为种资产的除息价格过程为 ，则有，则有 。,.,2,1,|,0TtFaxxxttat0 xtaxta1)(,.,0,000Txx,.,2,1,0|)(TttB0)(TB,.,2,1,0|)(Tttxxjj,.,2,1,0|)(TttSj0)(TSj第六章 离散时间套利定价理论v记记 ，。显然，。显然，、和和 关于关于 可测，因此红利过程、价格过程都关于可测，因此红利过程、价格过程都关于 适应。适应。v 个体行为：个体行为：v 假定每一位个体的偏好都具有假定每一位个体的偏好都具

15、有von Neuman-Morgenster期望效用表示，期望效用表示，假定个体效用函数假定个体效用函数 单调增、严格凹、充分光滑，假单调增、严格凹、充分光滑，假定定 。v 假定个体在各自然状态上被赋予的主观概率为：假定个体在各自然状态上被赋予的主观概率为：v 。v在该主观概率下，记在给定事件在该主观概率下，记在给定事件 下，事件下，事件 （）发生）发生的条件概率为的条件概率为 ，根据，根据Bayes公式，公式，可以表示为：可以表示为：v TNtStStS)(),.,()(1TNtxtxtX)(),.,()(1)(txj)(tB)(tSjtF)(tcuiit)(lim0zuitz|iittFa

16、 ssFa ts)(tiaas)(tiaaststsaiaitiaaaaaatss如果如果0)(第六章 离散时间套利定价理论v 假定个体都是理性预期的，所有个体都相信当前资产价格是自然状假定个体都是理性预期的，所有个体都相信当前资产价格是自然状态态 和时间和时间t的函数，即可以表示为的函数，即可以表示为 和和 。v 记个体被赋予的长生命证券的数量为：记个体被赋予的长生命证券的数量为：v 。v个体的交易策略是一个个体的交易策略是一个N+1N+1维的随机过程，可以简记为：维的随机过程，可以简记为：v ，v其中其中 和和 代表个体在代表个体在t-1t-1期交易发生后，到期交易发生后，到t t期交易发

17、生前所持有期交易发生前所持有的第的第0 0种资产和第种资产和第j j种资产的数量。由于种资产的数量。由于 和和 是在是在t-1t-1期被决定的，期被决定的，它们关于它们关于 可测，因此交易策略关于可测，因此交易策略关于 适应。个体的消费计划是一个适应。个体的消费计划是一个随机过程，可以简记为：随机过程，可以简记为：v 。v其中其中 是是t t期消费量。期消费量。),(tB),(tSj)0()0(),0(1NjjiiTtNjjttt01)()(),(),()(t)(tj)(t)(tjtF,.,2,1,0|)(Tttcc)(tc第六章 离散时间套利定价理论v定义：称一个交易策略定义：称一个交易策略

18、 是可接受的是可接受的(admissible)，如果存在一个如果存在一个消费计划消费计划c，满足：满足：v ，(6.2.3)v对对 成立，且有：成立，且有：v 。(6.2.4)v相应地，我们也称该消费计划相应地，我们也称该消费计划c是由交易策略是由交易策略 融资的，也称为上融资的，也称为上市的市的(marketed)。),()()()()()()()()1()()1(tctXtSttBttSttBtTT1,.,1,0Tt)()()()(TcTXTTT),(第六章 离散时间套利定价理论v二、无套利条件和等价鞅测度二、无套利条件和等价鞅测度v定义：一个套利机会是一个由可行交易策略融资的消费计划定义

19、：一个套利机会是一个由可行交易策略融资的消费计划c，满足：满足：v（1）c非负，且至少存在某个时期非负，且至少存在某个时期t和事件和事件 ，有，有 ；v（2）其成本非负，即）其成本非负，即v 。v定义：一个随机过程定义：一个随机过程 被称为是一个在概率被称为是一个在概率 下对下对 适应的鞅，如果它满足：适应的鞅，如果它满足：v ，v其中其中 是关于概率是关于概率 、给定、给定 下的条件概率。下的条件概率。v 定理：一个价格系统不允许存在任何套利机会，当且仅当经济中定理：一个价格系统不允许存在任何套利机会，当且仅当经济中存在一个等价鞅。存在一个等价鞅。ttFa 0),(tact0)0()0()(

20、0()0()0(XSBT,.,2,1,0|)(TttYY)(|)(tYFsYEtts|.tFEtF第六章 离散时间套利定价理论v例例6.2.1：假定经济中有三种长生命证券，：假定经济中有三种长生命证券，j=0,1,2，它们只在它们只在t=2时支付红时支付红利，利，t=0、1时的价格和时的价格和t=2时的红利支付如图时的红利支付如图6.6所示。在该经济中，第所示。在该经济中，第0种资产是一种无风险资产。下面我们通过构造一个等价鞅测度来说明该种资产是一种无风险资产。下面我们通过构造一个等价鞅测度来说明该价格系统没有套利机会。此处无风险资产的价格在价格系统没有套利机会。此处无风险资产的价格在t=0t

21、=0和和t=1t=1时不为时不为1 1，因此我们可以首先对该价格系统进行贴现，如图因此我们可以首先对该价格系统进行贴现，如图6.6.6 6所示。所示。v 经计算可得，存在等价鞅测度：经计算可得，存在等价鞅测度：8/18/14/16/16/16/1)()()()()()(6*5*4*3*2*1*第六章 离散时间套利定价理论v(图图6.6)：证券市场价格系统：证券市场价格系统 第六章 离散时间套利定价理论v三、消费计划的鞅性质三、消费计划的鞅性质v一个消费计划刻画了不同时间一个消费计划刻画了不同时间-事件下个体的消费量，而一个长生命证券事件下个体的消费量，而一个长生命证券由它在各时间由它在各时间-

22、事件下的回报（消费品）刻画，因此一个长生命证券等价事件下的回报（消费品）刻画，因此一个长生命证券等价于一个消费计划。在无套利条件下，一个市场化了的消费计划或长生命于一个消费计划。在无套利条件下，一个市场化了的消费计划或长生命证券的价格是唯一确定的，因为衍生产品是一种长生命证券，所以其价证券的价格是唯一确定的，因为衍生产品是一种长生命证券，所以其价格也是唯一确定的，可以利用等价鞅测度来计算，衍生产品的这种定价格也是唯一确定的，可以利用等价鞅测度来计算，衍生产品的这种定价方式称为套利定价。方式称为套利定价。v定理：一个消费计划有定义好了的价格，如果该消费计划是上市的，且定理：一个消费计划有定义好了

23、的价格，如果该消费计划是上市的，且经济中不存在套利机会。经济中不存在套利机会。v定理：如果价格系统定理：如果价格系统(B,S)不存在套利机会，则上市的消费计划具有鞅性不存在套利机会，则上市的消费计划具有鞅性质。质。第六章 离散时间套利定价理论v例例6.2.2：考虑一个如图：考虑一个如图6.8的消费计划，假定价格系统由图的消费计划，假定价格系统由图6.6所示。试所示。试计算该消费计划的价格。计算该消费计划的价格。v 因为价格系统中不存在套利机会，所以该消费计划具有鞅性质，该因为价格系统中不存在套利机会，所以该消费计划具有鞅性质，该消费计划的消费计划的t期贴现价格等于未来消费贴现和关于鞅测度期贴现

24、价格等于未来消费贴现和关于鞅测度 的预期。所的预期。所以我们有：以我们有：v所以该消费计划在时间所以该消费计划在时间t=0和和t=1时的价格为：时的价格为：v ，。*232)81(2)81(2)41(2)61(1)61(0)61()0(*cS12)31(1)31(0)31()1),(321*cS22)41(2)41(2)21()1),(654*cS8/3)0(cS2/1)1),(321cS1)1),(654cS第六章 离散时间套利定价理论v（图（图6.8）：一个上市的消费计划。）：一个上市的消费计划。第六章 离散时间套利定价理论v 6.3 Black-Scholes公式的推导（二叉树方法）公式

25、的推导（二叉树方法）v一、一、模型的建立：模型的建立：v 考虑一个具有两个长生命证券的多周期证券市场经济，一个是普通考虑一个具有两个长生命证券的多周期证券市场经济，一个是普通股票，一个是无风险债券。假定该经济持续很长时间，我们仅考虑交易股票，一个是无风险债券。假定该经济持续很长时间，我们仅考虑交易日日t=0、1、2、T。假定该经济满足如下假定：假定该经济满足如下假定：v （1 1）不考虑标的资产的红利收益，假定资产的波动性相同且已知，）不考虑标的资产的红利收益，假定资产的波动性相同且已知，资产价格满足一个二项随机游动，如图资产价格满足一个二项随机游动，如图6.9所示。所示。v ；，；。v （2

26、 2）假定在期权生命中短期无风险利率）假定在期权生命中短期无风险利率R已知，个体可以以一个相同已知，个体可以以一个相同的无风险利率进行借贷，假定无风险资产不支付红利，的无风险利率进行借贷，假定无风险资产不支付红利，t期价格为期价格为 。0)0(S)0()0()1(dSuSSdu tR第六章 离散时间套利定价理论v(图图6.9)：二项随机游动和等价鞅测度。：二项随机游动和等价鞅测度。第六章 离散时间套利定价理论v （3）不考虑交易成本和税收，允许证券卖空，在期权成熟前不考虑不考虑交易成本和税收，允许证券卖空，在期权成熟前不考虑有价证券的转让等事件。有价证券的转让等事件。v （4 4）假定个体拥有

27、的信息结构由股票价格生成。）假定个体拥有的信息结构由股票价格生成。；有两个有两个事件；事件；有三个事件，有三个事件，；任意；任意 的有两个子集的有两个子集 ，。假定个体可能有不同的主观概率，但每一事件上的主观概率都大于零。假定个体可能有不同的主观概率，但每一事件上的主观概率都大于零。v二、等价鞅测度的求解二、等价鞅测度的求解 v 如果经济中不存在套利机会，则价格加上红利和构成的随机过程是如果经济中不存在套利机会，则价格加上红利和构成的随机过程是一个鞅。考虑到此处不考虑标的资产的红利收益，因此我们有：一个鞅。考虑到此处不考虑标的资产的红利收益，因此我们有：v由此可得：由此可得：v 当时当时 ，因

28、此经济中确实存在一个等价鞅测度，因此经济中确实存在一个等价鞅测度，相应地，该价格系统不存在套利机会。相应地，该价格系统不存在套利机会。0F1F2FttFa ttaa111ttFa1)1(11dRuRdudRuRd)1,0(第六章 离散时间套利定价理论v三、三、Black-Scholes公式的推导公式的推导v 下面我们利用风险资产的二叉树结构，来推导出一个标的在普通股下面我们利用风险资产的二叉树结构，来推导出一个标的在普通股票上、操作价格为票上、操作价格为K、成熟期为成熟期为T的欧式看涨期权的价格。的欧式看涨期权的价格。v 在图在图6.9的二叉树中，从第的二叉树中，从第0期出发，期出发，T期股票

29、价格为期股票价格为 的概率的概率为为 ；v从从t期出发，期出发，T期股票价格达到期股票价格达到 的条件概率为的条件概率为v 。v考虑到该欧式看涨期权在考虑到该欧式看涨期权在T期的回报为期的回报为 ，因此因此t t期期该看涨期权的贴现价格为：该看涨期权的贴现价格为：v ，nTnduS)0(nTnnT)1(tnTndutS)(tnTnntT)1(0,)(maxKTS|)0,)(max()(*tTFRKTSEtp第六章 离散时间套利定价理论v所以所以t期该看涨期权的价格可以表示为：期该看涨期权的价格可以表示为：v记记j为满足为满足 的正整数，则：的正整数，则：v从而从而|)0,)(max(),),(

30、*tTtFRKTSERKttSp0,)(max)1(0)(KdutSntTRntTntTnntTntTKdutSjtTj)(/ln)(lndudtSKjtT)()1(),),()(KdutSntTRKttSpntTntTjnntTntTtTjnntTnRdRuntTtS)1()()(tTjnntTntTntTKR)1()(第六章 离散时间套利定价理论v记 ，则有由Cox、Ross和vRubinstein(1979)给出期权定价公式。v当独立时间数趋向于无穷时，即在区间T-t中将时间间隔分得足够小，则二项分布趋向于正态分布，从而上式可以改写为标准的Black-Scholes公式：v其中 ，r和 为无风险资产的连续复利v和风险资产的标准差。tTnntTnntTtTj0)1(),;(),;()/,;()(),),()(tTjKRRutTjtSKttSptT)()()(),),()(tTxNKexNtSKttSpttTrttTtTKetSxtTrt21)()/)(ln(