三割线定理的简证与推广

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1、三割线定理的简证与推广徐文平东南大学南京 210096）摘要：针对侯明辉三割线定理，提出简化证明方法。运用极点和极线性质，探讨三割线定理的本质 验证三割线定理在圆锥曲线中的正确性。1、三割线定理介绍定理1： PAB、PCD为圆的任意割线，AD与BC交于点Q, PQ连线与圆交于点E、F, 则PQ调和分割EF,即卩1/PE+1/PF=2/PQ图 1侯明辉先生发现并命名的三割线定理1, 在平面几何中圆类问题的计算和论证方面有 着广泛的应用,依靠这个定理解题的步骤可以大大的简化。作者深受启发,探寻定理简证方 法,并拟推广到圆锥曲线之中,供大家鉴析。2、椭圆切线作法1）勒姆柯尔方法勒姆柯尔过椭圆外一点P

2、,引四条割线PAiB（i=1,2,3,4）,直线A1B2与A2B1交于Q点， 直线A3B4与A4B3交于R点，直线Q R交椭圆于S、T两个点，则S、T是椭圆对应点P的 两个切点，直线PS、PT就是所求的切线（图2）。A：Bi图 2图 3图 42）舒马赫方法 大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法，写信给高斯，信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法。（图3）。3）高斯方法高斯在收到舒马赫的信第六天，回信提出了一个只需引两条割线。就可以作椭圆切线的 简捷方法（图 4）。3、三割线定理的简证引理1:从圆外一点P,引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，A、B点为割线 与圆的交点

3、，切点弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。PA _ PBAQ _ QB图 5如图5,假设N点为AB的中点，分析得知，AB丄ON,Q、M、N、O四点共圆,贝y PQ PN 二 PM PO POT与氐PMT是相似三角形，PT2二PM POPT 2 二 PA PBPQ PN 二 PA PBPN =(PA + PB)/2 ,. PQ (PA + PB)二 2PA PB1 1 2+ =. PQ 调和分割 AB。引理2：从圆外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割 线，与圆交于A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC直线交于Q点，AC与BD延伸交 于R点，则S、T、Q

4、、R四点共线。（高斯定理的证明）图 6PA PB PQ联结 AS、SB、BD、DT、TC、CA 直线，得圆内接的凸六边形 ASBDTC。 欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。BD . tc as对于圆内接凸六边形ASBDTC,利用塞瓦定理，只须证明二1DT - CA - SB PBDsA PCA, PTCsA PDT, PASA PSB,BD _ PBCAPC，TC _ PCDTPTAS _ PSDBTCCADBDTTCDTAS _ PB PC SBPC PTAS二 1SBCA因此，BC、AD、ST三线共点,S、Q、T 三点共线。 在三角形A RCD中，假设M点为RQ与C

5、D的交点,CM DB RA 1MD BR AC由赛瓦定理得： A RCD 被直线 PB 所截,由梅涅劳斯定理得：RB DP CA 1 DB PC AR将上面两个式子相乘得:CM DP-1MD PC即：CM _ PCMDDP.CD被PM调和分割，同时PM被CD也调和分割。依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线， M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。简证1（侯明辉三割线定理）：PAB、PCD为过椭圆外一点P引出的两条任意割线，AD 与BC交于Q,直线PQ交椭圆于E、F,则PQ调和分割EF,即卩1/PE+1/PF=2/PQ。如图7,由引理2可知，AD与BC交

6、于Q,则Q点在以P点为极点的ST极线上。由 引理1可知，因为Q点在ST极线上，则PQ调和分割EF。因此，对于在圆的情况下，三 割线定理成立。依据坐标线性变换原理，圆转换为椭圆，直线段仅是线性变换其位置，线段比例关系 不变，因此，对于在椭圆的情况下，三割线定理也成立。图 74、圆锥曲线三割线定理的推广和简证新定理 2：极点与对应极线上任意一点调和分割该两点连线与圆锥曲线相交的两点。如图8,已知椭圆外一点P,作两条切线PS和PT,连接ST,作割线PAB,且该割线证明：由帕斯卡定理可知，EPFR四点共线，EF为Q点的极线，图8形状成立。 依据完美四边形ASBTEF的基本特性可知，E、P、F、R四点调

7、和分割，EF调和分割PR。 由射影几何知识可知即以B点为射影点分析S、Q、T、R四点连线，ST调和分割QR。 由射影几何知识可知，以E点为射影点分析B、Q、A、P四点连线，AB调和分割PQ。 依据极点与极线的对偶性，如果P点在椭圆内部，任意选取极线上一点Q,定理2也成立。 同理：采取类似构图方法，可以快速证明双曲线和抛物线中，定理2 也成立。证明完毕。5、三割线定理的运用例1：圆I是三角形ABC的内切圆，圆I切BC边于D点，AD交圆I于M点，过M、 D两点的圆I的切线交于P点，E是DM上的一点，BE、CE分别交圆I于G、F两点，求图 9如图9中，从P点作一个割线PFG,交AMD于Q点。极点P与

8、极线AMD相对应，依据侯明辉三割线，则G、Q、F、P四点调和。依据题意可知：B、D、C、P四点调和分割。（详见补证1）依据射影几何原理，E点是射影点，则BG、DM、CF交于一点E,证明完毕。 补证1：如图10中，假定S、T为切点，圆I是三角形ABC的内切圆， 贝y, AS=AT，BS=BD， CD=CT,即：切线长度相等。利用比赛瓦定理，可以证明AD、BT、SC三线交于一点R，由于A、M、D三点共线，依据极点与极线对偶性，则ST、MP、DP交于一点P， 分析ASRTBC完美四点形，可知，BC调和分割DP, B、D、C、P四点调和分割。例23：如图11,抛物线外一点P,作割线PAB和PCD, BC和AD交于点Q,连线 PQ交抛物线于E、F点，则PQ调和分割EF, 即卩1/PE+1/PF=2/PQ。图 11参考文献：1 侯明辉三割线定理J,中学数学教学参考，2005.92 李建华.射影几何入门M,科学出版社，2011.63 庞耀辉三割线定理的推广J,中学数学月刊，2006.64 徐文平圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理J,数学学习与研究2014.13