6.1二次型及其标准形

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1、第一节 实二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念复复二二次次型型 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,称为二次型称为二次型.的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn,121;,称称为为是是复复数数时时当当faij.,称称为为是是实实数数时时当当faij先看书上实例先看书上实例1.实实二二次次型型1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijji

2、jiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(,.Tfx Ax

3、A 则则二二次次型型可可记记作作其其中中 为为对对称称矩矩阵阵11121121222212,nnnnnnnaaaxaaaxAxaaax 记记 1112112122221212,nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax ;Af对对称称矩矩阵阵 叫叫做做二二次次型型的的矩矩阵阵;fA叫叫做做对对称称矩矩阵阵 的的二二次次型型解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例见书上例见书上例2、例、例3.只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2

4、222211nnykykykf 称为称为二次型的标准形（或法式）二次型的标准形（或法式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为二次型；都为二次型；23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形.323121321,xxxxxxxxxf nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设三、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cCij 记记记作记作则上述可逆

5、线性变换可则上述可逆线性变换可 Cyx AxxfT 有有将其代入将其代入,AxxfT .yACCyTT CyACyT 这样问题就演变为如何找出这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵阶可逆矩阵C使得使得为对角矩阵。为对角矩阵。TC AC 注意等价、相似和合同的区别。注意等价、相似和合同的区别。定义：定义：如果对于如果对于n阶方阵阶方阵A和和B，存在，存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使，使得得 ，则称，则称A与与B合同，记为合同，记为TBP AP AB方阵合同的性质：方阵合同的性质：（1）反身性）反身性（2）对称性）对称性 若若 ，则，则（3）传递性）传递性 若若 ，则，则,AB BCBAABACAA

6、说明：说明：两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等两个相似的方阵必等价，两个合同的方阵也必等价。反之都不成立。等价的方阵未必相似，也未必合同。价。反之都不成立。等价的方阵未必相似，也未必合同。两个正交相似的方阵必正交合同。反之，两个正交合同两个正交相似的方阵必正交合同。反之，两个正交合同的方阵也必正交相似。因此，两个方阵正交相似与正交的方阵也必正交相似。因此，两个方阵正交相似与正交合同是一回事。然而，两个同阶方阵既相似又合同时，合同是一回事。然而，两个同阶方阵既相似又合同时，它们未必是正交相似的，也未必正交合同。它们未必是正交相似的，也未必正交合同。有有型型把此结论应用于二次把此结论应用于

7、二次即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,.,1 APPAPPPAT ,12 ,nijijijjii jTfa x xaaxPy PPEf 定定理理任任给给二二次次型型总总有有正正交交变变换换使使化化为为标标准准形形2221122,TTnnfx Axyyyyy .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,.221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应

8、于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例2 2从而得特征值从而得特征值.18,9321 得基础解系得基础解系代入代入将将,091 xEA 2 2求特征向量求特征

9、向量 得得基基础础解解系系代代入入将将,01832 xEA ,)0,1,2(2 T.)1,0,2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1,1,21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1,54,52(3 T,)0,1,2(2 T,)1,1,21(1T ,3,2,1,iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321

10、321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有解解例例3 3.22 2222 ,434232413121化为标准形化为标准形把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它的特征多项式为它的特征多项式为.111111111111 EA有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二计算特征多项式计算特征多项式,:,1111111111111)1(EA有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,1000212022101111)1(EA1221)1(2 .)1()3()

11、32()1(322 .1,34321 的特征值为的特征值为于是于是A,0)3(,31 xEA解方程解方程时时当当,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得,0)(,1432 xEA解方程解方程时时当当 ,1111,1100,0011232 可得正交的基础解系可得正交的基础解系单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为于是正交变换为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形1.若二

12、次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk,2,1 且且配方法的步骤配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解3231212

13、3222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx323

14、12123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233

15、322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C见书上例见书上例6、例、例7.四、二次型的规范形四、二次型的规范形前面我们介绍了两种将二次型变换成标准形的方法，不前面我们介绍了两种将二次型变换成标准形的方法，不管是通过哪一种方法得到的标准形，都可以进一步化简。管是通过哪一种方法得到的标准形，都可以进一步化简。见书上例见书上例8.定义定义：所有平方项的系数均为所有平方项的系数均为1，-1或或0的标准二次型称为的标准二次型称为 规范二

16、次型。规范二次型。222211(,AA).1 kkrTfx Axfzzzzkrkr 定定理理 惯惯性性定定理理任任意意一一个个n n元元二二次次型型一一定定可可以以经经过过可可逆逆线线性性变变换换化化为为规规范范形形和和是是由由唯唯一一确确定定的的（与与所所采采用用的的变变换换的的选选择择无无关关）是是规规范范形形中中系系数数为为 的的项项数数，就就是是的的秩秩。而而且且其其中中的的定义：定义：规范形中的规范形中的 k 称为二次型称为二次型 （或对称矩阵（或对称矩阵A）的正惯性指数，称的正惯性指数，称 r-k 为二次型为二次型 （或对称矩阵（或对称矩阵A）的负惯性指数，的负惯性指数，称为它们的

17、符号差称为它们的符号差.Tfx Ax Tfx Ax()2krkkr定理：定理：对称矩阵对称矩阵A与与B合同当且仅当它们有相同的秩和相合同当且仅当它们有相同的秩和相同的正惯性指数。同的正惯性指数。证明见书上证明见书上P171.看书上例看书上例9.五、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思

18、想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换，如配算更快的可逆变换，如配方法方法化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次 1,321 xxxf曲面曲面.323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型思考题思考题解答,333351315 A二次型的矩阵为二次型的矩阵为解解),9)(4()det(EA可求得可求得,9,4,0321 的特征值为的特征值为于是于是A.111,011,211 321 ppp对应特征向量为对应特征向量为将其单位化得将其单位化得,626161 111 ppq,02121222 ppq.313131 333 ppq故正交变换为故正交变换为,31062312161312161 321321 yyyxxx.94 2322yyf 化二次型为化二次型为.1),(321表示椭圆柱面表示椭圆柱面可知可知 xxxf结束结束