平面直角坐标系中的基本公式

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1、第 2 1 2 节 平面直角坐标系中的基本公式一、教材思路解读1. 本节学习的重点平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式的掌握和利用。平面直角坐标系中两 点距离公式的推导是充分利用平面几何知识向轴上转化，注意知识的综合利用；在学习过程中，要逐步体会并熟 悉解析法的基本思想是数形结合，逐步理解并掌握用“坐标法”解决平面几何问题的步骤，学会构造直角三角形 解决相关问题。二、情景引入A/(70*5(/31r iff 】:0* 50* 7011 1f LItr16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力 学、航海等方面都对几何学提出了新的要求。1637年， 法国的哲学家和数学家笛卡尔潜心研

2、究，对当时的几何和 代数的研究方法进行了分析和比较，因此他主张采取代数 和几何中二者最好的东西，互相取长补短，他所做的工作 於j 就是把代数应用到几何上去。笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系，x, y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性 / 质，这就是解析几何的基本思想。三、知识与(一)平面在直角坐标系内，设两点P(x),P(x ,y ),1 1 1 2 2则P，P2两点间的距离为气P1二斤。特别地，当PP平行于x轴时，I PP曰x - x I ；12 1 2 2 1当PP平行于y轴时，I PP I=I y - y I

3、 ；12 1 2 2 1理解辨析1 平面内两点间的距离公式建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，将即不平行也不垂直于坐标 轴的线段分解成垂直于坐标轴的线段，通过端点坐标利用直角三角形的勾股定理推出的；2. 推倒过程体现了 “化斜为直” “化一般为特殊”的数学思想；3. 两点间的距离公式是解析几何最重要最基本的公式，以后许多知识以它为基础。(二)解析法(坐标法)1. 在坐标系的基础上，利用代数方法来解决平面几何问题的方法称为解析法。直角坐标系是沟通“数”与“形” 的桥梁，是建立解析几何理论的基础，解析法解题则是直角坐标系这种巨大作用的初步体现。2解析法解决问题的步骤： 建立适当的坐标系； 设出点

4、的坐标； 通过代数计算得出某种代数结论； 返回到几何问题的结论。3.平行四边形的重要结论：平行四边形两条对角线的平方和等于它的四边的平方和。温馨提示该结论可将平行四边形的边长进行转化、化简，还可以帮助求三角形一边的中线长度。(三)中点公式与中心对称X + xy + y1中点公式：已知A(x , y ),B(x , y )，设点M(x, y)为线段AB的中点，则x二t 2, y二t2。此为线1 1 2 2 2 2段AB的中点坐标的计算公式，简称中点公式。理解辨析该公式的推导仍然是将线段AB的两个端点A、B及中点M投影到x轴和y轴上，利用坐标的意义及数轴的相关公式得到。它的作用很大，凡涉及中点的问

5、题(包括中心对称)都要应用它解决。2. 中心对称 若一个图形C绕着点M旋转180后，与图形C重合，则称这两个图形关于点M成中心对称；1 。 2 若一个图形本身绕着点M旋转180后，仍与自身重合，则称该图形本身关于点M成中心对称；O 若一条线段AB的中点为M,则称A点与B点关于点M成中心对称，故中心对称问题与线段的中点问题一致; 特别地，当A点与B点关于坐标原点成中心对称，且点A的坐标为(x, y)时，则点B的坐标为(-x,-y)；反过来，若点A的坐标为(x, y)的坐标为(-x,-y)时，则A点与B点关于坐标原点成中心对称。【拓展引申】1. A(x,y)关于x轴的对称点B(x,-y)；2. A

6、(x, y)关于y轴的对称点B(-x, y)；3. A(x, y)关于直线y = x的对称点B(y,x)；4. A(x, y)关于直线y =-x的对称点B(y，-x).四、技能应用解读题型1：考查两点间的距离公式例1：已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10,求点P的坐标。分析 设出点 P 的坐标，根据两点间的距离公式，列方程求解。详解设点P的坐标为(x,0)，由d(P, A)二10得叙x - 3)2 + (0 - 6)2 二 10解得x = 11或x = 一5。所以点P的坐标为(一5,0)或(11，0)。【评注】用待定系数法设出点的坐标，用方程的思想求解。例2：已知两点A(2,

7、2)和B (5, -2)，试问是否能在坐标轴上找一点P,使得ZAPB为直角？分析先假设能找到这样的P点，由AP丄PB,得AAPB为直角三角形，利用勾股定理探求。详解假设在x轴上能找到一点P(x,0)，使得ZAPB为直角。由勾股定理可得：I PA |2 +1 PB |2 =| AB |2(： (x 2)2 + 22 )2 + (：(x 5)2 + (2)2)2 = (：(5 2)2 + (2 2)2 )2即(x 2)2 + 22 + (X 5)2 + (2)2 二(5 2)2 + (2 2)2化简，得 x2 一 7 x + 6 = 0解得x二1或x二6。1 2在x轴上存在点P(1,0)或P(6,

8、0)，使得ZAPB为直角。假设在y轴上能找到一点P (0, y)，使得ZAPB为直角。同样由勾股定理可得(0 - 2)2 +(y 一 2)2 + (0 - 5)2 +(y + 2)2 = (5 - 2)2 + (2 - 2)2化简，得y 2 + 6 = 0，此方程无实数解。所以在y轴上不存在P点，使得ZAPB为直角。综上所述，在坐标轴上存在两点P(1,0)或P(6,0)，使得ZAPB为直角。【评注】本题需要分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况进行分类讨论，解题时不可漏掉情况。变式练习1.已知A(1,3)、B(3,1)，点P在坐标轴上，ZAPB二90 ,贝y满足条件的P点的个数为()OA.4个B

9、.3个C.2个D.1个变式练习2.已知点A(8,6)，在y轴上的点P与点A的距离等于10,求点P的坐标。题型2：考查中点坐标公式例3：若AABC的两个顶点为A(3,7), B (2,5)，且AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，求点C的坐 标。分析先设出C点的坐标，再根据中点公式解题。详解设点c的坐标为C (x, y)，AC的中点为M (x , y )，BC的中点为N(x , y )。1 1 2 27 + y由AC的中点在x轴上，得y二二0，解得y = 7；1 22 + x由BC的中点在y轴上，得x二二0，解得x二2。2 2 C点的坐标为C(2,-7)。【评注】本题涉及到两个中点，故分别利用

10、中点公式求解。变式练习3.点M(2,2)平分线段ab,其中A(x,3), B(8,y)，则x,y的值分别是()A.8,3D.4,1例4：平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(2,3), B(4,0), D(5,3)，求顶点C的坐标。分析运用中点坐标公式先求出平行四边形ABCD的两条对角线的交点M的坐标，再求顶点C的坐标。详解设AC与BD的交点为M (a, b)，则M为BD的中点。由中点坐标公式可得又设C (x, y)，则M为线段AC的中点,所以3_3 + y解得x7y0所以点c的坐标为(7 ,0)。【评注】 本题主要考查了平行四边形对角线的性质：相互平分。在解决解析几何问题时，要充分考虑图

11、形的基 本特征，利用初中所学的平面几何的结论来解决问题，简洁方便。题型3：考查坐标法例5：已知M为等腰三角形ABC底边BC上任意一点，求证：I AB b I AM b +1 BM I -1 MCI分析 抓住等腰三角形的特点，巧妙建立直角坐标系，利用两点间距离公式解题。详解取BC的中点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系。设A、B两点的坐标分别为(0,b),(一a，0)，则C点的坐标为(a,0)I AB I2 a2 + b2令M 的坐标为（x,0），则丨 AM 12 4ZM 11 MC I x br a 启）/ x-）=x 2 + b 2 + a 2 一 x 2 a 2 +

12、 b 2，.I AB I2 I AM I2 +1 BM I -1 MC I【评注】本题将点B、c放在y轴上，0为坐标原点证明；若将点A放在x轴上，同样也可以证明。变式练习4.已知AO是厶ABC的边BC的中线，证明：I AB I2 + I AC I2 2(I AO I2 + I OC I2)。五、技能拓展解读经典综合题例题6：已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P,使得I PA I2 + I PB I2 + I PC I2最小，并求此最小值。分析若任取一点作为原点建立坐标系，则计算比较繁琐，所以应取一边所在直线为x轴，其中垂线为y轴建立坐标系可使问题简化。详解如图，取边AB所在直线为x轴

13、，线段AB的中垂线为y轴, 建立直角坐标系。由AABC为正三角形，且边长为a，得A 2，。), B(- 2，。) C 设 P(x, y) ，则=(x )2 + y2 + (x + )2 + y2 + x2 + (y I PA |2 + | PB |2 + | PC |222_5這=3x2 + 3y2 -J3ay + a2 = 3x2 + 3(y 一a)2 + a2 a246当且仅当x = 0,y = a时等号成立，所求最小值为a2，此时P为正三角形ABC的中心(0,a)。66评注应用解析法(坐标法)解决几何问题的一个关键环节，就是建立恰当的平面直角坐标系，应该遵循 建系的原则。建系后要使尽可能

14、多的点落在坐标轴上，或充分利用图形的对称性。例题7：已知三点A(3,2), B(0,5), C(4,6)，试判断AABC的形状。分析 一般地，判断一个三角形的形状，往往从直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正三角形上 考虑。也有从锐角三角形、直角三角形、钝角三角形考虑的。详解J I AB 1/(3 0)2 + (2 5)2 = 3 迈；I BC 1= J(4 - 0)2 + (6 - 5)2 = JT7 ； I AC I.(4 3)2 + (6 2)2 =且I AC |2 + I BC |2 AB |2，故此三角形为等腰三角形。评注本题不可漏掉I AC I2 + I BCI2与I AB |

15、2的关系检验，因为它有可能为等腰直角三角形。例题8：求函数y = x2 +1 + ；x2 4x + 8的最小值。分析此函数的定义域为R,如果从代数的角度考虑，确实比较复杂；如果借助于两点间的距离公式，转 化为几何问题，利用平面几何中相应的结论，非常容易解决。详解y =、；x2 +1 +x2 4x + 8 = ： (x 0)2 + (0 1)2 +、：(x 2)2 + (0 2)2设A(0,1),B(2,2)，动点P(x,0)。则上式的几何意义是y =I PA I +1 PB I，该问题即为：在x轴上求一点P(x,0)，使得I PA I + I PB I取得最小值。作A关于x轴的对称点A/(0,

16、1)，所以y =I PA I +1 PB I=I PA/1 +1 PB I，其最小值等于I A/B I= J(2 0)2 + (2 +1)2 =,也就是说函数y =、：x2 +1十x2 -4x+8的最小值为13 o评注解决问题的关键是：把函数表达式的两部分表示为两点间的距离公式的形式，进而求解。注意当碰 到用代数方法较难解决的问题时，应该尝试把问题转化为相应的几何问题解决。充分理解和应用数学中的 数形结合思想和方法。拓展探究题例题9：设 x , x , y , y e R，求证:Qx2 + y2 + x 2 + y 2 （x - x ）2 + （y - y ）2。12 12 v 1 1 2 2

17、 Y 2 1 2 1分析 此题若要从代数方面证明，难度颇大。主意要证明的不等式中式子的特征，很容易联系到两点间的 距离公式，从而可转化为几何问题，利用平面几何的知识来解决。详解 在平面直角坐标系内，设有两点P(x,y),P(x,y )，1 1 1 2 2 2则有 1 PP2 =(x2 x1)2 + (y2 - y1)2 I OP =Jx1、 1 OP =2OP1P2 ，由三角形中两边之和大于第三边，得（1）如图1,若O,P，P2三点不共线，则构成三角形 PP OP + OP 1 2 1 2且0在线段PP2之外,则有 PP OP + OP ；1 2 1 2（2）如图2, 若 o, P，P三点共线

18、,综上所述，不管两点P，的位置如何,且o在线段PP上，则有 PP = OP + OP 。212121总有 PP OP + OP ，即1 2 1 2&一 G2 + (一 W2评注本题看似与图形无关，其实与图形有关，充分体现了“数形结合”数学思想在解题中的应用，解答过程中还用到了数学中的“分类讨论”思想，这些都是高考中重点考察的内容，要能见“数”想形，见“形”想“数”。六、高考信息园高考题型感悟 例题10： （2006年福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A（x 1, y詁、B（x2，y2 ），定义它们之间的一种“距离” II AB b = I x 1 x2丨+丨y 1 -y2 I给出下列三个命题

19、:若点C在线段AB上，则HAc II + I cb II = II AB II ； 在ABC 中，若 ZC=90，则 I AC I 2 + I CB I 2= II AB I 2 ； 在ABC 中，I AC I + I CB II II AB II .其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点 A（x， y），B（x ，y， ）定义它们之间的一种“距离”1 1 2 2I AB I =若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0,y0）,x0在X、x2之间，y0在y、y2之间，则|AC| + CB | I x x I + I y y I + I x x I +

20、I y y I = x x +0 1 0 1 2 0 2 0 * 212 - yi=I AB I在AABC中,IIaC +CB Tx -x I +1y -y I + lx -x I+1y -y II (x x) + (x x )I +1(y y ) + (y y )I0 1 0 1 2 0 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0卜2 - yi=I AB I命题成立,而命题在AABC中，若ZC = 90。,则|AC+1|CBp=|AB2;明显不成立，选B.例题11. （2006年上海卷）如图，平面中两条直线-和12相交于点O,对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线11和12的距离，则称有序

21、非负实数对（p , q ）是点M的“距离坐标”已知常数p三0, q三0,给出下列命题：/q) 若p = q =0,则“距离坐标”为（0, 0）的点有且仅有 1 个； 若pq =0,且p + q工0,则“距离坐标”为（p , 的点有且仅有 2 个； 若pq工0,则“距离坐标”为（p , q ）的点有且仅有 4 个.上述命题中，正确命题的个数是（）A) 0； ( B) 1； ( C) 2； ( D) 3.解：选（D） 正确，此点为点 O ； 正确，注意到p,q为常数，由p,q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； 正确，四个

22、交点为与直线11相距为P的两条平行线和与直线12相距为q的两条平行线的交点；故选 D。高考规律导航两点间的距离公式是将袋鼠问题和几何问题相互转化的一个桥梁,所以在高考中也是一个重点, 而中点坐标公式也非常重要。单独命题的可能性较小,往往结合其它部分知识命题,应该注意两点间的距离与距 离平方的区别。七、课外知识乐园用什么信号和外星人联系？ 有没有外星人？这是地球人非常关注的问题,随着很多不可思议的事物相继出现,人们的疑惑越来越大了。例如埃及的金字塔,人们从一开始就存在疑问：这么大的石块几千年前人们使用什么方法搬来并垒上去的？进而发现金字塔的工程及其精细，两块巨石之间的缝隙连薄薄的刮脸刀片都插不进

23、去，人们在惊叹之余，着实怀疑为 外星人所为。当在巨石中发现动物的毛发之后，这种怀疑就进一步加深了。随着科技的迅猛发展，宇宙飞船的升 空，人们自然就想到应该主动发出信息与外星人联系，那么用什么样的语言与信息才能使他们听得懂和看懂呢？ 人们首先想到了数学和音乐，因为数学和音乐都是高级动物的共同语言。这里仅仅说说数学，人们可以语言 不同、文字不同，但是一个数学公式却可以把人们的思想沟通起来。不过这里也有一些约定俗成的符号，如何克 服这些障碍呢？换句话说，选择数学中的哪些东西最容易被没有共同语言的外星人理解呢？人们不约而同地想到 了勾股定理，因为勾股定理有以下几点优势：(1)勾股定理的发现早在4 0

24、0 0多年前(我国最早发现)，当时各方面的科学知识都非常少，这就是说 他很少依赖于其它知识，反过来它却是很多其它知识的基础。( 2 ) 4 0 0 0多年来不同的时期、不同的国家、不同的民族往往都独立地发现了勾股定理，就是说人们的 认识发展到一定阶段，自然而然地就会发现勾股定理；(3)它的内容比较简单，图形非常直观，往往不需要做什么解释就一目了然。因此，世界各国都有人建议，把勾股定理的图形作为光线信号发射给外星人。由此开始逐步探索与外星人的共同 信号。我国数坛巨星华罗庚先生也曾设想过用两个图形来作为信号：一个是河图洛书，一个就是勾股图。八、随堂练兵1 点A(3,5 )关于坐标原点的对称点是()

25、A. ( 5， 3)B. ( 3， 5)C. ( 3，5)D. ( 5，3)2.已知 A(a,6), B(3,2)，且 I AB 1= 17，则实数 a 的值为()A.12B.12 或一18C.18 或一123以A(5,5)、B(1,4)、C(4 ,1)为顶点的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D18D.等腰直角三角形4 设点A在x轴上，点B在y轴上，AB中点是p(2,l)，则I AB I等于()A.5B. 4j2C. 25D. 2105. x轴上任意一点到定点(0,2),(1,1)的距离之和的最小值是()A.B. 2 + 2c. J106.甲船在某港口的东50公里，北30

26、公里处，乙船在同一港口的东14公里，南18公里处，那么甲乙 两船的距离是( )A. 12*1石公里B. 165公里C.6 0公里D.8 0公里7已知菱形的三个顶点是(a,b),(-b,a),(0,0)，则它第四个顶点的坐标为()A. (2a,b)B. (a-b,a+b)C. (a+b,a-b)D. (a - b, b - a)8.等腰三角形ABC的顶点A(3, 0)，底边BC的长度为4且中点为D (5, 4)，则它的腰长为()A. 2j6B.6C. /30D. 42939在口 ABCD中，已知A(-7), B (2,6)，对角线的交点为M (3迈)，则另两个顶点C、D的坐标分别为 。10.已知

27、AABC的三个顶点坐标分别为A(-a,0), B(a,0), C(0, j2a)。(1) 判断三角形ABC的形状；(2)求这个三角形的中线长。九、答案与解析1. 变式练习略解与提示练习1.解：若点P在x轴上，设坐标为P(x,O)，由ZAPB为直角，得：I PA |2 +1 PB |2 =| AB b(! (x + 1)2 + 32 )2 + (、：( x 3)2 + 12)2 = (：( 1 3)2 + (3 1)2)2即(X + 1)2 + 32 + (x 3)2 + 12 + 二 42 + 22解得x = 0或x = 2。12在x轴上存在点P(0,0)或P(2,0)，使得ZAPB为直角。若

28、点P在y轴上，设坐标为P(0, y)。同样由勾股定理可得I PA|2 +1 PB |2 =| AB |2解得 y 二 0，y 二 4。12在y轴上存在点P(0,0)或P(0,4)，使得ZAPB为直角。综上所述，在坐标轴上存在三点P(0,0)或P(2,0)或P(0,4)，使得ZAPB为直角。故选 A。练习2设点P的坐标为(0, y)，由d(P,A) =10得v-；(0 8)2 + (y 6)2 二 10解得y = 0或y =12。所以点P的坐标为(0,0)或(0,12)。2 = 练习3.因为点M(2,2)平分线段AB,所以点M为线段AB的中点，由中点坐标公式得2 =I x = 4 解得1 。故选

29、D.y 二1练习 4. 略。2. 随堂练兵解答与提示1.设点A (3, -5)关于坐标原点的对称点为B,则O为线段AB的中点，根据中点坐标公式可解得B (-3,5)。故选C。2.由 | AB |=(a 3)2 + (6 (2)2 二 17 解得 a = 18 或一12。故选 C。3. A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)I AB(5 -1)2 + (5 - 4)2 = .-T7 , I AC 1= J(5 - 4)2 + (5 -1)2 =,1 CB 1=加-1)2 + (1 4)2 二 18,显然，I AB 1=1 AC I，所以三角形ABC是等腰三角形，故选B。4. C5. C6. C

30、7. C8. A9. （丁,10）,（4, -3）10.（1）由平面内两点间的距离公式可求得I AB 1=1 BC I=I CA I= 2I a I，所以三角形ABC为正三角形;（2）由于三角形ABC为正三角形，所以它的三条中线长度都相等，为l3I a I。3. 教材课后习题解答与提示 练习 A(P76)1. 解:(DTX = 6，1 = 2， x? = -2，月2 = 5，.x =x2 - x1 =- 2 - 6 = - 8，y = y2 - y1 = 5 - 2 = 3.d(A, B) = Ax2 + Ay2 = (8)2 + 32 = *73。(2) VX1 = 2，1 = - 4， x

31、? = 7， y? = 2，/.x =x2-X=7 - 2=5，Ay=y2-y1= 2 -(-4)= 6.d(A, B) = .：Ax2 + Ay2 = 52 + 62 = Q61。(3) Vx1 = 5， y1 = 0， x2 = 8， y2 = 0，/.x =x2 - X =8 - 5 = 3，Ay = y2 - y1 = 0 - 0 = 0.d(A， B) = Ax2 + Ay2 = 32 + 02 =、：9 = 3。(4) Vx1 = 2， y1 = 1， x2 = 5， y2 = -1，/.x =x2 - X =5 - 2=3，Ay = y2 - y1 =(-1)- 1 = -2.d

32、(A， B) = . Ax2 + Ay2 = .32 + (2)2 =、：13。2. 证明:VA (3，8)，B (-11，3)，C (-8，-2)，.d(A, B) =、：(11 3)2 + (3 8)2 =22T，d(B，C) =(8 +11)2 + (2 3)2 八34，d(A，C) = v (8 3)2 + (2 8)2 =、莎，/ I AB I = I AC I，又VA、B、C不共线/.ABC是等腰三角形。3 .解：(1) x = 33 = 0， y = 业2 = 3，22/线段AB的中点坐标为(0, 3).(2) _ 8 + 533 32 2 2/线段AB的中点坐标为（-3 , -

33、3）.24解：设M （x1，y1）关于原点（0, 0）的对称点为 N（ x2，y2)，由中点坐标公式得x2= -x1，0=y2 = -y1.:,A (2, 3)关于原点的对称点为A (-2, -3),B (-3, 5)关于原点的对称点为B (3, -5),C (-2, -4)关于原点的对称点为C (2, 4), D (3, -5)关于原点的对称点为D (-3,5),P (a,b)关于原点的对称点为P (-a,-b)。练习 B P761.解:d(A, B) = (0-a)2 + (10-0)2 八a2 +100 =17，解得 a = 土 3顷。2解设顶点D的坐标为(x , y), 对角线AC和B

34、D互相平分，解得x = 4= 11 + 03 + x2一22 + 21 + y2一2:顶点 D 的坐标为(-4 -1) 习题 2-1 A(P77)1. 解：AB=2 , BC=1 , CD = -4 , EA=-4.2. 解:(1)d(A, B) = I x2- x1 I =I 3 8I = 5；(2) d(A ,B)= I x2- x1 I = |-5 (-3) |= 2；(3) d(A ,B)= |x2- X 1=1 -23- 15 1=38；(4) d(A ,B)= lx2- X 1=1 -7- (-13)I = 6.3. 解：d(A , B) = (2 +1)2 + (3 3)2 =

35、1 ；d(A , B) = v(0 + 2)2 + (1 3)2 = 22 ;d(A , B) = v (0 +1)2 + (1 3)2 仝。4解：设 P 点的坐标为(x , 0),由 d(P , A) =13 得讥x 4)2 +122 = 13,解得 x = -1 或 x = 9, : P( -1 0)或 P( 9 0) .5. 解：设 M (x , 0),由 d(M , A) =d(M , B)得 讥x 1)2 + (0 5)2 =(x 5)2 + (0 + 2)2 , 解得 x =3 , :.M ( , 0).886. 解：由 d(P , Q) =10 得 (1 7)2 + (5 y)2

36、 = 10解得 y = -1 或 y = 11.7. 解：(1) d(A , B) = (3 7)2 + (2 4)2 = 2*5,由中点坐标公式得凹=5 ,耳2 = 3,：A、B的对称中心为(5 , 3). 22(2) d(C , D) = (2 6)2 + (2 + 4)2 = 2币，由中点坐标公式得62 = 2 , 土2 = 3, ：C、D的对称中心为(2 , -3). 22(3) d(E , F) = v(2 + 3)2 + (11)2 = 5 ,由中点坐标公式得=丄，上1 = 1,：E、F的对称中心为(-丄，1).2 2 2 28.解：AB的中点D的坐标为(0, 2),因此，中线CD

37、的长度为d(C, D)(0-0)2 + (2 +1)2 = 3;BC的中点E的坐标为(-1, 1),因此，中线AE的长度为d(A, E)=也-1-2)2 + (1-1)2 = 3;AC的中点F的坐标为(1, 0),因此，中线BF的长度为d(B, F)=讥1+ 2)2 + (0-3)2 = 3逅。习题 2-1 B P771解：在 x 轴上取点 C (x, 0),使 d(C, A) = d(C, B),则.(x-1)2 + (0-2)2 仝x-5)2 + (0 +2)2 , 解得 x = 3，即 C 的坐标为( 3，0) .在 y 轴上取点 D(0, y),使 d(D , A) = d(D , B

38、),则常(0 1)2 + (y 2)2 =唇(0 -5)2 + (y +2)2 ,77令 x = 0 得 y =11。7直线AB与y轴的交点的坐标为D (0 ,芈)，设点C的坐标为(0 , y),则 abc=Lacd+Lbcd =丄X4X|CD I +2171 XI -3 IX| CD 1= -I CD 1 = 12 ,22丨CD I= 24 ,解得y = 5或y = -13。 - 点 C 的坐标为(0 5)或(03.解：1 =由中点坐标公式得1 =x + 32y + 32解得4解: Vd(A, B) = (3-1)2 + (3 +1)2 = 25 ,d(B, C) = v(4 - 3)2 +

39、 (5 - 3)2 =后,d(A, C) = (4 -1)2 + (5 +1)2 = 3*5 , d(A，B)d(B，C) = d(A，C) ， A、B、C 三点在一条直线上。5.证明:Vd(A, B) = v(5-1)2 + (3-1)2 = 2養,d(B, C) = 3,因此方程| x + 3 | + | x- 1 | = 3 无解。4.解：| x + 3 | - | x - 1 | = 5的几何意义是：数轴上到A (-3)的距离减去到B (1)的距离等于5的点，因 为丨A B l=4V5，因此方程I x + 3 I - I x- 1 I = 5无解。5.解：丨x + 3 I - I x - 1 I = 4的几何意义是：数轴上到A (-3)的距离减去到B (1)的距离等于4的点，因 为 I A B I=4,因此 xl。6.解：I x + 3 I - I x - 1 I = 3的几何意义是：数轴上到A (-3)的距离减去到B (1)的距离等于3的点，因此x = 0.5。