51二次型及其标准形

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1、 一、一、二次型及其标准形的概念二次型及其标准形的概念 二、二、二次型的表示方法二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,称为二次型称为二次型.的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn,121;,称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型.,称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf 称为二次型的标准形（或法式）

2、称为二次型的标准形（或法式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为都为二次型；二次型；23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形.323121321,xxxxxxxxxf 1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .11xxajininjij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnn

3、nxaxxaxxa 2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(.,为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx21

4、21222211121121,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系;的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA;的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af.的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .3303

5、22021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设有有将其代入将其代入,AxxfT AxxfT CyACyT 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cCij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx .yACCyTT 证明证明于于是是即即有有为为对对称称矩矩阵阵,TAAA TTTACCB .,1ARBRBA

6、ACCBCT 且且也也为为对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵为为对对称称如如果果令令任任给给可可逆逆矩矩阵阵定定理理CACTT,BACCT ,ACCBT ,ARACRBR ,11 BCCAT又又 .1BRBCRAR .BRAR 即即 为对称矩阵为对称矩阵.B定义定义2 2 对于对于n阶矩阵阶矩阵A和和B，如存在，如存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵C，使得，使得B=CTAC，则称，则称B合同于合同于A，记作，记作.BA 对对A进行运算进行运算CTAC，称对称对A进行合同变换。进行合同变换。说明说明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二

7、二次次型型,2 Cyxf.,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT;,1 ACCBAfCyx.T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换有有型型把把此此结结论论应应用用于于二二次次即即使使总总有有正正交交矩矩阵阵阵阵由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩,.,1 APPAPPPAT 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij,21,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaA

8、f 1.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,.221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnP 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量.,.52211nnyyffPyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换线性无关线性无关解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,

9、844141417 323121232221化化成成标标准准形形通通过过正正交交变变换换将将二二次次型型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2从而得特征值从而得特征值.18,9321 得得基基础础解解系系代代入入将将,091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将,01832 xEA ,)0,1,2(2 T.)1,0,2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1,1,21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1,54,52(3 T,)0,1,2(2 T,)1,1,21(1T ,3,2,1,iiii 令令得得,0515

10、22 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有解解例例3 3.22 2222 ,434232413121化化为为标标准准形形把把二二次次型型求求一一个个正正交交变变换换xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它它的的特特征征多多项项式式为为.111111111111

11、EA有有四四列列都都加加到到第第一一列列上上三三把把二二计计算算特特征征多多项项式式,:,1111111111111)1(EA有有四四行行分分别别减减去去第第一一行行三三把把二二,1000212022101111)1(EA1221)1(2 .)1()3()32()1(322 .1,34321 的特征值为的特征值为于是于是A,0)3(,31 xEA解方程解方程时时当当,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得,0)(,1432 xEA解方程解方程时时当当 ,1111,1100,0011232 可得正交的基础解系可得正交的基础解系单位化即得单位化即得 2121212

12、1,212100,002121432ppp于是正交变换为于是正交变换为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次 1,321 xxxf曲面曲面.323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型,333351315 A二次型的矩阵为二次型的矩阵为解解),9)(4()det(EA可求得可求得,9,4,0321 的特征值为的特征值为于是于是A.111,011,211 321 ppp对应

13、特征向量为对应特征向量为将其单位化得将其单位化得,626161 111 ppq,02121222 ppq.313131 333 ppq故故正正交交变变换换为为,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2322yyf 化二次型为化二次型为.1),(321表表示示椭椭圆圆柱柱面面可可知知 xxxf用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的

14、方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk,2,1 且且拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平

15、方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yx

16、yyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .62222323223

17、1yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一

18、个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩 .,323121321变变换换并并写写出出所所作作的的可可逆逆线线性性为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 故令故令方项方项由于所给二次型不含平由于所给二次型不含平,解解 ,33212211 yxyyxyyx,)(2322312yyyyf 有有 ,3322311 3322211zyzyzzyyzyzyyz或或再令再令,232221zzzf 得标准形得标准形 .,3332123211zxzzzxzzzx所用可逆线性变换为所用可逆线性变换为