能量原理与变分法0002ppt课件

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1、第二章第二章 能量原理和变分法能量原理和变分法 真实的位移除了满足位移边境条件真实的位移除了满足位移边境条件外，根据它们求得的应力还应满足应力外，根据它们求得的应力还应满足应力边境条件和平衡微分方程。求解微分方边境条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只需在简单的情况下，程的边值问题，只需在简单的情况下，才干得到解析解。多数情况下，只能采才干得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。用数值计算的方法。基于能量原理的变分法为数值计算提供了实际根底。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。应变能虚位移原理最小势能原理位移变分法里滋方法伽辽金方法应力变分法 设弹性体在一定外力作用

2、下，处于平衡形状，设弹性体在一定外力作用下，处于平衡形状，发生的真实位移为发生的真实位移为u,v,wu,v,w，它们满足位移分量表，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边境条件和用位移表示的平衡方程，并满足位移边境条件和用位移表示的应力边境条件。弹性体受力后，发生变形，示的应力边境条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为应变能，储存在弹性体外力作功，外力功转化为应变能，储存在弹性体内，单元体内的应变能为内，单元体内的应变能为)(210 xyxyzxzxyzyzzzyyxxU第一节第一节 应变能应变能ijijijijijU21d00或或zyxzyxUUijijddd21ddd0

3、整个弹性体内的应变能为整个弹性体内的应变能为应变余能的概念以一维应力形状为例，U0实践是应力应变曲线下的面积不限于线弹性xxxUd00定义ijijijUd00为单位体积的应变余能，在一维情况下为xxxUd00 xxdxOdx应变余能没有明显的物理意义，在一维情况下，表示应力应变曲线在应力一侧下的面积。1 应变余能与应变能互补00UUxx2 应变余能的积分式中，积分变量为应力分量3 在线弹性时，应变余能与应变能相等xxdxOdx应变用应力表示，上式成为)(1(2)(2)(212222220 xyzxyzyxxzzyzyxEU应力用应变表示后，应变再用位移表示，得到变形能的位移表达式zyxyuxv

4、xwzuzvywzwyvxuzwyvxuEUddd21212121)1(22222222这里 u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)他们本身是弹性体各点的函数,U这样的积分依赖于这些函数获得不同的数值,这样的积分通常称为泛函.普通的函数只依赖于自变量的值.假设将变形余能用应力表示,那么可以得到,000000 xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUUyzx000.yzxyzyzxxUUU根据变形能的表达式,000000 xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUU2.2 虚位移原理虚位移原理如今假设位移发生了位移边境条件所允许的微小位移虚位移u，v，w，这时

5、外力在虚位移上作虚功,虚功应和变形能泛函的添加相等：d)(ddd)(bbbSwpvpupzyxwFvFuFUzyxzyx其中，Fbx,Fby,Fbz为膂力分量，Px,Py,Pz.为面力分量，三重积分包括弹性体的全部体积，二重积分包括弹性体的全部面积但实践仅在未给定位移，给定面力的边境不为零。0d)(ddd)(bbbSwpvpupzyxwFvFuFUzyxzyx上式可写为d)(ddd)(bbbSwpvpupzyxwFvFuFVzyxzyx0)(VU设外力势能为可写为2.3 最小势能原理最小势能原理 该式的意义是：在给定的外力作用下，在满足位移边境条件的各组位移中，实践存在的一组位移应使总势能为最

6、小。假设思索二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平衡形状，这个极值是极小值。因此，该式又称为最小势能原理。如今假设位移发生了位移边境条件所允许的微小位移虚位移u，v，w，应变的变分可记为：下面我们证明实践存在的一组使总势能为最小的位移,根据他们求得的应力满足平衡方程和应力边境条件。vzwyzvywuxxuyzxzyxvzwyuxzyxUUUyzxyzyzxxddd.ddd.00,000000 xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUU有其中第一项根据分步积分zyxuxSulzyxuxzyxuxzyxuxxxxxxdddddddddd)(ddd1zyxwyxzvxzyuzyxSwlllvl

7、llulllUyzxzzzyxyxyzxyxxyzyzxyzyxyzxxyxdddd)()()(321321321其他类似可得zyxwFyxzvFxzyuFzyxSwplllvpllluplllVUzyzxzzyzyxyxyxzxyxxzyzyzxyyzyxyxzxxyxdddd)()()()(bbb321321321总势能为 虚位移u，v，w，各自独立,而且是完全恣意的,因此上列积分式中括号内的系数均等于零,这样我们就得到 而这正是平衡方程和边境条件,这样我们从虚位移原理或最小势能原理的变分方程,就包含了平衡方程和边境条件.假设我们给出的位移是坐标的延续函数(自然满足形变延续方程)满足弹性体

8、的几何约束,并且也满足最小势能原理或虚位移原理,那么求得的应力也满足平衡方程和边境条件,也就是说他们是弹性问题的解.及 px=l1x+l2yx+l3zx py=l1xy+l2y+l3zy pz=l1xz+l2yz+l3z或 Pi=ij lj最小势能原理的意义 弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形。位移可以是各种各样的，但必需满足位移的边境条件。满足位移边境条件的位移称为允许位移，允许位移也有无穷多组，其中只需一组是真实的，真实位移除了满足位移边境条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边境条件和平衡微分方程。变分法为数值计算提供了实际根底。其中最小势能原理指出：在无穷多组的允许位移中，使弹性

9、体总势能为最小的一组位移，就是我们要找的位移，根据它们求得的应力还满足应力边境条件和平衡微分方程。在无穷多组的允许位移中找到这一组，就必需求解微分方程的边值问题，很惋惜，只需在简单的情况下，才干得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。变分方法从能量角度分析，提供理处理问题的另一种思绪，为数值计算奠定了实际根底。例如在两端固定的柔索，可以有各种外形，但只需一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最小。最小势能原理的简单例子 再以最简单的轴向受压的杆件为例，总势能包括外力势能和弹性体的变情势能，这两个势能都以杆件顶部的位移为参数，随位移增大，弹性体的应变能增大，而外力势能减小，其变化曲线如下

10、图：FuVCuU221其中C为杆的刚度。F外力势能随位移成直线下降，弹性体势能成抛物线上升，总势能为开场，总势能呈下降趋势，到达某一位置，总势能为最小，过了这一点，弹性体的势能的添加超越了外力势能的减少，总势能又开场添加。在总势能最小点，弹性体在该外力作用下到达平衡。这时的位移是真实的位移。FuCuVU221F 先设定满足位移边境条件的位移分量的表达式，其中包含假设干个待定的系数，再根据最小势能原理，决议这些系数。设位移分量的表达式mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu000其中u0,v0,w0 为设定的函数，在边境上的值等于边境上的知位移；um,vm,wm为边境值等于零的设定函数，Am，

11、Bm，Cm为待定的系数，位移的变分由它们的变分来实现。mmmmmmmmmCwwBvvAuu)(mmmmmmCCUBBUAAUUmmmzmmymmxmmmzmmymmxSCwpBvpAupzyxCwFBvFAuFVd)(ddd)(bbb应变能的变分为外力势能的变分为SwpzyxwFCUSvpzyxvFBUSupzyxuFAUmzmzmmymymmxmxmddddddddddddbbb代入0)(VU中，得到上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。yxyuxvyxyvxuyvxuEUdd21dd2)1(22222变形能的普通位移表达式为在平面应力形状的表

12、达式为zyxyuxvxwzuzvywzwyvxuzwyvxuEUddd21212121)1(22222222在不思索剪切效应时,直杆弯曲的应变能为知图示悬臂梁,抗弯刚度为EI,求最大挠度值.解:设llxxwEIxEIxMU022202ddd21d)(21满足固定端的边境条件.)(3322xaxaw0000 xxwwlLxLaLaFxaaEIVUELaLaFFwV03322232t3322)(d)62(2)(由最小势能原理下面用最小势能原理来确定参数.llxaaEIxEIxMU023202d)62(2d)(21ll2FLxaaxEIaEFLxaaEIaEaaEaaEE03323t02322t33

13、t2tt0)d62(12210)d62(42100EIFLwwLxxEIFLwEIFLaEIFLaEIFLLaLaEIFLLaLaLx33662622323max23222322232解得这里得到的是准确解。例：如下图的薄板，不计膂力，求薄板的位移设位移yBvBvxAuAu111111,它们是满足位移边境左边和下边的边境条件的。yxyuxvyxyvxuyvxuEUdd21dd2)1(22222在平面应力形状的表达式为 abdxdyBABAEU001121212)2()1(2可得)2()1(21121212BABAEabUsvpBUsupAUyxd,d1111abqBUabqAU2111,abq

14、ABEababqBAEab21121112)22()1(2)22()1(2即可得由即EqqBEqqA121211,yEqqvxEqqu1221,解得里滋方法的步骤 上述方法称为里滋法，其要点是要找到满足全部边境条件的位移函数，而这种函数普通依然难以找到，尤其在边境不规整的情况下。所以里滋方法的运用在这一点上遭到极大的限制。五十年代以来，在这根底上开展起来的有限元方法，采用了单元离散，分片插值的方法，这就防止了这一困难，虽然带来了计算任务量大的问题，但由于电子计算机的产生和开展，计算任务量大的问题得到处理，有限元方法得到迅速的开展。我们学习变分方法的意义，主要由于它是学习有限元等数值方法的根底。

15、伽辽金方法 里滋方法要求位移函数满足位移边境条件，假设进一步要求根据位移函数求得的应力还满足应力边境条件，公式还可以简化，这种方法称为伽辽金方法。由前面我们得到的最小势能原理zyxwFyxzvFxzyuFzyxSwplllvpllluplllVUzyzxzzyzyxyxyxzxyxxzyzyzxyyzyxyxzxxyxdddd)()()()(bbb321321321zyxwFyxzvFxzyuFzyxSwplllvpllluplllVUzyzxzzyzyxyxyxzxyxxzyzyzxyyzyxyxzxxyxdddd)()()()(bbb321321321 假设我们所取的位移不仅满足位移边境条

16、件，而且根据它们求得的应力还满足应力边境条件(不要求满足平衡方程，那么上式简化为0ddd)()()(bbbzyxwFzyxvFzyxuFzyxzyzzxzyxyyzyxzxxyx总势能为mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu0000ddd)(ddd)(ddd)(bbbmmzyzzxzmmmyxyyzymmmxzxxyxmzyxwFzyxCzyxvFzyxBzyxuFzyxA取位移为那么上式为0ddd)(0ddd)(0ddd)(bbbzyxwFzyxzyxvFzyxzyxuFzyxmzyzzxzmyxyyzymxzxxyx由各待定常数变分的独立性，各系数为零0ddd)211()1(20ddd

17、)211()1(20ddd)211()1(2b2b2b2zyxwFwzeEzyxvFvyeEzyxuFuxeEmzmymx以位移表示0dd)211()1(20dd)211()1(2b2b2yxvFvyeEyxuFuxeEmymx0dd)2121(10dd)2121(1b222222b222222yxvFyxuxvyvEyxuFyxuyuxuEmymx在平面应变问题中，方程为在平面应力问题中，方程为 这样就得到位移函数待定常数的线性方程组，解之，再代回，就得到位移的近似解，根据应力的位移表示式，就可求得应力。通常位移在所取项不多时，就可得到较准确的解，但应力解需求较多的项，这也是通常位移法所遇到

18、的问题。伽辽金方法的计算任务量较小，但对位移函数的要求较高，要求应力应满足应力边境条件。在特殊情况，如仅有位移边境，而无应力边境，这也表示着应力边境条件得到满足，这时用伽辽金方法非常方便。作为例子，可见徐芝纶“弹性力学p358-p361，解法参见MCAD.解：首先用瑞利里茨法位移试函数 例例1：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如下图。试求解梁的挠度作用如下图。试求解梁的挠度wx。满足梁的位移边境条件在x=0，l处，w=0 总势能 mmlxmCwsinxqwxxwEJElltdd)dd(202220,5,3,1243424mmmmtmCqlCmlEJE根

19、据那么 所以0mtCE为偶数）为奇数）mCmlEJmmqlCmlEJmm(02(022434434为偶数）为奇数）mCmmEJqlCmm(0(04554回代,5,3,1554sin14mlxmmEJqlw挠曲线表达式是无穷级数准确解这个级数收敛很快，只需取少数几项就可以得到足够的精度。假设取一项 这一结果与准确值非常接近 EIqlw6.764max解：运用法位移试函数 同时满足面力边 界条件根据法分析可得 mmlxmCwsinlxlxmqxwEI0440dsin)dd(,5,3,1554sin14mlxmmEJqlw解：位移试函数 例例2：矩形薄板，四边固定，受有平行于板面的膂力作用。设坐：矩

20、形薄板，四边固定，受有平行于板面的膂力作用。设坐标轴如下图，试用标轴如下图，试用RayleighRitz法求解。法求解。m和n为正整数在边境x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边境条件。mnmnmnmnbynaxmBvbynaxmAusinsinsinsin平面应力问题 因此 yxyuxvvyvxuvyvxuvEUa bdd)(212)()()1(2202202yxyuxvByuxvvxuByvvyvBxuvyvByvxuBxuvEBUyxyuxvAyuxvvxuAyvvyvAxuvyvAyvxuAxuvEAUmnmnamnmnmnbmnmnmnamnmnmnbmndd)

21、()(1()(2)(2)(2)(2)1(2dd)()(1()(2)(2)(2)(2)1(20 020 02将位移试函数代入求导数后再积分 因此 yxbynaxmFBUyxbynaxmFAUaybmnaxbmnddsinsinddsinsin0b00b0yxbynaxmFBvamvbnabEyxbynaxmFAvbnvamabEya bmnaxbmnddsinsin)1(2)1(4ddsinsin)1(2)1(4b0 02222220b0222222假设膂力知，积分可求待定系数Amn和Bmn应力变分方法 设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij为实践存在的应力分量，它们满足平衡微分方程和应

22、力边境条件，也满足相容方程。如今，假想膂力不变,而应力分量发生了微小的变化ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ij+ij，设它们只满足平衡微分方程和应力边境条件。000yzxzzxyzyyzxyxxyxzyzyzyx 既然两组应力分量都满足同样膂力作用下的平衡微分方程，应力分量的变分必然满足无膂力时的平衡方程，即(a)同时，在位移给定的边境上面力不能够给定，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分px、py、pz 根据应力边境条件的要求，应力分量的变分在边境上必需满足zyzyzxyyzyxyxzxxyxplllplllplll321321321 由于应力分量的变分，形变势能必有相应的变

23、分。把形变势能看做应力分量的函数，那么形变势能的变分应为zyxUUzyxUUyzyzxxddd.ddd000(b)zyxzvywxuzyxUyzxyzyzxxddd.ddd.zyxxuSulzyxxuxxxddd)(dddd1将下式代入再将几何方程代入，得,000000 xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUU根据分步积分和奥高公式，对上式右边的各项进展处置，例如zyxyxzwxzyvzyxuSlllwlllvllluUyzxzzzyxyxyzxyxxyzyzxyzyxyzxxyxdddd)()()(321321321最后可得再将式a和b代入，即得uszyxzyxSpwpvpuSpwp

24、vpuUd)(d)(这就是所谓应力变分方程(卡斯提安诺变分方程)。这方程的右边代外表力的变分在实践位移上所做的功。由此可见，由于应力发生的变分，形变势能的变分等于面力的变分在实践位移上所做的功。上式可改写为 括号中的表达式称为弹性体的余能，因此，在满足平衡方程和应力边境条件的各组应力中，实践存在的应力应使弹性体的余能成为极值，称为最小余能原理。经过推导，可以从余能原理可以得到相容条件。0)d)(uszyxSwpvpupU 假设在某一部分边境上，面力是给定的，那么该部分边境上的面力不能有变分，应力变分方程中右边该部分的积分为零，假设位移边境上的位移为零，方程中右边该部分的积分也为零。实践积分只对

25、位移边境上的位移不为零的那部分进展，面力的变分按下式进展：zzzyzxyyzyxyxzxxyxplllplllplll321321321 假设在全部边境上，面力是给定的，或位移边境上的位移为零，方程中右边该部分的积分为零，应力变分方程简化为0U注:在线弹性时,弹性体的应变余能等于应变能,在非线弹性时,上面的弹性应变能应为应变余能.近似解法：设定应力分量的表达式，使其满足平衡方程和应力边境条件，但其中包含假设干待定系数，然后根据应力变分方程决议这些系数。应力分量普通可设为mmijmijijA)()(0 其中Am为互不依赖的m个系数。0给出的应力满足实践的应力边境条件，m给出的应力满足无面力时的应

26、力边境条件。由于应力分量的数量较多，确定起来有困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，假设膂力分量为常数，那么存在应力函数。将应力函数设定为mmmA0 其中Am为互不依赖的m个系数。0给出的应力满足实践的应力边境条件，m给出的应力满足无面力时的应力边境条件。在平面应力形状，用应力分量表示的变情势能为yxEUxyyxyxdd)1(2221222 假设思索单连体，而且是应力边境问题，应力分量应与无关，可设其为零，那么有yxEUxyyxdd221222用应力函数表示为yxyxyFxxFyEUyxdd221222b222b22 在应力边境问题中，变分方程简化为U=0,因此系数应满足0mAU 上式为

27、线性方程组，求解Am后，得到应力函数的近似解，最后得到各应力分量。将应力函数的表达式代入，得0dd2dd2222b2222b22yxyxAyxyxxAyFxyAxFymmymx 由于是近似解，应力分量不能准确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能准确满足变形协调条件，不能根据几何方程求得位移分量。2223FRRRFRACAB 最小余能原理 例知图示静不定梁,抗弯刚度为EI,求支座反力.解:此梁为一次静不定梁,设RA为多余反力,根据静力平衡条件可得各段弯矩ADDBBCLxFxLRMLxFxRMRMAAA2)2(2llAlllAAxLxFxlRxLxFxRxxREIU222/02/22d2)

28、2(d2d)(21 在不思索剪切效应时,直杆弯曲的应变能(在线弹性时,应变余能等于应变能)为 由于支座无位移,总余能就等于应变余能,下面用最小余能原理来确定参数RA.llAlllAAAxLxFxlRxxLxFxRxxREIREE22/02/2tt0 x)d-(2L2)2(2d22d221032316113213FRFRFRCBA最后可得 本例是最小余能原理用于解静不定梁的例子,解平面问题的例子请看Mcad提供的例子。最小余能原理的意义 弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形和应力。应力可以是各种各样的，但必需满足应力的平衡条件和边境条件。满足应力平衡方程和边境条件的应力称为允许应力，允许应力

29、也有无穷多组，其中只需一组是真实的，真实应力，根据它们求得的应变还应满足协调条件和位移边境条件。应力应力应力变协调位移边境余余余余应力变分法的步骤 其要点是要找到满足全部边境条件的应力函数，而这种函数普通依然难以找到，尤其在边境不规整的情况下。所以应力方法的运用在这一点上遭到极大的限制。应力求得以后，根据他们求得的应变分量是不准确的，普通不能满足应变协调条件，因此位移解不能求得。应力应力应力应力余0)d)(SwpvpupUzyx0d)(ddd)(bbbSwpvpupzyxwFvFuFUzyxzyx最小势能原理和最小余能原理的不同点最小势能原理最小余能原理1.最小势能原理是位移变分原理，变分的是

30、位移；变形能是位移的函数。最小余能原理是应力变分原理，变分的是应力；应变能实践是余能(在线弹性时等于应变能，是应力的函数。2.最小势能原理，膂力和面力在公式中是给定的，出现，不变分。最小余能原理，在这里膂力普通是给定的外力，不参与变分，也不出现，给定面力的边境不参与变分，也不出现，给定位移的边境面力未给定位移出现，但不参与变分，这部分面力出现，参与变分。0)d)(uszyxswpvpupU0d)(ddd)(bbbSwpvpupzyxwFvFuFUzyxzyx3.最小势能原理，变分的位移应满足位移约束条件，得到的是应力平衡方程和应力边境条件；最小余能原理，变分的应力该当满足平衡方程和应力边境条件

31、，得到的是应变协调条件和位移边境条件。0)d)(uszyxswpvpupU0d)(ddd)(bbbSwpvpupzyxwFvFuFUzyxzyx2.6 有限元概念有限元概念根本方程偏微分方程的边值问题变分原理偏微分方程的边值问题转换为代数方程有限元原理数值分析方法工程运用广泛，实际根底变分原理。为什么变分原理在工程上的运用有限，而有限元原理却运用广泛。有限元原理与经典变分原理的差别位移试函数位移边境Su位移试函数构造困难mmmmmmmmmzyxwCzyxwzyxwzyxvBzyxvzyxvzyxuAzyxuzyxu),(),(),(),(),(),(),(),(),(000,0,0,0,000mmmwvuwwvvuu有限元不是整体选取试函数而是在弹性体内分区单元完成的试函数方式简单一致近年来，随着现代科学技术的开展，特别是计算机技术的迅速开展和广泛运用，使得以有限元方法为代表的计算力学的迅速开展，改动了弹性力学实际在工程运用领域的处境。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了力学实际与方法，获得了当代力学实际运用的高度成就。大型通用有限元程序的广泛运用，使得有限元成为构造分析工具。以此为根底，CAD,CAE等技术的运用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。