七章不可压缩流体动力学基础

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1、第七章第七章 不可压缩流体不可压缩流体动力学基础动力学基础本章将讲述流体的三元流动，讲本章将讲述流体的三元流动，讲解有关流体运动的基本概念和基本解有关流体运动的基本概念和基本原理，以及描述不可压缩流体流动原理，以及描述不可压缩流体流动的基本方程和定解条件。的基本方程和定解条件。7.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析7.2 7.2 有旋流动有旋流动7.3 7.3 不可压缩流体连续性微分方程不可压缩流体连续性微分方程7.4 7.4 以应力表示的黏性流体运动微分方程式以应力表示的黏性流体运动微分方程式7.57.5 应力和变形速度的关系应力和变形速度的关系7.6 7.6 纳维斯托克斯方程

2、纳维斯托克斯方程7.7 7.7 理想流体运动微分方程及其积分理想流体运动微分方程及其积分7.8 7.8 流体流动的初始条件和边界条件流体流动的初始条件和边界条件7.1 7.1 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 一一.流体微团的概念流体微团的概念 在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充分小，可视为只有质量而无体积的分小，可视为只有质量而无体积的“点点”，流体微团，流体微团则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。体团。二二.流体微团运动分析流体微团运动分析 现以二元流动情形为例进行分析。现以二元流动

3、情形为例进行分析。假设流体在平面运动。于时刻假设流体在平面运动。于时刻t t，在流场中任意选取，在流场中任意选取一个方形平面流体微团一个方形平面流体微团ABCDABCD，轴向边长分别为，轴向边长分别为dxdx、dydy，设顶点，设顶点A A坐标为（坐标为（x,yx,y），），流速分量为流速分量为u,vu,v。利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点的速度分量，的速度分量，正四边形微团在经历了时间后将变成斜平行四边形 1.1.正四边形微团正四边形微团ABCDABCD在经历了在经历了 时间后将变成斜平行时间后将变成斜平行四边形四边形 ABCD

4、(ABCD(略，请参考书中证明过程）。略，请参考书中证明过程）。2.2.微团运动过程分解微团运动过程分解dt1)1)平移：正四边形流体微团作为一个整体平移到新的平移：正四边形流体微团作为一个整体平移到新的位置。由表位置。由表1 1可见流体微团上各点均含与可见流体微团上各点均含与A A点相同的速点相同的速度度 ，微团将以公有速度，微团将以公有速度 在在 时间内平移一个时间内平移一个微元距离微元距离 。参见图。参见图a a。2)2)转动：正四边形象刚体一样旋转。参见图转动：正四边形象刚体一样旋转。参见图b b。3)3)角变形：过角变形：过A A点的两条正交流体线之间的角度变化，点的两条正交流体线之

5、间的角度变化，与此相应的是正四边形形状的变化。参见图与此相应的是正四边形形状的变化。参见图c c。4)4)线变形：过线变形：过A A点的两条正交流体线伸长或压缩，与此点的两条正交流体线伸长或压缩，与此相应的是面积增大或缩小。参见图相应的是面积增大或缩小。参见图d d。综上可见，平移运动只改变四边形的位置而综上可见，平移运动只改变四边形的位置而不改变其形状、大小和方向。而后三种运动形式会使不改变其形状、大小和方向。而后三种运动形式会使四边形的形状、大小或方向发生变化四边形的形状、大小或方向发生变化。dtdt 三三.旋转角速度旋转角速度 将过将过A A点的任意两条正交微元流体线在点的任意两条正交微

6、元流体线在xyxy平面运动的平面运动的旋转角速度的平均值定义为旋转角速度的平均值定义为A A点流体旋转角速度在垂直该点流体旋转角速度在垂直该平面方向的分量，用平面方向的分量，用 表示。表示。ABAB线的旋转角速度为线的旋转角速度为 而而故故Z00limlimABttxtt x tx 0limABttxxxtx 同理可得同理可得AD线旋转角速度为线旋转角速度为所以所以 推广到三维空间即可得到推广到三维空间即可得到x和和y方向的旋转角速度分量方向的旋转角速度分量 和和 ADuy 1122zABADuxyxy12xwyz;12yuwzx 从而得整个流体微团的旋转角速度从而得整个流体微团的旋转角速度

7、为为 根据根据 是否为零，流体力学将流动划分为有旋流动是否为零，流体力学将流动划分为有旋流动和无旋流动。和无旋流动。如果在流场中的每一点处，流体微团的旋转角速度如果在流场中的每一点处，流体微团的旋转角速度 均为均为零，即零，即则称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动。反之则称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动。反之为有旋流动。为有旋流动。kjizyxkyuxjxwzuizyw2121210 xyz四四.角变形速率角变形速率 流体微团的任意相互垂直的两条线段之间的夹角随流体微团的任意相互垂直的两条线段之间的夹角随时间的变化速度称为直角变形速率时间的变化速度称为直角变形速率。三维空间可得

8、到三个正交方向的角变形速率分量为三维空间可得到三个正交方向的角变形速率分量为121212xyyxyzzyxzzxuyxwzyuwzx 五五.线变形速度线变形速度 一般将单位时间单位长度流体线的伸长量定义为线一般将单位时间单位长度流体线的伸长量定义为线变形速度。不难证明，流体微团沿三个正交方向的线变变形速度。不难证明，流体微团沿三个正交方向的线变 形速度分别为形速度分别为 、和和 。微团各边长度的变化将导致其体积的变化。可以微团各边长度的变化将导致其体积的变化。可以证明，沿三个证明，沿三个正交方向的线变形速度的代数和（正交方向的线变形速度的代数和（）即为流体）即为流体微团的体积膨胀速率。微团的体

9、积膨胀速率。对于不可压缩流体对于不可压缩流体这表明不可压缩流体的其体积膨胀速率等于零。这表明不可压缩流体的其体积膨胀速率等于零。xuyzwuwxyz0uwxyz流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动和变流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动和变形运动，而变形运动又包括线变形和角变形两种。某点形运动，而变形运动又包括线变形和角变形两种。某点速度可表示为速度可表示为dxdzdydxdzuxuyxyzyyzxyy0dydxdzdydxuxuzyzxzzxyzz0dzdydxdzdyuxuxzxyxxyzxx0其中，流体微团其中，流体微团的线变形速度为的线变形速度为旋转角速度分量为旋转角速度分量为

10、)(21zuyuyzx)(21xuzuzxy)(21yuxuxyzxuxxxyuyyyzuzzz角变形速度分量为角变形速度分量为yuxuxyyxxy21xuzuzxzxxz21zuyuyzzyyz217.27.2 有旋运动有旋运动 流体质点的旋转角速度流体质点的旋转角速度 的运动称的运动称为有旋运动。为有旋运动。0一一 涡线、涡管和涡束涡线、涡管和涡束 1.涡线涡线定义定义:某一瞬时有旋场中的一条曲线，曲线上任意一点的某一瞬时有旋场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时由定义推

11、导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为角速度为取过该点涡线上的微元矢量为取过该点涡线上的微元矢量为根据定义，这两个矢量方向一致，根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为矢量积为0，即，即得到得到 (1)这就是涡线的微分方程。这就是涡线的微分方程。kjizyxkdzjdyidxsd0 sdzyxdzdydx 2.涡管涡管 定义定义:某一瞬时，在漩涡场中任取某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线一封闭曲线c(不是涡线不是涡线)，通过曲线，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面闭的管形曲面。如果曲线如果曲线c构成的是微小截面，那构成的是微小截面，那么该涡

12、管称为么该涡管称为微元涡管微元涡管。横断涡管并与其中所有涡线垂直的横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面断面称为涡管断面，在微小断面上，各点的旋转角速度相同。上，各点的旋转角速度相同。3.涡束涡束涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中，微元涡管中的涡束称为的涡束称为微元涡束微元涡束。1.涡通量涡通量定义定义:在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的的乘积称为微元涡管的涡通量乘积称为微元涡管的涡通量(旋涡强度旋涡强度)dJ (2)对任一微元面积对任一微元面积dA而言，有而言，有对有限面积，

13、则通过这一面积的涡通量应为对有限面积，则通过这一面积的涡通量应为 (3)dAdJ2dAAddJn22AndAJ22.速度环量速度环量定义定义:某一瞬时在流场中取任意闭曲线某一瞬时在流场中取任意闭曲线 ，在线上取一微，在线上取一微元线段元线段 ，速度，速度 在在 切线上的分量沿闭曲线切线上的分量沿闭曲线 的线积分，的线积分，即为沿该闭合曲线的速度环量。即为沿该闭合曲线的速度环量。(4)表示速度矢量与该点切线方向的夹角。表示速度矢量与该点切线方向的夹角。将将(4)写成标量积的形式，为写成标量积的形式，为 (5)速度环量是标量，有正负号，速度环量是标量，有正负号，规定沿规定沿曲线逆时针绕行的方向为正

14、方向，曲线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。lldldvlllldlvldvcosllzyxldzvdyvdxvldv)(7.37.3 不可压缩流体不可压缩流体连续性微分方连续性微分方程程 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。一、三维流动连续性方程一、三维流动连续性方程 假定流体连续地假定流体连续地 充满整个流场，从中充满整个流场，从中 任取出以任取出以 点为中心的微小六面点为中心的微小

15、六面 体空间作为控制体如体空间作为控制体如 右图。控制体的边长右图。控制体的边长 为为dxdx，dydy，dzdz，分别，分别 平行于直角坐标轴平行于直角坐标轴x x，zyxo，y y，z z。设控制体中心点处流速的三个分量为。设控制体中心点处流速的三个分量为 ,液液体密度为体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M M的质点的质点在在x x方向的分速度为方向的分

16、速度为 通过控制体后表面中心点通过控制体后表面中心点N N的质点在的质点在x x方向的分速度为方向的分速度为 因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿布。所以单位时间内沿x x轴方向流入控制体的质量为轴方向流入控制体的质量为zyxuuu，dxxuuxx21dxxuuxx21dydzdxxuuxx21 流出控制体的质量为流出控制体的质量为 于是，单位时间内在于是，单位时间内在x x方向流出与流入控制体的质量差为方向流出与流入控制体的质量差为 同理可得在单位时间内沿同理可得在单位时间内沿y y，z z方向流出与流入控制

17、体的质方向流出与流入控制体的质量差为量差为 和和 由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。所以内所减少的质量。所以dxdydzxudydzdxxuudydzdxxuuxxxxx2121dxdydztdxdydztdxdydzzuyuxuzyxdydzdxxuuxx21dxdydzyuydxdydzzuz 整理得整理得 此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非定常

18、流。定常流。对于定常流：对于定常流：，上式成为，上式成为 对于均质不可压缩流体对于均质不可压缩流体 ，则不论定常流或非定常流均，则不论定常流或非定常流均有有 对二维流动连续性微分方程为对二维流动连续性微分方程为 上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。0zuyuxutzyx0t0zuyuxuzyxc0zuyuxuzyx0yuxuyx 二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程 如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为为A A1 1、A A2 2，在从总流中任取一个

19、元流，其进、出口断面的，在从总流中任取一个元流，其进、出口断面的面积和流速分别为面积和流速分别为dAdA1 1、v v1 1；dAdA2 2、v v2 2。根据质量守恒原理，根据质量守恒原理，单位时间内从单位时间内从dAdA1 1流进的流体质量等于从流进的流体质量等于从dAdA2 2流出的流体质流出的流体质量，即量，即 对于不可压缩均质流体，对于不可压缩均质流体，。上式变为。上式变为 总流是流场中所有元流的总总流是流场中所有元流的总 和，所以由上式可写出总流和，所以由上式可写出总流 连续性方程连续性方程cdAvdAv222111c21cdqdAvdAv22112211AvAv 7.47.4 以

20、应力表示的黏性流体运以应力表示的黏性流体运动微分方程式动微分方程式 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。在粘性流体表面上任取一点在粘性流体表面上任取一点N，过过N作微元面积作微元面积A，其外法线方向矢量为其外法线方向矢量为 ，切线方向为，切线方向为 ，N点的表面应力点的表面应力分为法向应力分为法向应力pn和切向应力和切向应力，pn和和随微元面积随微元面积A在空在空间的位置而变化。在直角坐标系中将间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和和沿沿x，y，z三三个坐标轴分解成个坐标轴分解成9个应力分量，即个应力分量，即 。（注意：应力符号中的下标，下标

21、第一个字母表示作用面的法线方（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用线的指向。）向，第二个字母表示应力作用线的指向。）在这在这9个分量中，个分量中，因此只，因此只有有6个独立分量。个独立分量。nzzxyzxyzyyyxxzxyxxpppyxxyzxxzzyyz 在粘性流体的任意点在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行附近，取一棱边平行于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、dy、dz，表面应力在表面应力在y轴上分量如图。轴上分量如图。y轴上合力为：轴上合力为：（1）流体微团质量与流体微团质量与y轴加速度的乘积

22、为轴加速度的乘积为 （2）YdxdydzdxdydzzypxYdxdydzdxdydzzdxdydydzdxxdydzdxdzdyyppdxdzpzyyyxyzyzyzyxyxyxyyyyyyy)()()()(dtdvYdxdydzy对于对于x、z轴同理有轴同理有 （3）方程（方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通常常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应已知，方程应包含六个应力及三个速度分量，共包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程个未知数。而方程（3）加上连续性方程也只有）加上连续性方程也只有

23、4个方程，无法求解，必须个方程，无法求解，必须找出新的补充关系式。找出新的补充关系式。dtdvzypxYxzyyyxy)(1dtdvzpyxZdtdvzyxpXzzzyxxzxzxyxxx)(1)(1由牛顿第二定律（由牛顿第二定律（1）=（2），化简得），化简得7.57.5 应力和变形速度的关系应力和变形速度的关系 由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为 （4）在层流中取正方形流体微元面积在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间存在相对流层间存在相对速度，在运动中必然变形，经时间速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成后变成abcd，ab边线的

24、转角为边线的转角为 ，那么角变形速度为，那么角变形速度为 ，牛顿内摩擦定律也可以写成，牛顿内摩擦定律也可以写成 dndvddndvdttgdddndvdtddtd流体微团绕流体微团绕z轴的剪切角速度为轴的剪切角速度为 流体微团各表面上的切应力为流体微团各表面上的切应力为 （5）法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，法向应力用平均值法向应力用平均值p作为某点的压力作为某点的压力 ，可，可认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加压应力，即压应力，即 ，xyyxxvyvd2）（xzzxz

25、xxzyzzyzyyzxyyxyxxyxvzvyvzvxvyv2)(2)(2)()(31zzyyxxppppxxxxpppyyyypppzzzzppp附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到:(6)方程（方程（6）称为广义牛顿内摩擦定律。）称为广义牛顿内摩擦定律。因此因此 (7)由不可压缩流体的连续性方程由不可压缩流体的连续性方程，将方程（，将方程（7）中三个式子）中三个式子相加后平均得到，正好验证了前面的论述。相加后平均得到，正好验证了前面的论述。zvpyvpxvpzzzyyyxxx222zvppyvppxvppzzzyyyxxx2227.67.6 纳维斯托克斯方

26、程纳维斯托克斯方程将方程（将方程（5）、）、(7)代入方程（代入方程（3），对于），对于x轴方向的方程为：轴方向的方程为：化简化简dtdvxvzvzxvyvyxvpxXxzxyxx)()()2(1dtdvzvyvxvxzvyvxvxpXxzyxxxx)()(1222222方程右边第三项引入方程右边第三项引入Laplace算子算子 ，第四项由连续性方程判断应该等于第四项由连续性方程判断应该等于0，最后得到，最后得到 （8）方程（方程（8）就是不可压缩流体的）就是不可压缩流体的Navier-Stokes方程，简称方程，简称N-S方程。该方程是一个二阶非线性偏微分方程组，目前方程。该方程是一个二阶非

27、线性偏微分方程组，目前尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解dtdvvzpZdtdvvypYdtdvvxpXzzyyxx2221112222222zyx7.77.7 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程及其积分及其积分流体为理想流体时，运动粘度，流体为理想流体时，运动粘度，NS方程简化为方程简化为zuuyuuxuutuzpZzuuyuuxuutuypYzuuyuuxuutuxpXzzzyzxzyzyyyxyxzxyxxx111如流体处于静止状态，则010101zpZypYxpX7.87.8 流体流动的初始条件和边流体流动的初始条件和边界条件界条件初始条件：初始条件：指方程组的解在初始时刻应满足的条件指方程组的解在初始时刻应满足的条件边界条件：边界条件：指在流场的边界上，方程组的解应该满足的条件指在流场的边界上，方程组的解应该满足的条件大致包括固体壁面边界，两种流体介质（流动介大致包括固体壁面边界，两种流体介质（流动介质和周围介质）和分界面以及管道的出入口等质和周围介质）和分界面以及管道的出入口等