高等数学无穷级数课件

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1、无穷级数无穷级数第一节第一节 数项级数及其敛散性数项级数及其敛散性第二节第二节 幂级数幂级数 一、常一、常数项级数及其敛散性数项级数及其敛散性 1级数的概念级数的概念定义定义1 设给定一个数列设给定一个数列 则表达式则表达式 （11111 1）称为常数项无穷级数常数项无穷级数，简称数项级数，数项级数，记作 即 其中其中第第n 项项 称为一般项或通项称为一般项或通项,321nuuuunuuuu321nnnuuuuu32111nnunu第一节第一节 常数项级数及其敛散性常数项级数及其敛散性例如，级数 的一般项为又如级数的一般项为 简言之，数列的和式称为级数级数.定义定义2 设级数的前项之和前项之和

2、为 称Sn为级数的前项部分和前项部分和当依次取1，2，3，时，431321211.)1(1nnun)311ln()211ln()11ln()11ln(nunnkknnuuuuuS1321 ，数列 称为级数 的部分和数列部分和数列若此数列的极限存在，即 (常数),则S 称为 的和，记作此时称级数 收敛收敛如果数列 没有极限，则称级数 发散发散，这时级数没有和 11uS 212uuSnnuuuS21nS1nnuSSnnlim1nnuSunn11nnunS1nnu当级数收敛时，其部分和 是级数和S的近似值，称 为，记作 ，即 例例1 判定级数 的敛散性.解解 已知级数的前n项和是：nSnSS nr2

3、1nnnnuuSSr)1(1431321211)1(11nnnnn因为 ,所以这个级数收敛,其和为1.)111()3121()211()1(1321211nnnnSn111n1111limlimnSnnn例例3 讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性.1121nnnaqaqaqaaq解解(1)前n项和当 时，所以，其和当 时，所以级数 .(2)当 时，于是 1qqqaaqaqaqaSnnn11121qqaSnn1limqaS11qnnSlim11nnaq1q1q111nnnaaqnaSnnnlimlim所以级数 发散.当 时，其前n项和显然，当n时，Sn所以，级数 发散.综上所述，等比级数 ，当

4、 时收敛,当时发散.11nnaq1q11111nnnnaaq为偶数时，当为奇数时，当nnaSn011nnaq11nnaq1q1q注意注意 几何级数 的敛散性非常重要.无论是用，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础基础.11nnaq2数项级数的基本性质数项级数的基本性质 性质性质1 如果级数 收敛，其和为s,k为常数，则级数 也收敛，其和为ks；如果级数 发散，当k0时，级数 也发散.由此可知，.1nnu1nnku1nnu1nnku性质性质2 若级数 与 分别收敛于与 ，则级数 ，收敛于性质性质，级数的敛散性不变.性质性质4 若级数 收敛，则所得的级数.应当注意，.即如果

5、加括号后级数收敛，原级数未必收敛.1nnu1nnv1)(nnnvu1nnu例如级数 （1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+.性质性质5（）例例5判别级数 的敛散性解解 因为所以级数 发散.例例6判别级数 的敛散性.1nnu0limnnu12735231nn02112limlimnnunnn112nnn1111121nnnnn解解 级数 与级数 都收敛，故由性质2知，级数 收敛.注意注意 .应当看到，性质5只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使 ，也不能由此判定级数 收敛.11121nnn111nnn1111121nnnnn0lim

6、nnu1nnu01limnn11nn例例7 证明调和级数 是发散级数.证证 调和级数部分和 如图，考察曲线 11nnnknkS11 ，所围成的曲边梯形的面 积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.所以，阴影部分的总面积为它显然曲边梯形的面积S，即有01,1,1ynxxxy和nAAAAn1,31,21,1321nknkkknAA111131211nknnknxdxxAA111111ln|ln1而 ，表明A的极限不存在，所以该级数发散.nn1lnlim二、二、及其敛散性及其敛散性如果 0（n=1,2,3），则称级数 为级数级数 定理定理1 例例1 证明正项级数 是收敛的证证 因为于是对任意的有

7、nu1nnu0!1!21!111!1nnn,4,3,221222113211!11nnnn即，故级数 收敛.定理定理2（比较判别法）设 和 是两个，且 2221212111!11!21!111nnnS3213211211121nn0!1nn1nnu1nnvnnvu 1nnv1nnu1nnu1nnv例例2 讨论 级数 （）的敛散性（证明了解，结论结论）解解 当 时，因为 发散，所以由比较判别法知，当 时，发散.当 时，顺次把 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它的各项显然小于级数 P11npn0P1Pnnp1111nn1P1PP)15181()71615141()31

8、21(1pppppppp)8181()4141()2121(1pppppp对 应 的 各 项，而 所 得 级 数 是 等 比 级 数，其 公 比为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛.注意注意 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关 级数敛散性的.31211)21()21(211ppp1211pq1P11npnP11npn1P1PPP 例例3判定级数 的敛散性.解解 因为级数的一般项 满足而级数是p2的 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.411631521nn411nnun214110nnnP重要参照级数:。定理3 比较判别法的极限形式:.lim 11lvuvunnnnnnn 同

9、同上上，且且和和则和nu同时收敛，同时发散nv时，当 0 l注注:须有.比较审敛法的不方便解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim ,1 发散发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,nn收收敛敛而而 131故原级数收敛故原级数收敛.定理定理4（达朗贝尔比值判别法）设 是一个正项级数，并且 ，则 (1)当 时，级数收敛；(2)当 时，级数发散；(3)当 时，.例例6 判别下列级数的敛散性 (1)；(2)1nnuquunnn1lim1qqq 或11q1223nnnn1!11nn 解解(1)所以级数 发散；(2)所以级数 收敛.2222121113lim32213

10、limlimnnnnuunnnnnnnnn12311123lim2nn1223nnnn101lim!1limlim1nnnuunnnnn1!11nn练习练习 判别收敛性判别收敛性:(1)1!1nn;解解!1)!1(11nnuunn 11 n0.收敛收敛1 !1010)!1(11nnuunnnn 101 n.发散发散(2)110!nnn;解解定理定理6(根值判别法，柯西判别法根值判别法，柯西判别法)w 设 为正项级数，且w（1）当 时，级数收敛；w（2）当 时，级数发散；w（3）当 nnnulim1)lim(1n11nnu注意注意:,11 npnp 级级数数对对例例nnnuu1 lim 总有总有

11、nnnu lim .1 (1)11nnn;nnnulim0 nn1lim.收敛收敛解解.)12(21)2(1nnn解解)22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值审敛法失效比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn nnnn2)12(1 lim 2 或或4/1.收敛收敛要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件如果 ，则级数发散，否则需进一步判断.(2)用比值判别法 如果 ，即比值判别法失效，则改用判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须，以便与要判定的级数进行比较

12、，经常用来作为比较的级数有等比级数，级数等.0limnnu1lim1nnnuuPP三、三、及其敛散性及其敛散性级数 称为交错级数交错级数.定理定理4（莱布尼兹判别法）如果交错级数 满足莱布尼兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数 收敛，其和 S ，其余项 ),2,1,0()1(11nuunnnn),2,1,0()1(11nuunnnn,3,2,1,1nuunn0limnnu),2,1,0()1(11nuunnnn1unr1nu例例6 判定交错级数 的敛散性.解解 此交错级数 ，满足：(1)；(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、四、定义定义3 对于级数 ,若 收敛，则称 是绝对收绝对收敛

13、敛的；若 收敛，而 发散，则称 是条件收敛条件收敛的.nn114131211111,11nununn111nn01limlimnunnn1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu定理定理5 绝对收敛的级数必是收敛的绝对收敛的级数必是收敛的.例例7 判定级数 的敛散性.解解 因为 ，而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，从而原级数 绝对收敛.12sinnnna2sinnna21n121nn12sinnnna12sinnnna例例8 判别级数 的敛散性，说明是否绝对收敛.解解 因为 故由可知级数 收敛，所以原级数 绝对收敛.11131nnnn13131lim331limlim11nnn

14、nuunnnnnnn1113nnnnnu11131nnnn例例9 判别级数 是否绝对收敛.解解 因为 故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 .11!1nnnnn111lim1lim!11limlim11ennnnnnnuunnnnnnnnnnn11!nnnnnnu!111nnnnn例例10 证明级数 .证证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而 为调和级数，它是，故所给级数条件收敛.111nnn111nnn11111nnnnn 第二节第二节 幂级数幂级数 一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.函数项级数如果级数 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数为函数项级数函数项级数，un(x)

15、称为一般项一般项或通项通项.当x在I中取某个特定值 时，函数项级数就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收敛点收敛点。若发散，则称点 为这个级数的发发散点散点.对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数 )()()(21xuxuxun0 x0 x0 xS(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数和函数，即 其中 x 是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作 ，则在收敛域上有 2.幂级数的概念幂级数的概念 形如 )()()()(21xuxuxuxSn)(xSn)()(limxSxS

16、nnnnnnnxxaxxaxxaaxxa020201000的函数项级数，称为 的幂级数的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数幂级数的系数.当 0时，幂级数变为称为 x 的幂级数的幂级数.(1)幂级数的收敛半径 x 的幂级数各项取绝对值，则得到0 xx,210aaana,0 xnnnnnxaxaxaaxa22100由比值判敛法其中 当 时，若 ，即 ，则，若 即 ，则级数发散.这个结果表明，只要 就会有一个对称开区间在这个区间内幂级数，在这个区间外幂 nnnnnxaxaxaaxa22100 xxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlimnnnaa1lim01xRx11xRx1

17、0RR级数发散，.称 为幂级数的收敛半径收敛半径.当 时，则级数对一切实数 x都绝对收敛，这时收敛半径 .如果幂级数仅在 x0一点处收敛，则收敛半径R0.定理定理1 如果x的幂级数的系数满足 则(1)当 时，1R010 xRnnnaa1lim01R(2)当 时，(3)当 时，(2)幂级数的收敛区间 若幂级数的，则称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内，0R例例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域 (1)(2)(3)解解 (1)因为 所以幂级数的收敛半径 .所以该级数的收敛域为（-，+）；0!nnnx1nnnx1nnnxn011lim!1!limlim1nnnaannnnnR (2)因为 所以所给

18、幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散 ；当x=-1时，级数为交错级数，收敛 故该级数的收敛域为-1,1).11limlim1nnaannnn11nn1)1(nnn(3)因为所以所给幂级数的收敛半径 .因此没有收敛区间，收敛域为 ，即只在 处收敛.111lim1limlim11nnnnaannnnnnnn0R0|xx0 x例例2 求幂级数 的收敛半径解解 所给级数，根据当 ，即 时，所给级数绝对收敛；当，即 时，所给级数发散.因此，所给级数的收敛半径 .0122nnnx2212121122lim22limlimxxxxuunnnnnnnnn12

19、2x22x122x22x22R二、幂级数的性质二、幂级数的性质性质性质2 设 记 ，则在（-R,R）内有如下运算法则：(1)加（减）法运算 0nnnxfxa ,;,0110nnnnnnxgxbRRxxfxa22,RRx21,minRRR 000nnnnnnnnnxgxfxbaxbxan性质性质3（微分运算）设 ，收敛半径为 R，则在 （-R,R）内这个级数可以，即且收敛半径仍为 R.0nnnxSxa xSxnaxaxannnnnnnnn0100性质性质4（积分运算）设 ，收敛半径为 R，则在（-R,R）内这个级数可以，即且收敛半径仍为.0nnnxSxa 00100001nxnnnxnnxnnndxxSxnadxxadxxa例例4 求 的和函数 解解 设 两端得 两端积分得即 0121211nnnxn 012121)1(nnnxnxS 1,1,11120202xxxxxSnnnn 1,1,arctan1102xxdxxxSx1,1,arctan1211012xxxnnnn 当 x=-1时，收敛；当 x=1时，收敛，所以 12110nnn12110nnn1,1,arctan1211012xxxnnnn