弹性力学复习

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1、弹性力学复习指导一、问答题1. 试叙述弹性力学的基本假设及这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用。（1）连续性，所有的物理量均可以用连续函数，从而可以应用数学分析的工具（2）完 全弹性，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示（3）均匀性，物体的 弹性常数等不随位置坐标而变化（4）各向同性，弹性常数等也不随方向而变化（5）小变形 假定，简化几何方程，简化平衡微分方程2. 叙述平面应力问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。答：平面应力问题一般对于等厚度薄板（z方向尺寸远小于板面尺寸的等厚度薄板）。外力 平行于板面作用在板边，且沿板厚不变，版面上无面力，z方向的分力为0。约束只作

2、用于 板边，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x, y向的 边界约束存在。3. 叙述平面应变问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。答：平面应变问题一般对于常截面长柱体（z方向尺寸远大于截面尺寸的等截面柱体）。 外力垂直柱体轴线，且沿长度方向不变，z方向分力为0。约束只作用于柱面，其方向平行 于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。 4试叙述在大边界上不能应用圣维南原理。答：圣维南原理是基于静力等效原理，当将面力的等效变换范围应用到大边界上，则必然使 整个物体的应力状态都改变，所以大边界不能应用静力等效，在大边界上不能

3、应用圣维南原 理。5. 试叙述弹性力学中解的叠加定理。答：在线弹性和小变形假定下，作用于弹性体上几组荷载产生的总效应（应力和变形）， 等于每组荷载产生的效应之和，且与加载顺序无关（p135）6. 试叙述弹性力学中虚位移原理。答：假定处于平衡状态的弹性体在虚位移过程中，没有温度的改变，也没有速度的改变， 既没有热能和动能的改变，则按照能量守恒定理，形变势能的增加，等于外力势能的减少 也就等于外力所做的功，即所谓虚功。（p135）7. 有限元方法中，每个单元都是一个连续体。位移模式的建立，解决了由结点位移求出单 元中的位移函数的问题。位移模式是有限元单元法的基础工作，当单元趋于很小时，为使 有限元

4、法的解答逼近于真解，亦即为了保证有限元法的收敛性，位移模式应满足哪些条件？ 答：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。（2）位移模式必须能反映单元的常量应变（3） 位移模式必须能反映位移的连续性（p151）8. 弹性力学问题的基本解法中，位移法，应力法各以什么参数作为未知量，各需满足什么 条件？答：1；位移法;以它移分戴的三个未知函数呎丟幵打，呎头打呎x/w）作为慕本未知拱，这三牛位移分粧对.应的“丿血物休冈部.应滴:L衡微分方程和边界条件2）M力法：I灯、卜应力分按忑件为斟本术II量需满足变形连续力理也界条件和平衡微分方和：9. 泰勒级数是一种完备的函数展开式，能够表示在某点附近函数的状态

5、。试写出在点(x , y)附近二维问题的泰勒级数展开式。00(Xo) =yo样(劝才(必)4/临心-对+ - (X-Io)10. 材料力学是否也是应用弹性力学的 5 个基本假设来研究的？如果不是，请加以区别。 答：11. 试写出AB、AC边的边界条件。示：平面问题的应力边界条件为+ m t ) = f (s)+仇yx)=fxxy $ y 丿f (s )和f (s )是边界上S的已知函数，f ,式中：m 是边界面外法线 n 的方向余弦。NyQ(2) & 虫C段tan):i =*= 翎 + 尸)*=亠鈕 戸|r 牛” Csti zZ 十 7 * cos z? = a如图所示，试写出其边界条件口(1

6、) 段(y口Q) */ a,ns 1x = 6F = _pa= 春 代入边界条件公式.有b/g= xyo(m Q12.图示水坝，试写出其边界条件。提示：平面问题的应力边界条件为+ m t ) = f (s)a13.若在斜边界面上，受有常量的法向分布力q作用，试列出应力边界条件。x式中：f (s )和f ()是边界上S的已知函数，m是边界面外法线n的方向余弦。xy图示水坝*试写出其边界条件.齐=y tan ct左侧而】I sinX = y cos fi F =妙 sM fi 由应力边界条件公式，有crj(+ 呎一皿 /f) =汐 gI cry (sinG zx- H (OxYxy系为G/ E 、

7、2(1 + H)1TG xy式中，E是弹性模量，G是切变模量（刚度模量），H是泊松系数，这三个弹性常数之间关答：在平面应力问题中，O Z=0, T餌0, T zX=0,代入上述式子得弹性力学平面 应力问题的物理方程（p23）2. 试导出弹性力学平面应变问题的物理方程。提示：在理想弹性体的条件下，物理方程就是材料力学中的胡克定律为-H(O(O(O+O+O+Oyzyzzxzxxy式中，系为G+ H）。xyE 是弹性模量， G 是切变模量（刚度模量）， H 是泊松系数，这三个弹性常数之间关答:在平面应变问题中，物体的所有各点都不沿z方向移动，所有z方向的线段都没有伸缩， z方向的应变为0代入上式子，

8、求出z方向的应力分量，将z方向的应力分量代入上式子 得 p23（ 2-13 ）3. 试导出平面应力问题中用应力表示的相容方程。dvQvQu8 =Y =-+y QyxyQxQy提示：平面问题的几何方程为8x二莎,平面应力问题的物理方程和平衡微分方程分别为)18yYxy+卩)dodT+ f :+yx二 0dxdyxdodT+ f :二 0+于dydxyxy4. 试导出平面应变问题中用应力表示的相容方程。提示：平面问题的几何方程为8dudvdvdudxxydx平面应变问题的物理方程和平衡微分方程分别为H21-dodT51-H2dxyxxy1-dodTxydxxy在弹性体中取包含x面、y面和p面且厚度

9、为1的微小三角板A、B ，如图所示。已知直角坐标中的应力分量o， T，试求极坐标中的应力分量o，o，T 。Xy xypwp6.在弹性体中取包含x面、y面和p面且厚度为i的微小三角板A、B,如图所示。设ax + a y o试导出三节点三角形单元的形函数56x1.试考虑下列平面问题的应变分量(s二 Axy, s 二 By3, y = C Dy2)是否可yxy能存在。是否可能在弹性体中存在。数为u = a + a x + a y， v = a +1 2 3 42.在无体力情况下，应力分量(o = A C2 + y2), o = B C2 + y2), t = Cxy)xyxy3.已知应力函数=Ay2

10、 C X2)+ Bxy + C(X2 + y2),试问此应力函数能否作为平面问题的应力函数。答：当A=0时，可以作为平面问题的应力函数。4. 已知应力函数二 丄xy(3h2 4y2),试问此应力函数能否作为平面问题的应力函2h3数，如果能，请求解应力分量。答：能。代入p57 (2-24)5. 如图所示梁受荷载作用，使用应力表达式求解其应力，Cx2y 4y3)，h32q y3 C y + C， h3126qTxyxy2 + C x，h3i ，1、在应力法中，应力分量在单连体中必须满足!込I叽（1（1）平衡微分方程；E 创 dov dv+亠+人=0分）分）（2）相容方程 矿（耳5）= 0;（5）应

11、力边界条伴（在s=）.分）将应力分量代入平衡微分方程和相容方程两者都能稱足分）2、校核边界备件（1）在主要边界上Q分）（1分）hG代入后満足3=-H4r CTJ： = 0,将 C将G、Q代入式 S 得到应力公式; 于-響（3宀2刃 碍丄-殳+ 2笞F 2 2k h2（.1 分）x -曲寸xy（2）再将式O）代入次要边界条件Cl分）（2分）主矢量为弘dy = 0V2x=Q主矩为一日时，Txy =（47- - 1），其主矢量为（亍呼）jF ；（2分）=-A（672y-4/）,其主矢量为0（1分）qh1分）由此可见.在次要边界上的积分条件均能滞足.悶此式（b）是图示 问题之解。6. 设单位厚度的悬臂

12、梁在左端受到集中力和力矩作用，体力不计，P h，试用应力函 数二Axy + By2 + Cy3 + Dxy3求解应力分量。沁、柱=1）zwzwlwzw:r%（D相容聂件：将+QS代人相容方程再城掳満址.应力分趟农达式or =謡=2B +6C3 十 6004 m = |y = , 5 一 *= * J 匕 _tF4y=Fm 得 E =一 穿*（J ,岛?=一尸 褂AA十+风&J i/T昼由式5】Jb）熬出MS -个次豊边畀条件3 F匕）在耶衡微分方稈和上述边界条件均巴満足 的条件下*是必然狷足的故不必再校核.代人应力公式得7. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为 ，试写出墙体横

13、截面边界 AA4 AB, BB啲面力边界条件。X1H7y二一卅【解f左边界a&楔形体在两侧作用有均布剪力q,如图所示。试求其应力分量。提示：可采用应力函数: 申=r 2(A cos 29 + B sin 29 + C9 + D )。仏十叫卄H畑H)上边界佔右边界君刮yh解 (1)应力函数帼=p2 (A5 sin 2即+芒卩+ D),进行求解由应力函数血得应力分量防3=2(1 cm 2i尸盂gae-Tiamw 2? - C/IJ xSIH 帶4 CCp井考察边界条件；根据对称性,得r二(a)叩）“2=?(b)（仅=0(c)J )-c/2 =耳(d)由式Ca)得 2 4 c o s tf +25

14、sin a 4C a A- 2 D =0(e)由式彳导 2 A sin ur 22? cose?-C = q(f)由式(c)得2 彳仃-2 fi sirt a -C a 4- 2D = 0（5）由式(d)得1 A s iJi a 2 B co s a-C = -q(h)f1 eh I 訂| . Cf (g). (h)联立求解，得/ =一2 s in ita c 0 3 ) = - cot 72将以上系数代入应力分量，得CFCOSf2 (p+ cot a )一 q (sinacos 2 力如此方程的左边的自变鱼为2 .右边的自娈呈为 和.等式要恒威立则要求两边只能是自变虽的函数.故可以孕討-警么

15、昭Bdy將这两个方程分别对3积分就得到血an -首+引黑+咫(刃/i 0勿- gi 0)严岛S(14)将(14)代入到(10)的第瓦 六个方程中，頒將到坊打_ 土血_壬刁+爲 -0-y- +_ 需心” + 町：-(亦 S 迟晋2三厂弘叫)(16： 广- 丄r 4 3.门八丄-谊)尸面引(15：左話斥汗，K朱v总匚馮刊(込为常数)另一方面.g 、 (16)两等式的左裁只为的函数从而要求等式豹左边不能有缶的项”也就是说心均为常数)将上两式分别对Z积分后有Y 3hz) =az 十 ey2z 十匚2E(19)苴中皿均为常数综合決上两个方面的讨论，(、(16)可以化简为CX -E 2和分就可以得到/3

16、(兀刃VC2EVC2小y + 中了 -+ c2, H-(20)将、 代入到(14)的两个方程中,可以_得到(z, z) =+-z2 +叫齐 _tUg+C*Q(21)22E 2Er、皿 2畑 2小=十十咛-呻7最后将八(21) . (20)分别代入(11).(12) 、(13)就得到了22 = + cxz) + - (vz2 + x2+ 遇立一遇加 + GSy222v = - (a?iy + cyz)-(YZ 一卞 一丁 )十见疋一十 GYw = - (axz 斗 byz +E2总10.如图所示，在悬臂梁端部受集中力P的作用，试用应力函数9 = Axy + Bxy3 + Cy3, 求其应力分量。

17、11.当应变为常量时，1二a 8y二b Y与=c，试求对应的位移分量。例2*4：当应变为常量时，,yxy=c ,试求对应的位移分量。u=fXy)+ax, v = f2(x)+by dfy)ax = df(y)=dy - dy _ ) =叫一lfi(x)+by_df2(x)_ | c f2(x)=v0+(c+a)x dxdx览二 + ax v = v0 + by+ (c + a)x12图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。 提示：边界条件为_lQ ) + m(T ) = X x sxy s _ m(c ) +1(t ) = Y Iy sxy s边界丿点处无应力作用图示薄板，在尹方向受均匀技力作用， 证明在板中闾宪出部分的尖点/处无应 力存在。平面应力问题在U AB边界上无面力作用，即rn sin %代入应力边界条件公式，有sm 尸护-+- oos耆 =o丿点同Sth于曲和的边界 满足式（0和C2）.解得jc = jt = o一i?.段界匕=00$ m =SM1 Ct宙应力边界条件公或，WKbJ* +mn州eh