电路分析基础13-电路方程的矩阵形式课件

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1、第第13章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式（）13.1 割集割集13.2 关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵13.3 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式13.4 节节点电压方程的矩阵形式点电压方程的矩阵形式13.5 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式13.6 状态方程状态方程13.7 应用实例应用实例 计算机辅助电路分析计算机辅助电路分析（，），）（，），）13.1 割集割集 割集割集Q是是连通图连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：1.把把Q中全部支路移去中全部支路移去(保留支路的两个端点保留支路的两个端点)，将图，

2、将图 分成两个分离部分。分成两个分离部分。2.保留保留Q 中的一条支路，其余都移去，中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。还是连通的。432156134256Q1:2,5,4,6 一、割集定义一、割集定义二、割集的确定二、割集的确定 在图在图G上作一个高斯面（闭合面），使其包围上作一个高斯面（闭合面），使其包围G的的某某些节点些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭与闭合面相切割的支路，图合面相切割的支路，图G将被分为两部分，那么将被分为两部分，那么这组支这组支路路集合即为图集合即为图G的一个割集。在图的一个割集。在图G上画高斯上画高斯面面（闭合

3、（闭合面）面）Q1、Q2、Q3如下图所示，对应割集如下图所示，对应割集Q1、Q2、Q3的支的支路集合路集合为为1，5，2、1，5，3，6、2，5，4，6。注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。注意：同一割集中每一条支路只能被切割一次。1Q1Q2Q323465图图13-1 割集的定义割集的定义245(b)15(c)12345(a)(d)234512345(f)Q1Q2Q3Q4Q5Q6125(e)三、基本割集三、基本割集 888(a)1234567(c)1234567(b)1234567(d)12345678(e)12345678(f)12345678 由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树

4、支割集或基本由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。割集。n个节点，个节点，b条支路的连通图条支路的连通图G，独立割集的数目为，独立割集的数目为(n1)。思思 考考 与与 练练 习习1.割集必须满割集必须满足的条件是足的条件是什么？什么？2.如何选如何选择基本择基本割集？割集？3.割集和节割集和节点的关系是点的关系是什么？什么？4.属于同一割集的属于同一割集的所有支路的电流所有支路的电流是否满足是否满足KCL？图的矩阵表示是指图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，用矩阵描述图的拓扑性质，即即KCL和和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：的矩阵形式。有三种矩阵形式：图的矩阵表示

5、图的矩阵表示:节点节点支路支路关联矩阵关联矩阵 回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵割集割集支路支路 割集矩阵割集矩阵 13.2 关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵ajk=1 有向支路有向支路 k 背离背离 j 节点。节点。-1 有向支路有向支路 k指向指向 j 节点。节点。0 有向支路有向支路 k 与与 j 节点节点无关。无关。1.关联矩阵：关联矩阵：Aa=ajkn b节点数节点数 支路数支路数 643521Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 1 0设为参考节点，

6、划去设为参考节点，划去第第4行。行。-1 -1 1 0 0 0A=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 -1 -1称称A为降阶关联矩阵为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联表征独立节点与支路的关联性质。也性质。也称关联矩阵。称关联矩阵。各行不独立。各行不独立。一、关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义一、关联矩阵、割集矩阵和回路矩阵的定义2.割集矩阵割集矩阵1 支路支路k与割集与割集j方向一致。方向一致。-1 支路支路k与割集与割集j方向相反。方向相反。0 支路支路k 不在割集不在割集 j 中。中。qjk=12345678(a)Q1 Q2

7、Q3 Q4Q=qjkn-1 b基本割集数基本割集数 支路数支路数 (1,2,3)，(1,4,5)，(2,6,8)，(5,7,8)是该图的一组是该图的一组独立割集，独立割集，流出流出闭合面方向为割闭合面方向为割集方向。集方向。Q1Q2Q3Q414283576 -=11010000101000100001100100000111Q 支路支路 割集割集 (2)支路排列顺序为先树支后连支。支路排列顺序为先树支后连支。约定约定:(1)割集方向与树支方向相同。割集方向与树支方向相同。12345678(b)Q1 Q2Q4Q3基本割集矩阵基本割集矩阵Qf选选 2、4、5、8为树支，连支为为树支，连支为1、3、

8、6、7。Q1Q2Q3Q428475163-=01111000111101001110001000110001fQ支路支路 割集割集 =1 Ql EtQl3.回路矩阵回路矩阵B=bjk l b基本回路数基本回路数 支路数支路数 1 支路支路k与回路与回路j关联，方向一致。关联，方向一致。-1 支路支路k 与回路与回路j关联，方向相反。关联，方向相反。0 支路支路k 不在回路不在回路 j中。中。bjk=(a)12345678l2l3 l4l1-=11100000001001100101100000001101B14283576l1l2l3l4支路支路 回路回路 12345678 (2)支路排列顺序

9、为先连支后树支。支路排列顺序为先连支后树支。约定约定:(1)回路电流的参考方向取连支电流方向。回路电流的参考方向取连支电流方向。基本回路矩阵基本回路矩阵Bf选选 2、4、5、8为树支，连支为为树支，连支为1、3、6、7。-=01101000111001001111001011010001fB17386254b1b3b6b7支路支路 回路回路 =1 Bt ElBt1.用矩阵用矩阵A描述的基尔霍夫定律的矩阵形式描述的基尔霍夫定律的矩阵形式(1)KCL的矩阵形式的矩阵形式以节点为参考节点以节点为参考节点Aib=1 1 1 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 17

10、654321iiiiiii0765543321=-=iiiiiiiiin-1个独立个独立方程方程矩阵形式的矩阵形式的KCL:Aib=0二、用矩阵二、用矩阵A、Q、B表示的基尔霍夫定律的矩阵形式表示的基尔霍夫定律的矩阵形式1234567(2)KVL的矩阵形式的矩阵形式buuuuuuu=654321nTb :KVLuAu=矩阵形式矩阵形式 -=n3n2n1nT100100110010011001001uuuuA=-=n3n3n3n2n2n2n1n2n1uuuuuuuuu矩阵形式的矩阵形式的KCL：07655435421=-=iiiiiiiiii矩阵形式的矩阵形式的KCL：Qf ib=0(1)KCL

11、的矩阵形式的矩阵形式取（取（2，3，6）为树，）为树，1234567Q2Q1 Q3-=7654321bf111000000111000011011iiiiiiiiQ2.用用矩阵矩阵Qf 描述的基尔霍夫定律的矩阵形式描述的基尔霍夫定律的矩阵形式 电路中的（电路中的（n-1）个树支电压可用（）个树支电压可用（n-1）阶列向量）阶列向量表示，即表示，即T1)t(t2t1t.-=nuuuutTfbuQu=(2)KVL的的矩阵形式矩阵形式，bt3t3t3t2t1t2t1t2t1t1t3t2t17654321tTf100100111011010001001uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuQ=-

12、=-=l个独立个独立KVL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KVL：Bf ub=03.用矩阵用矩阵Bf表示的基尔霍夫定律的矩阵形式表示的基尔霍夫定律的矩阵形式123456701100000011011000011100000011766532432217654321bf=-=-=uuuuuuuuuuuuuuuuuuuB(1)KVL的的矩阵形式矩阵形式(2)KCL的的矩阵形式矩阵形式独立回路电流独立回路电流1234567b44332323211432176543211000110001000010011001110001iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiilllllllllllllll=-=

13、-=li矩阵形式的矩阵形式的KCL：ib=Bf TilQ Qi=0 QTut=u 小结：小结：A B Ai=0 BTil=i KCL KVL ATun=u Bu=0 13-1电路的有向图如图所示，电路的有向图如图所示，(1)节点为参考写出节点为参考写出其关联矩阵其关联矩阵A，(2)以实线为树枝，虚线为连支，写以实线为树枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵出其单连支回路矩阵Bf(3)写出单树支割集矩阵写出单树支割集矩阵Qf。123456789(1)以节点为参考节点，以节点为参考节点，其余其余4个节点为独立节点个节点为独立节点的关联矩阵的关联矩阵A为为(2)以实线以实线(1,2,3,4)为树枝，虚

14、线为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其为连支，其单连支回路矩阵单连支回路矩阵Bf为为123456789(3)以实线以实线(1,2,3,4)为树枝，虚线为树枝，虚线(5,6,7,8,9)为连支，其为连支，其单树支割集矩阵单树支割集矩阵Qf为为1234567891.对于一个含有对于一个含有n个节点个节点b条支路的条支路的电路，关联矩阵电路，关联矩阵反映了什么关联反映了什么关联性质？性质？2.对于一个含有对于一个含有n个节点个节点b条支路的电路，回路矩条支路的电路，回路矩阵反映了什么关联性质？阵反映了什么关联性质？3.对于一个含对于一个含有有n个节点个节点b条条支路的电路，支路的电路，割集矩

15、阵反映割集矩阵反映了什么关联性了什么关联性质质？4.对于一个含有对于一个含有n个节个节点点b条支路的电路，用条支路的电路，用矩阵矩阵A、Qf、Bf表示的表示的基尔霍夫定律的矩阵形基尔霍夫定律的矩阵形式分别是什么？式分别是什么？13.3 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式 kUSkUkIekI-Zk-kIS一、复合支路一、复合支路 第第k条支路条支路,kkUI 第第k条支路的阻抗，只能是单一的电阻、电感条支路的阻抗，只能是单一的电阻、电感 或电容，不允许是它们的组合。或电容，不允许是它们的组合。阻抗上电压、阻抗上电压、电流的参考方向与支路方向相同电流的参考方向与支路方向相同。kZSkU

16、独立电压源，其独立电压源，其参考方向和支路方向相反参考方向和支路方向相反。SkI独立电流源，其独立电流源，其参考方向和支路方向相反参考方向和支路方向相反。,kkUI支路电压、支路电流，取关联参考方向。支路电压、支路电流，取关联参考方向。1.电路中不含互感和受控源的情况电路中不含互感和受控源的情况(相量法相量法)SS()kkkkkUZ IIU=-111S1S1SSSS00000000000000000000kkkkkbbbbbZUIIUZUIIUZUIIU=-按定义写开按定义写开 kUSkUkIekI-Zk-kIS二、支路方程的矩阵形式二、支路方程的矩阵形式 2.电路中含有互感的情况电路中含有互

17、感的情况 设第设第k条、条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为一起（设两个电流都为流入同名端流入同名端）：）：eeSSSSeeSSSSj()j()jj()()kkkkjjkkkkkjjjkjjkkjjjjkkkjjjjUZ IM IUZIIMIIUUM IZ IUMIIZ IIU=-=-=-=-()()()-11e1S111S1S122e2S222S2S2eSSSbbbbbbbbUZ IUZIIUUZ IUZIIUUZ IUZIIU=-=-=-=-=-=-其余支路电压、电流的关系为：其余支路电压、电流的关系为：=111S1S1

18、222S2S2SSS0000000000j000j00000kkjkkkkjjjjjbbbbZUIIUZUIIUZMUIIMZUIIZUII -SSSkjbUUUSS()UZ IIU=-故回路电流方程不变，只是阻抗阵故回路电流方程不变，只是阻抗阵Z不再为对角阵，不再为对角阵，其非对角线元素的其非对角线元素的第第k行、第行、第j列列和和第第j行、第行、第k列列的两个元的两个元 素是两条支路的互阻抗。互阻抗前的素是两条支路的互阻抗。互阻抗前的“”，电流流入同电流流入同名名 端的对应取端的对应取“”，反之取，反之取“”。仍可统一写为仍可统一写为 3.电路中含有受控源的情况电路中含有受控源的情况 de

19、S()kkjjkjjjUr IrII=SdS()kkkkkkUZIIUU=-=-而而 这时含有受控源的支路阻抗这时含有受控源的支路阻抗 Z 为非对角阵，非对角线为非对角阵，非对角线上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方上的元素是与受控电压源的控制系数有关的元素。因支路方程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：程的右端加上受控电压源，故支路阻抗阵变为：kU ISkSkUkIekI-Zk+dkU=12kkjbZZZZrZk j 取回路电流（连支电流）为未知变量。取回路电流（连支电流）为未知变量。0 KVL=kUB0 =-=SkSkkkkkUBIBZIBZUBSkkSklkIBZUB

20、IBBZ-=T SkSkkkkUIIZU-=)(回路方程矩阵形式回路方程矩阵形式 支路电压与支路电流的关系支路电压与支路电流的关系 lkIBIT KCL=代入上面方程，整理后得代入上面方程，整理后得 SkU.Zk+-kU.kI.SkI.ekI.+-lSllUIZ=回路矩阵方程回路矩阵方程（回路电压源相量）（回路电压源相量）lSU Zl（回路阻抗阵）（回路阻抗阵）三、回路电流方程的矩阵形式三、回路电流方程的矩阵形式 13.2列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式。列出图示电路矩阵形式回路电流方程的频域表达式。124356+-U2Z3Z6 IS6+-Z2Z5Z1+-U2US1TS6S0000

21、0II-=-=111000001101000011fB-=652321000000000000000000000000000000ZZZZZZZ 画出有向图，给支路编号，选树画出有向图，给支路编号，选树(1,4,6)。TS1S00000UU-=6523121121Tff000ZZZZZZZZZZZBBZlTS66S1S1SSSIZUUIBZUBUl-=-=-=S66S1S15326523121121000IZUUIIIZZZZZZZZZZSlU计算计算Zl 和和 。矩阵形式回路电流方程的频域表达式为矩阵形式回路电流方程的频域表达式为13-3列出图示电路矩阵形式回路电流方程的复频域列出图示电路矩

22、阵形式回路电流方程的复频域表达式。表达式。R1C2L3L5uS4uS5*M12435 画出有向图，给支路编号，选树画出有向图，给支路编号，选树(1,4)。TS5S4)()(000(s)sUsUU-=0)(=sI-=110000110100011fB-=532100000000000000100000)(sLsMsMsLsCRsZ 计算计算Z(s)UlS(s)。-=5311121Tff001)()(sLsMsMsLRRRsCRBsZBsZlTS5S4S4fS)()()(0)()(sUsUsUsUBsUl-=-=-)()()(0)()()(001S5S4S45325311121sUsUsUsIsI

23、sIsLsMsMsLRRRsCR矩阵形式回路电流方程的复频域表达式为矩阵形式回路电流方程的复频域表达式为小结小结列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：(1)画有向图，给支路编号，选树。画有向图，给支路编号，选树。(2)写出支路阻抗矩阵写出支路阻抗矩阵Z(s)和回路矩阵和回路矩阵Bf。按标准。按标准 复合支路的规定写出支路电压列向量复合支路的规定写出支路电压列向量)()()(sUsIsZlSll=(4)写出矩阵形式回路电流方程的复频域表达式写出矩阵形式回路电流方程的复频域表达式SlllUIZ=或或TlBZBZ=(3)求出回路阻抗矩阵求出回路阻抗矩阵。1.什么是复

24、什么是复合支路？合支路？2.矩阵形式回路电矩阵形式回路电流方程的列写中，流方程的列写中，若电路中含有无伴若电路中含有无伴电流源，将会有何电流源，将会有何问题？问题？13.4 节节点电压方程的矩阵形式点电压方程的矩阵形式一一、复合支路复合支路ekI 元件电流元件电流 支路电流支路电流 kI 受控电流受控电流 dkI 支路的复导纳（阻抗）支路的复导纳（阻抗）)(kkZY 支路电压支路电压 kUSkU 独立电压源独立电压源 SkI 独立电流源独立电流源 按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许按复合支路的规定，电路中不允许有受控电压源，也不允许存在存在“纯电压源支路纯电压源支路”。复合支

25、路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少复合支路规定了一条支路可以最多包含的元件数，可以缺少某些元件，但不能缺少阻抗。某些元件，但不能缺少阻抗。dkISk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-二、支路方程的矩阵形式二、支路方程的矩阵形式 分三种不同情况进行分析。分三种不同情况进行分析。1.电路中电路中不含互感和受控源不含互感和受控源skskkkkkIUYUYI -=skkskkkUZIIU -=)(Sk.U Zk(Yk)+-k.ISk.Iek.I+-kU支路阻抗阵、支路导纳阵为支路阻抗阵、支路导纳阵为 bb 矩阵矩阵：111S1S1SSSS00000000000000000

26、000kkkkkbbbbbYIUUIYIUUIYIUUI=-按定义列写按定义列写T12T12TSS1S2STSS1S2S.bbbbUUUUIIIIUUUUIIII=其其中中支支路路电电压压列列向向量量 支支路路电电流流列列向向量量 支支路路电电压压源源 支支路路电电流流源源 2.具有互感情况下的节点电压分析具有互感情况下的节点电压分析 设第设第k条、条、j条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的条支路有耦合关系，编号时把它们相邻的编在一起（设两个电流都为编在一起（设两个电流都为流入同名端流入同名端）。）。jkjjkkLMYk MkjjL-=-jjjjkkjjkjkjkjZ LMML=2j()()k

27、jkjjkL LM MM=-=-=则则 eekkkI=Y U =dedekkjjkkjjIg UI I或或设设3.具有受控电流源的节点分析具有受控电流源的节点分析 edSedSkkkkkkkkIIII Y UII=-=-=-=-kU+-kISkUdkISkI)(kkZYekUekI对第对第k条支路有条支路有 SdS()kkkkkY UUII=-=-(1)VCCS时时：dS()kkjjjIgUU=(2)CCCS时时：dS()kkjjjjI Y UU=考虑考虑b条支路条支路 111S1S1SSSSbbbSbSb000000000000000000000000000000000000000000kk

28、kkkjjjjjYIUUIYIUUIYIUUIYIUUI =-=-k j Ykj 其中其中 此方程形式与情况此方程形式与情况1相同，只是相同，只是 Y 不是对角阵不是对角阵。SS-(CCCSVCCSIUUYIIYIgYdkjkjdkkjkj）=即即时）时）为为（当（当时时为为当当）(二、节点电压方程的矩阵形式二、节点电压方程的矩阵形式 KCL支路方程：支路方程：SS)(IUUYI-=SSnTUAYIAUAYA-=0=-SSIAUAYUAYSSnTdefn ，：UAYIAJAYAY-=设设节点导纳矩阵节点导纳矩阵独立电源引起的注入节独立电源引起的注入节点的电流列向量点的电流列向量nnnJUY=K

29、CL：KVL：0=IAUUAnT=13-4 列出图示电路的节点电压方程的矩阵形式。列出图示电路的节点电压方程的矩阵形式。=011-01-0100011-001101AL1R5R4iS4L2R3C6iS3123456 .US=0,.IS=0 0 IS3 IS4 0 0 T(1)作有向图，选参考节点；作有向图，选参考节点；(2)写关联矩阵写关联矩阵A、独立电源列相量和支路导纳矩阵；、独立电源列相量和支路导纳矩阵；AYAT .Un .=AIS .-AYUS(3)求求AYAT并代入并代入得到得到 AYAT .Un .=AIS .Un1 .Un2 .Un3 .IS3+.IS4=0 .-IS4 R31 R

30、41 j L11-j L11-R41-j L11j L11 j L21 j C6 6-j L21-R41-j L21R41 R51 j L21j L11j L21R31R41R51j C6Y=diag ,1.画有向图，给支路和节点编号，选出参考节点。画有向图，给支路和节点编号，选出参考节点。2.写出写出关联矩阵关联矩阵A3.写支路导纳矩阵写支路导纳矩阵Y5.写出矩阵形式节点电压方程的表达式写出矩阵形式节点电压方程的表达式4.写写 列向量列向量SS IU、小结小结列写节点电压方程矩阵形式的步骤如下：列写节点电压方程矩阵形式的步骤如下：nnnJUY=1.节点电压方程的矩节点电压方程的矩阵形式的一般

31、步骤是阵形式的一般步骤是什么？什么？2.矩阵形式节点电矩阵形式节点电压方程的列写中，若压方程的列写中，若电路中含有无伴（无电路中含有无伴（无串联电阻）电压源，串联电阻）电压源，将会有何问题？将会有何问题？13.5 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式 割集电压是指由割集划分的两分离部分之间割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的的一种假想电压。以割集电压为电路独立变量的分析法称为割集电压法。分析法称为割集电压法。复合支路复合支路用导纳表示的支路方程：用导纳表示的支路方程：Sk.UZk(Yk)+-k.Uk.ISk.Iek.I+-SkSkkkk)(I

32、UUYI-=0SfSfff=-=IQUYQUYQIQSS)(IUUYI-=tTff :KVL 0 :KCLUQUIQ=SfSftTffUYQIQUYQQ-=TdeftQYQY =SfSftUYQIQI-=tttI UY =割集矩阵方程割集矩阵方程割集电压法是节点电压法的推广。割集电压法是节点电压法的推广。13-5 以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵以运算形式写出如图所示电路的割集电压方程的矩阵形式。设形式。设L3、L4、C5的初始条件为零。的初始条件为零。31 245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)选选1、2、3为树支，为树支，3个单树支割集如虚线所示，树支电压个单树支割集如虚

33、线所示，树支电压Ut1(s)、Ut2(s)、Ut3(s)也即割集电压，它们的方向也是割也即割集电压，它们的方向也是割集的方向。集的方向。基本割集矩阵基本割集矩阵Q为为:1231 2 3 4 1001101010011501QQQQ=-=-iS2R2R1L4L3C5iS1电压源和电流源列向量分别为电压源和电流源列向量分别为（运算法）：（运算法）：=TSTSS1S2()00000()()()000UsIsIsIs支路导纳矩阵为：支路导纳矩阵为：512341111()diagY ssCRRsLsL=31 245Ut1(s)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS131 245Ut1(s

34、)Ut2(s)Ut3(s)iS2R2R1L4L3C5iS1则割集电压方程的矩阵形式为：则割集电压方程的矩阵形式为：5514441S12S2424435544341111()()1111()()()01111tttsCsCRsLsLsLUsIsUsIssLRsLsLUssCsCsLsLsLsL -=-由此可得：由此可得：(1)两个割集互电导中的公共支路若同时与两个割集同两个割集互电导中的公共支路若同时与两个割集同(或反或反)方向，该支路电导取正号，反之取负号。方向，该支路电导取正号，反之取负号。因为每一树支只能出现在本割集中，所以割集互导不因为每一树支只能出现在本割集中，所以割集互导不可能包含树

35、支，全部由连支构成。任一连支若是某两单树可能包含树支，全部由连支构成。任一连支若是某两单树支割集的共有支路，则该两树支必包含在这个连支的单连支割集的共有支路，则该两树支必包含在这个连支的单连支回路中，则：支回路中，则：当沿着树绕行，两个树支方向相同时其割当沿着树绕行，两个树支方向相同时其割集互导为正，反之为负集互导为正，反之为负。(2)当电压源正极性对着该割集方向时取正号，反之取当电压源正极性对着该割集方向时取正号，反之取负号。负号。1.列写割集电压方程列写割集电压方程的矩阵形式的步骤是的矩阵形式的步骤是什么？什么？2.节点电压方程和节点电压方程和割集电压方程有何割集电压方程有何区别和联系？区

36、别和联系？13.6 状态方程状态方程一、状态和状态变量一、状态和状态变量1.状态状态:电路在任何时刻所必需的最少信息电路在任何时刻所必需的最少信息,它们和自该它们和自该时刻以后的输入时刻以后的输入(激励激励)足以确定该电路的性状。足以确定该电路的性状。2.状态变量状态变量:描述电路的一组最少数目独立变量描述电路的一组最少数目独立变量,如果某如果某一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦一时刻这组变量已知，且自此时刻以后电路的输入亦已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。已知，则可以确定此时刻以后任何时刻电路的响应。选定系统中一组选定系统中一组最少数量最少数量的变量的变量X=x1，x

37、2，xnT,如果当如果当t=t0 时这组变量时这组变量X(t0)和和t t0 后的输入后的输入e(t)为已知为已知,就可以确定就可以确定 t0 及及 t0 以后任何时刻系统的响应。以后任何时刻系统的响应。二、状态方程二、状态方程 用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。用状态变量和激励所描述的电路的一阶微分方程组。特点：特点：1.联立一阶微分方程组；联立一阶微分方程组；2.左端为状态变量的一阶导数；左端为状态变量的一阶导数；3.右端仅含状态变量和输入量；右端仅含状态变量和输入量；x=x1 x2 xnT T12nxx xx=式中式中:()()()x tA x tB v t=一般形式一般形式

38、:n nn mn 1m 1RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR选选uC,iL 为状态变量，为状态变量，RuituCiCLCC-=ddCLLututiLu-=)(ddS列微分方程。列微分方程。整理得整理得LCCiCuRCtu11dd-=)(11ddStuLuLtiCL-=状态方程状态方程三、状态方程的列写三、状态方程的列写 1.直观法直观法 13-6电路图如图所示，选电路图如图所示，选uC，iL为状态变量，列写状态方程。为状态变量，列写状态方程。矩阵形式矩阵形式)(100111ddddStuLiuLCRCtituLCLC -=RuLCuS(t)+-uCiLiCuR+-+-+-

39、LiR(4)把状态方程整理成标准形式。把状态方程整理成标准形式。对于简单的网络，用直观法比较容易，列写状态方程的步骤为：对于简单的网络，用直观法比较容易，列写状态方程的步骤为：(1)选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；(2)对只接有一个电容的节点列写对只接有一个电容的节点列写KCL方程；对只包含一个电感方程；对只包含一个电感 的回路列的回路列KVL方程；方程；(3)列写其他必要的方程，消去方程中的非状态变量；列写其他必要的方程，消去方程中的非状态变量；直观编写法的缺点：直观编写法的缺点：1)编写方程不系统，不利于计算机计算。编写方程不系统，不利于

40、计算机计算。2)对复杂网络的非状态变量的消除很麻烦。对复杂网络的非状态变量的消除很麻烦。步骤：步骤：(1)选择一个树，也称为特有树，它包含电容和电压源，选择一个树，也称为特有树，它包含电容和电压源，而不包含电容和电流源。而不包含电容和电流源。(2)对包含电容的单树支割集列写对包含电容的单树支割集列写KCL方程。方程。(3)对包含电感的单连支割集列写对包含电感的单连支割集列写KVL方程。方程。(4)列写其他必要的方程，消去非状态变量。列写其他必要的方程，消去非状态变量。(5)整理并写出矩阵形式。整理并写出矩阵形式。2.系统法：对于比较复杂的电路，仅靠观察法列写状态系统法：对于比较复杂的电路，仅靠

41、观察法列写状态方程有时是很困难的，有必要寻求一种系统的编写方程有时是很困难的，有必要寻求一种系统的编写方法。简单的说，系统编写法就是寻求一个适当的树，方法。简单的说，系统编写法就是寻求一个适当的树，使其包含全部电容而不包含电感。对含电容的单树支割使其包含全部电容而不包含电感。对含电容的单树支割集用集用KCL可列写一组含有可列写一组含有的方程。对于含电感的的方程。对于含电感的用用KVL可列写出一组含有可列写出一组含有的方程。的方程。这些方程中含有一个导数项，若再加上其他约束方程，这些方程中含有一个导数项，若再加上其他约束方程，便可求得标准状态方程。便可求得标准状态方程。dtduCdtdiL单连支

42、回路运单连支回路运13.7 列写如下图所示电路的状态方程。列写如下图所示电路的状态方程。+_1F+_+_uSiSuiLiC1 1 0dd1S=-iiituLC01S=-Liiu0dd1S=-uuutiCL01S=-Cuui对图示的两个树支，按基本割集列写对图示的两个树支，按基本割集列写KCL方程方程 对图示的两个连支，按基本回路列对图示的两个连支，按基本回路列KVL方程方程-=-=SSSSddddiuiuLutiiuiuCituLCLLLCCC-=SS11111111ddddiuiutituLCLC整理得整理得矩阵形式状态方程为矩阵形式状态方程为 1.状态方程系统列写状态方程系统列写法的步骤是

43、什么？法的步骤是什么？2.如何选取特有树？如何选取特有树？13.7 应用实例应用实例计算机辅助电路分析计算机辅助电路分析 电路的矩阵表示电路的矩阵表示 用计算机程序分析电路时，应根据电路图写出这些电路数据，用计算机程序分析电路时，应根据电路图写出这些电路数据，在程序运行时，从键盘将这些数据输入计算机，或者将这些数据在程序运行时，从键盘将这些数据输入计算机，或者将这些数据先存入到某个数据文件先存入到某个数据文件(例如例如D.DAT)中，让计算机从这个文件中中，让计算机从这个文件中自动读入这些数据。自动读入这些数据。13-8用用DCAP程序对图程序对图13-21所示电路进行分析。所示电路进行分析。

44、-电压，电流和功率电压，电流和功率-节点节点 电压电压V1=8.000V2=1.000V3=3.000 各支路吸收功率之和各支路吸收功率之和P=.0000运行运行DCAP程序，读入图程序，读入图(b)所示电路数据，选择菜单中的所示电路数据，选择菜单中的功能代码功能代码2，可得到各节点电压，各支路电压、电流和吸收，可得到各节点电压，各支路电压、电流和吸收功率：功率：小结：小结：一、割集一、割集 割集割集Q是是连通图连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：1.把把Q中全部支路移去中全部支路移去(保留支路的两个端点保留支路的两个端点)，将图，将图 分成两个分离部分。分成两个分

45、离部分。2.保留保留Q 中的一条支路，其余都移去，中的一条支路，其余都移去，G还是连通的。还是连通的。3.这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支这种由一条树支及相应的连支构成的割集称为单树支 割集或基本割集。割集或基本割集。对于一个具有对于一个具有n个节点，个节点，b条支路的条支路的 连通图连通图G，独立割集的数目等于树支数，为（，独立割集的数目等于树支数，为（n1）。）。215634Q1Q2Q3二、二、关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵关联矩阵、割集矩阵、回路矩阵ajk=1 有向支路有向支路 k 背离背离 j 节点。节点。-1 有向支路有向支路 k指向指向 j 节点。节点。0 有向支路有向

46、支路 k 与与 j 节点节点无关。无关。1.关联矩阵：关联矩阵：Aa=ajkn b节点数节点数 支路数支路数 643521Aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 1 1 0设为参考节点，划去设为参考节点，划去第第4行。行。-1 -1 1 0 0 0A=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 0 0 -1 -1称称A为降阶关联矩阵为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联表征独立节点与支路的关联性质。也性质。也称关联矩阵。称关联矩阵。各行不独立。各

47、行不独立。1 支路支路k与割集与割集j方向一致。方向一致。-1 支路支路k与割集与割集j方向相反。方向相反。0 支路支路k不在割集不在割集 j 中。中。qjk=(2)支路排列顺序为先树支后连支。支路排列顺序为先树支后连支。约定约定：(1)割集方向与树支方向相同。割集方向与树支方向相同。2.基本割集矩阵：基本割集矩阵：Q=qjk n-1 b基本割集数基本割集数 支路数支路数 选选 4、5、6为树支，连支为为树支，连支为1、2、3。Q1Q2Q3Q=4 5 6 1 2 3 支路支路 割集割集 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1=1 Ql 0 0 1 0 -1 1QtQlQ1:1,2

48、,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6 123 6541Q3Q2Q3.基本回路矩阵：基本回路矩阵：选选 4、5、6为树支，连支为为树支，连支为1、2、3。123B=1 2 3 4 5 6 支路支路 回路回路 1 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 -1 1=1 Bt 0 0 1 0 1 -1BlBt123 654l3l2l3l1B=bjk l b基本回路数基本回路数 支路数支路数 1 支路支路k与回路与回路j关联，方向一致。关联，方向一致。-1 支路支路k 与回路与回路j关联，方向相反。关联，方向相反。0 支路支路k 不在回路不在回路 j中。中。bjk=三三、回路分析法回路分析法SS

49、IU、TlBZBZ=列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：列写回路电流方程矩阵形式的步骤如下：根据已知电路，画出有向图，写出回路矩阵根据已知电路，画出有向图，写出回路矩阵B；写出支路阻抗矩阵写出支路阻抗矩阵Z，电源列向量，电源列向量3.求出回路阻抗矩阵求出回路阻抗矩阵4.列出回路方程列出回路方程；lSllUIZ=。四、四、节点分析法节点分析法1.画有向图画有向图2.写出写出关联矩阵关联矩阵A3.写支路导纳矩阵写支路导纳矩阵Y5.用矩阵乘法求得节点方程用矩阵乘法求得节点方程nSnTnnIUAYAUY=4.写写 列向量列向量SS IU、SSfI，U，Y，Q 1.选定一个树，写出选定一个树，写出五、五

50、、割集分析法割集分析法 I，YtSt 2.求出求出3.列出割集方程列出割集方程tSttI UY=线性电路以线性电路以iL,uC为状态变量。为状态变量。六、状态方程的列写六、状态方程的列写 步骤：步骤：1.选择一个树，也称为特有树，它包含电容和电压源，选择一个树，也称为特有树，它包含电容和电压源，而不包含电容和电流源。而不包含电容和电流源。2.对包含电容的单树支割集列写对包含电容的单树支割集列写KCL方程。方程。3.对包含电感的单连支割集列写对包含电感的单连支割集列写KVL方程。方程。4.列写其他必要的方程，消去非状态变量。列写其他必要的方程，消去非状态变量。5.整理并写出矩阵形式。整理并写出矩

51、阵形式。13-1 图图(a)以节点以节点4为参考节点，图为参考节点，图(b)以节点以节点5为参考节为参考节点，写出点，写出13-1图所示有向图的关联矩阵图所示有向图的关联矩阵A。-=101010110100011001321A (a)1 2 3 4 5 6 (b)-=000000110011000001011100110001014321A1 2 3 4 5 6 7 813-2 下图所示有向图，若选支路下图所示有向图，若选支路1、2、3为树支，写出为树支，写出基本回路矩阵基本回路矩阵和基本割集矩阵和基本割集矩阵。fBfQ-=110100011010111001321fB (a)4 5 6 1

52、2 3-=101100111010011001321fQ (b)1 2 3 4 5 613-3电路如下图所示，列出矩阵形式的回路电流方程。电路如下图所示，列出矩阵形式的回路电流方程。R1R2-4jLS1I3jL+S2U5j1C12345l2l1-=110101010121fB 1 2 3 4 5TS1S0000II=TS2S0000UU=54321j100000j00000j0000000000CLLRRZ-=54255531Tfj1jj1j1j1jCLRCCCLRZBBZfl=-=S2S112154255531j1jj1j1j1jUIRIICLRCCCLRIZllll-R1R2-4jLS1I

53、3jL+S2U5j1C12345l2l113-4 用矩阵形式列出电路的回路电流方程：用矩阵形式列出电路的回路电流方程：(1)L2和和L3之间不含互感；之间不含互感；(2)L2和和L3之间含有互感。之间含有互感。15243(1)选支路选支路1、4、5为树支，支路为树支，支路2、3为连支，则为连支，则基本回路矩阵为：基本回路矩阵为：12 2 3 1 4 51011001011lBl-=-+US5R5R1L2L3C4IS1123M-TSS50000UU=-TSS10 00 0II=231541diag jjjZLLRRC=TSSlBZB IBUBZI=-代入代入(2)L2和和L3之间含有互感时，只有

54、支路阻抗阵和之间含有互感时，只有支路阻抗阵和(1)不同，不同，电流流进互感同名端，则电流流进互感同名端，则 +US5R5R1L2L3C4IS1123M-124411S12S5534411jjj11jjjllRLCCIR IIURLCC-=-23145jj000jj000000010000j0000LMMLRZCR=则回路电流矩阵方程为：则回路电流矩阵方程为：+US5R5R1L2L3C4IS1123M-124411 S12S5534411jjjj11jjjjllRLMCCIR IIUMRLCC -=-TSS5TSS100000000UUII=-=-=123123450+US5R5R1L2L3C4

55、IS1123-013-5 列写如图所示电路的节点电压方程。列写如图所示电路的节点电压方程。(1)L2和和L3之间不含互感；之间不含互感；(2)L2和和L3之间含有互感。之间含有互感。110000111000101A=-(1)412351111diagjjjYCRLLR=122T422333531110jj1111jjjjj1110jjnRLLYAYACLLLLLRL-=-TS5SSS150nUJAIAYUIR=123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123-0 从从Yn可知，可知，Yn主对角线上的元素为节点主对角线上的元素为节点自导纳自导纳,恒为恒为正正值，主对角线外的元素为节点之

56、间的值，主对角线外的元素为节点之间的互导纳互导纳，恒取，恒取负负值。值。等式右边为节点电流源流进的电流（流入为等式右边为节点电流源流进的电流（流入为“+”）。）。-TS5SSS150nUJAIAYUIR=1221S14222333S553531110jj1111j0jjjj1110jjnnnRLLUICULLLLUURLRL-=-=-(2)L2和和L3之间有互感。之间有互感。123123450+US5R5R1L2L3C4IS1123M-110000111000101A=-=-TSS5TSS100000000UUII=-=-=+US5R5R1L2L3C4IS1123M-1324510000000

57、000000j010000RLMYLMCR-=1234500000jj000jj0010000j0000RLMMLZCR=则则 223j()L LM=-=-331T3232422512j1nLLMMRLMLLMLMYAY ACLMLMR-=-TS5SSS150nUJAIAYUIR=3311S13232423S5225512j01nnnLLMMRUILMLLMLMCUUULMLMRR-=-34512 (b)L3iS5(a)L4G1G2C5-=011000011110001321A1 2 3 4 5 13-6 电路如下图电路如下图(a)所示，图所示，图(b)是它的有向图。设是它的有向图。设的初始条

58、件为零，试用运算形式列写出的初始条件为零，试用运算形式列写出该该电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。3L5C4L、=5432111,sCsLsLGGdiagsY,TS5S)(0000)(sIsI=)()()(sAYUsAIsUAYASSnT-=0)(S=sUL3iS5 (a)L4G1G2C534512 (b)=-001110110532143333211151)()()()(sIsUsUsUsLsLsLsLsLGGGGsCGSnnn000111011011000A=-=-TSTSS5000000000UII=5243103122134500000000j0000000000LMLMYCGG

59、-=-g13-7电路如图所示电路如图所示,L1和和L2之间有互感之间有互感,试列写节点电压方程。试列写节点电压方程。iS5guauaG5C3G4+-*ML2L1其中其中 )(j221MLL-=代入代入 =-TSSnAYA UAIAYU，得，得 =-0020j0S5n3n2n121222344454IUUUMLLMLMLLCGgGgGGG其中其中 )(j221MLL-=13-8 电路如图所示，试用运算形式写出该电路割集电压电路如图所示，试用运算形式写出该电路割集电压方程的矩阵形式。（设电感电容的初始条件为零）方程的矩阵形式。（设电感电容的初始条件为零）(1)作出电路的有向图，如图作出电路的有向图

60、，如图(b)所示，选支路所示，选支路1、2、3为树支。为树支。(3)由于电源中不含受控源，所以由于电源中不含受控源，所以 支路导纳矩阵为一对角阵支路导纳矩阵为一对角阵L4SiR1R1C5L3C6R2L3(a)=654321,1,1,1,1diagsCsCsLsLRRsY152436 (b)(sUt1)(sUt 3)(sUt 2-=111100101010011001321QQQQf1 2 3 4 5 6 (2)由图由图(b)可写出基本割集矩阵可写出基本割集矩阵(4)将上式关系代入割集电压方程得将上式关系代入割集电压方程得:=-0011111111111132165436454646424544

61、541)()()()(sIsUsUsUsCsCsLsLsCsLsCsLsCsLsCsLRsLsCsLsLsCsLRSttt)()()()()(SfSftTffsUsYQsIQsUQsYQ-=电压源和电流源列向量分别为电压源和电流源列向量分别为:TS1SS0000 0sIsIsU=13-9 选选 uC,i1 ,i2为状态为状态变量，列写状态方变量，列写状态方 程。程。R1-+uSCuCiSiRR2i2L2L1 -+i112ddCuCiit-=-=11121Sd()dCiLuiiRut=-=-222121SS2d()()dCiLuiiRuiiRt=-=-S1111S111122112222222d11000dd110dd11dCCutCCuuiRRiitLLLLiiRRRRtLLLLL-=-21211121S22121SS2ddd()dd()()dCCCuCiitiLuiiRutiLuiiRuiiRt-=-=-=-=-=-学习结束学习结束