高等数学方明亮75隐函数的求导公式

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-31第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式 第七章第七章(Derivation of Implicit Function)一、一个方程的情形一、一个方程的情形二、方程组的情形二、方程组的情形三、小结与思考练习三、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-32本节讨论本节讨论:1)方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数.例如例如,方程02Cyx当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题.返回返回上页

2、上页下页下页目录目录2023-1-33一、一个方程的情形一、一个方程的情形定理定理1 1 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域某邻域内内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-340)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx

3、的某邻域内则返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-35sin1xyexy在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数,)(xfy 0dd,0dd22xxyxxy并求例例1 验证方程（补充题）（补充题）解解:令,1sin),(yxeyyxFx,0)0,0(F,yeFxx连续,由 定理1 可知,1)0,0(yF0,)(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-360ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0,0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy 3100yyx)(yex)(co

4、sxy)(yex)1sin(yy1,0,0yyx返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-370 xy30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x=0,注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0,0(cosxyyex 利用隐函数求导（自行练习课本（自行练习课本 例例1）导数的另一求法导数的另一求法返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-38若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏

5、导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确定理定理2返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-390),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-310,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(2xz222xzz0422xz

6、2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导例例2 设（补充题）（补充题）返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-311设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz（自行练习课本（自行练习课本 例例2）解法解法2 利用公式返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-312二、方程组的情形二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGG

7、FFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-313,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(,),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv 定理定理3 3返回返回上页上页

8、下页下页目录目录2023-1-314),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-3150),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuuxuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0设方程组二元线性

9、代二元线性代数方程组解数方程组解的公式的公式,的线性方程组这是关于xvxu,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内故得系数行列式返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-316同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-317分析：分析：此题可以直接用课本中的公式（公式（6）求解，但也可按照推导公式（6）的方法来求解.下面用后一种方法求解.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-3181,222.uvxxuvuvxxx 11221122xvuxvxvuuv1122

10、1122uxvuxxvuuv返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-319解：解：cossin1,sincos0.xxxxrrrr 返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-320内容小结内容小结1.隐函数隐函数(组组)存在定理存在定理2.隐函数隐函数(组组)求导方法求导方法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.代公式代公式课后练习课后练习习题习题75 1、3、5、7、10、11（1）（）（3）思考练习思考练习1.设设,),(zyxzyxfz求求.,yxzxxz返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-321zx ),(zyxzyxfz

11、xz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf解法解法1:返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-322),(zyxzyxfz,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由d y,d z 的系数即可得解法解法2：利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-323)()(xzzxyy及,2

12、 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定:又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,2.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-324 zxFyFy0zFz fx)1(y)(,)(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数,求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得f fxfzyfx xzyFz

13、FyF)0(zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)3.设返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-3250),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得解法解法2 微分法微分法.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-326雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.返回返回上页上页下页下页目录目录2023-1-327222111cybxacybxa二元线性代数方程组解的公式二元线性代数方程组解的公式11220abab解解:11221abaxb2121cbcb2121acac11221abayb