《复数的概念》PPT课件

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1、淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1 1第第9 9讲讲 复数的概念、表示方法和运算复数的概念、表示方法和运算一、虚数单位一、虚数单位二、复数的四则运算二、复数的四则运算三、复数的模与辐角三、复数的模与辐角四、复数的其它形式四、复数的其它形式五、复数其它形式的乘除法运算五、复数其它形式的乘除法运算淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2 2学习目标学习目标1 1通过数的产生和发展，了解扩充实数集的必要性，通过数的产生和发展，了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念；正确理解复数的有关概念；2 2熟练掌握复数的代数形式、三角形式、指数形式、熟练掌握复数

2、的代数形式、三角形式、指数形式、极坐标形式其化方法；极坐标形式其化方法；3 3熟练掌握复数代数形式的四则运算法则；熟练复数熟练掌握复数代数形式的四则运算法则；熟练复数三角形式、指数形式、极坐标形式的乘法、乘方、除法的三角形式、指数形式、极坐标形式的乘法、乘方、除法的运算法则，并选择合理的方法进行运算；运算法则，并选择合理的方法进行运算；淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3 3重重 点点难难 点点1 1.复数的有关概念；复数的有关概念；2 2.复数的复数的四种四种形式形式及相互转及相互转化；化；3 3.复数代数形式的四则运算法则复数代数形式的四则运算法则；4.4.复数复数其

3、它其它三三种种形式的乘法、乘方、除法的形式的乘法、乘方、除法的运算法；运算法；1 1.复数的复数的四种四种形式形式相互转相互转化；化；2.2.复数的四则运算法则复数的四则运算法则；淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4 4无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正整数正分数正有理数有理数实数到目前为止，我们已学过的实数可以归纳如下：到目前为止，我们已学过的实数可以归纳如下：但是，数的范围扩展到实数集后，象但是，数的范围扩展到实数集后，象x x2 2=-1=-1这样的方程就这样的方程就没有解为了使这类方程也能有解，必须引进新的数，就是没

4、有解为了使这类方程也能有解，必须引进新的数，就是复数，数集也自然扩展到复数集复数，数集也自然扩展到复数集淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件5 5一、虚数单位一、虚数单位（1 1）它的平方等于）它的平方等于-1,-1,即即j j2 2=-1;=-1;（2 2）它和实数一起，可以按实数的四则运算）它和实数一起，可以按实数的四则运算 法则进行运算，数法则进行运算，数j j称为虚数单位称为虚数单位为了使为了使x x2 2=-1=-1方程有解，我们引进一个新的数，用符方程有解，我们引进一个新的数，用符号号j j表示（在数学上一般用符号表示（在数学上一般用符号i i表示表示,为了区别

5、于电为了区别于电学中电流强度的符号，本书中用符号学中电流强度的符号，本书中用符号j j表示），并规表示），并规定：定：淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件6 614nj 一般地，对任意整数一般地，对任意整数n n，虚数单位，虚数单位j j的幂具有下面的幂具有下面重要的性质：重要的性质：jjn14124njjjn34虚数单位虚数单位j j的这个性质称为周期性特别规定：的这个性质称为周期性特别规定：10jmmjj1淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件7 7例例1 1：计算：（：计算：（1 1）j j20122012;（2 2）j j-53-53;解：（解：（

6、1 1）j j20122012j j4 4503503=1=1（2 2）另解：另解：jjjjjjjjj111111345353jjj3)14(453淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件8 8复数：形如复数：形如z=a+bj(a,bR)z=a+bj(a,bR)的数的数复数集：由全体复数构成的数，称为复数集复数集：由全体复数构成的数，称为复数集 通常用通常用C C表示表示表示方法：通常用字母表示方法：通常用字母z z表示，如表示，如z=-1+2jz=-1+2j代数形式：形如代数形式：形如z=a+bj(a,bR)z=a+bj(a,bR)的形式的形式.复数：复数：Complex N

7、umberComplex Number淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件9 9复数复数a+bj(a,bR)a+bj(a,bR)由两部分组成，由两部分组成，实数实数a a与与b b分别称为复数分别称为复数a+bja+bj的的实部实部与与虚部虚部，1 1与与i i分别是分别是实数单位实数单位和和虚数单位虚数单位，有时把实部记成为有时把实部记成为ReZ;ReZ;虚部记成为虚部记成为ImZImZ，即，即a=ReZ,b=ImZ.a=ReZ,b=ImZ.淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1010 复数复数z z=a+bj(a、b R)实数实数有限小数和无限循环小

8、数有限小数和无限循环小数(b=0)有理数有理数无理数无理数无限不循环小数无限不循环小数虚数虚数(b 0)纯虚数纯虚数(a(a=0 0,此时此时z z=bjbj )淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1111 两个复数相等是指它们的两个复数相等是指它们的实部与虚部实部与虚部分别相等分别相等dbcadjcbja,淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1212xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标建立了平面直角坐标系来表示复数的平面系来表示复数的平面-复数平面复数平面 (简称简称复平面复平面)x x轴轴-实轴实轴y y轴轴-虚轴虚轴z=a+bj复数复数z=a+

9、bjz=a+bj有序实数对有序实数对(a,b)(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1313 j)db()ca(djcbja1 1、复数的加法与减法、复数的加法与减法二、复数的四则运算二、复数的四则运算两个复数相加两个复数相加(减减)就是实部与实部，虚部与虚就是实部与实部，虚部与虚部分别相加部分别相加(减减)。淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1414例例2:2:计算计算)j 43()j2()j 65(解解:j11j)416()325()j43()j

10、2()j65(讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件15152 2、复数的乘法法则：、复数的乘法法则：设设a+bja+bj和和c+djc+dj是任意两个复数是任意两个复数,那么它们的积为那么它们的积为j)bcad()bdac(bdjbcjadjac)djc(bj)djc(adjcbja2复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须但必须在所得的结果中把在所得的结果中把j j2 2换成换成-1-1,并且把实部合并并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数两个复数的积仍然是一个复数.淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件

11、课件1616概念：概念：共轭复数共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。特别地特别地，实数的共轭复数是实数本身。，实数的共轭复数是实数本身。若复数用若复数用z z表示表示,则其共轭复数用符号表示为则其共轭复数用符号表示为z即若复数即若复数z=a+bj,z=a+bj,则其共轭复数为则其共轭复数为bjaz淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1717例例3 3:计算计算)j2)(j43)(j21(解解:j1520)j2)(j211()j2)(j43)(j21(j)bcad()bdac(djcbja讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿

12、业技师学院应用数学应用数学课件课件1818把满足把满足(c+dj)(x+yj)=a+bj(c+dj)(x+yj)=a+bj (c+dj0)(c+dj0)的复数的复数x+yjx+yj叫做叫做复数复数a+bja+bj除以复数除以复数c+dc+dj j的商的商,.djcbja)djc()bja(或记做3 3、复数的除法法则、复数的除法法则淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1919 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以再把分子与分母都乘以分母的共轭复数分母的共轭复数,化简后写成代数形式化简后写成代数形式(分母实数化分母实数化).).jdcadbcdc

13、bdacdcjadbcbdacdjcdjcdjcbjadjcbjadjcbja222222)()()()()(淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2020例例4:4:计算计算)43()21(jj解解:jjjj4321)43()21()43)(43()43)(21(jjjj2510543468322jjjj5251jdcadbcdcbdacdjcbjadjcbja2222)()(讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2121例例5 5:设设z z1 1=5-5j=5-5j，z z2 2=-3+4j=-3+4j，求，求z z1 1/z2;解解

14、:jjzz435521)43)(43()43)(55(jjjj25)2015()2015(j.5157j讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2222三、复数的模与辐角三、复数的模与辐角 模：复数可以等同于平面中的向量模：复数可以等同于平面中的向量(从原点到从原点到z=a+bjz=a+bj所所引向量引向量ozoz）。向量的长度称为）。向量的长度称为复数的模复数的模，定义为：，定义为：|00zz022babjaZyxOz=a+bjZ(a,b)特别地特别地淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2323复数的绝对值的复数的绝对值的几何意义几何意义

15、:复数复数z=z=a a+b bj j在复平面上对应的点在复平面上对应的点Z(Z(a a,b b)到到原点的距离原点的距离,通常用通常用r r表示表示,即即(复数的模复数的模)22ba|OZ|z|ryxOz=a+bjZ(a,b)淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2424 显然显然,非零复数的辐角有无穷多个非零复数的辐角有无穷多个,它们彼此相差它们彼此相差2的整数倍的整数倍,为了实际需要为了实际需要,本书把适合于本书把适合于-0)Z=a+0j(a0)的主辐角为的主辐角为=argZ=0=argZ=0Z=a+0j(a0)Z=a+0j(a0)Z=0+bj(b0)的主辐角为的主辐角

16、为=argZ=argZ=2Z=0+bj(b0)Z=0+bj(b0)的主辐角为的主辐角为=argZ=argZ=2例如例如:复数复数Z=3jZ=3j的主辐角为的主辐角为=argZ=argZ=2又如又如:复数复数Z=-2jZ=-2j的主辐角为的主辐角为=argZ=argZ=2淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件29292i-211z）（014522arctanargz1zxy2-21zarg讲解例题讲解例题 例例6 6:计算下列复数的幅角主值。计算下列复数的幅角主值。解：解：02 a实部淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件303000212013arctan1

17、80argz2zarg2z-13yxiz3122）（讲解例题讲解例题 解：解：例例6 6:计算下列复数的幅角主值。计算下列复数的幅角主值。0301ba，虚部实部淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件313100315031arctan180argziz333）（讲解例题讲解例题 解：解：-13 3z3zargyx0103ba，虚部实部例例6 6:计算下列复数的幅角主值。计算下列复数的幅角主值。淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3232四、复数的其它形式四、复数的其它形式复数的三角形式复数的三角形式复数的指数形式复数的指数形式复数的极坐标形式复数的极坐标形

18、式)sinj(cosrzjrez淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3333复数四种形式的相互转化复数四种形式的相互转化三角形式三角形式:指数形式指数形式:极坐标形式极坐标形式:)sinj(cosrzjrez代数形式：代数形式：Z=a+bj(a,bR)Z=a+bj(a,bR)这里主要是代数形式与三角形式的相互转化这里主要是代数形式与三角形式的相互转化,至于三角至于三角形式与指数形式、极坐标形式的相互转化非常简单。形式与指数形式、极坐标形式的相互转化非常简单。淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3434把代数形式把代数形式Z=a+bj转化为三角形式转化为三

19、角形式Z=r(cosZ=r(cos+jsin+jsin)，先求出复数的模先求出复数的模r r和主辐角和主辐角argZargZ例例7：求出复数求出复数Z=-3+3jZ=-3+3j的其它三种形式。（的其它三种形式。（P76例例13）解：因为解：因为a=-3,b=3a=-3,b=3,所以所以233)3(bar2222又因为点又因为点Z Z（-3-3，3 3）在第二象限内，所以其主辐角为在第二象限内，所以其主辐角为00013533arctan180arctan180argabZ讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3535所以复数所以复数Z=-3+3jZ=-3+3j

20、的模为的模为 ，主辐角为，主辐角为23r 0135argZ，因此，因此三角形式三角形式:指数形式指数形式:极坐标形式极坐标形式:)135sin135(cos2300jz013523jez 代数形式：代数形式：Z=-3+3j(a,bR)Z=-3+3j(a,bR)淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3636例例8：把复数把复数Z=2(cos120Z=2(cos1200 0+jsin120+jsin1200 0)转化为代数形式。转化为代数形式。解：解：j31)j2321(2)120sinj120(cos2Z00 要把复数的三角形式要把复数的三角形式Z=r(cosZ=r(cos+j

21、sin+jsin)转化为代数形式转化为代数形式Z=a+bj,Z=a+bj,只要通过计算器求只要通过计算器求出出coscos、sinsin然后展开即可。然后展开即可。淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3737五、复数其它形式的乘除法运算五、复数其它形式的乘除法运算 这里主要介绍复数的三角形式、指数形式和极坐这里主要介绍复数的三角形式、指数形式和极坐标形式的乘除运算标形式的乘除运算乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减除法的计算规律为：模相除，主辐角相减淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课

22、件3838)sinj(cosr1Z111)sinj(cosrZ2222)sin(j)cos(rr)sinj(cosr)sinj(cosrZZ21212122211121)sin(j)cos(rr)sinj(cosr)sinj(cosrZZ21212122211121乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减除法的计算规律为：模相除，主辐角相减淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件3939,er1Z1j12ej22rZ)(j21j2j1212121errererZZ)(j21j2j1212121errererZZ

23、乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减除法的计算规律为：模相除，主辐角相减淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4040乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减除法的计算规律为：模相除，主辐角相减淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4141j33)j2222(6)4sinj4(cos6)612sin(j)612cos(6)6sinj6(cos3)12sinj12(cos2P80例例8例例9 9：讲解例题讲解例题 淮南矿业

24、技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4242j3)j2123(2)6sin(j)6cos(2)6532sin(j)6532cos(265sinj65(cos2)32sinj32(cos4P80例例10例例1 10 0：讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4343P83例例1232j)35(j35jje96e96e10e6.935j)672(j67j2je4e4e23e92例例1 11 1：讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4444P84例例14讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用

25、数学课件课件4545例例1414：将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:;212iz解解,421222）（zr ,在第三象限在第三象限因为因为 z00150801122arctan故三角表示式为故三角表示式为00150sin150cos4iz讲解例题讲解例题 指数表示式为指数表示式为.40150 iez所以所以淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4646例例1515:把复数把复数-2 2+2+2j j化为指数形式化为指数形式。解解:222)2(22 zr复数的模为复数的模为因为实部因为实部a=-20，所以其主辐角为，所以其主辐角为0013

26、522arctan180argZ01352222jej 所以所以淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4747例例1616：将下列复数转化为代数形式：将下列复数转化为代数形式：(1)Z(1)Z1 1；(2)Z(2)Z2 2=10=10 120 120。解：利用复数的三角形式，计算如下：解：利用复数的三角形式，计算如下：(1)(1)Z Z1 1=50=50 )=50(0.6+0.8j)=50(0.6+0.8j)=30+j40 =30+j40(2)(2)Z Z2 2=10=10 120 120 =10(cos120 =10(cos120 jsin120 jsin120)=10(=

27、10(0.866j)0.866j)=5 5 讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4848例例1717：将下列复数转化为极坐标形式：将下列复数转化为极坐标形式：(1)Z(1)Z1 1=5=5；(2)Z(2)Z2 2=3 3j j；(3)Z(3)Z3 3=16 =16 12j 12j解：利用复数的代数形式，计算结果如下：解：利用复数的代数形式，计算结果如下：(1)(1)Z Z1 1=5=5=5=5 0 0(2)(2)Z Z2 2=j3=3 j3=3 9090(3)(3)Z Z3 3=16=16 j12=20 j12=20 讲解例题讲解例题 淮南矿业技师学院淮南

28、矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4949小小 结结你能总结一下本讲的主要内容吗？你能总结一下本讲的主要内容吗？淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件50501 1、计算：、计算：。jjj75)21(431）（jejj62230sin30cos22300）（2 2、求复数求复数 的实部与虚部、共轭复数、模的实部与虚部、共轭复数、模与辐角与辐角jjj25243练练 习习淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件51513 3如果等式如果等式 成立，成立，则则实数实数x x、y y为何值？为何值？jjyjx135)3(14 4、将、将复数复数 化成三角表示式和指数表示式以及极化成三角表示式和指数表示式以及极坐标形式。坐标形式。j31练练 习习淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件5252祝你学习进步！祝你学习进步！祝你工作愉快！祝你工作愉快！