不等式的性质及解法

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1、.不等式的性质及解法不等式的性质及解法知识要点：知识要点：不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，ac bc(c 0)即a b ac bc(c 0)ac bc(c 0)2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。不等式的性质可分为：a b a b 01）、公理这也是将不等式问题比较两个实数 a、b

2、的a b a b 0大小，转化为恒等变形问题的依据。2）、基本性质：（1）对称性a b b a这个性质等式中也存在，即a b b a，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b 2ab(a,b R)这个基本不等式本身就有a2 b2 2ab及2ab a2 b2两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。（2）传递性a b,b c a c这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。（3）移项法则a b a c b c如：x 3 2 x 1，相当于在x 3 2这个不等式两边同时加上3 得到的。3、运算性质：（1）加法运算：a b,c d a c b d

3、（2）减法运算：统一成加法运算a b,c d a b,d c a d b c（3）乘法运算：a b o,c d 0 ac bd 0（4）除法运算：统一成乘法运算11aba b 0,c d 0 a b 0,0 0dcdc111（由y 在（0，+）上是减函数，c d 0 0）xdc（5）乘方运算：a b 0 an bn(n N,n 2).;.（6）开方运算：a b 0 na nb(n N,n 2)4、函数的单调性：（1）a b a3 b3（y x3在(,)上是增函数）（2）a b 2a 2b（y 2x在(,)上是增函数）诸如此类：a b 0 log1a log1b(y log1x在(0,)上是减函

4、数)已知幂函222数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。我们知道，求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式。一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式那么这种变形叫做不等式的同解变形。解不等式的每一步都要求是同解变形。一元一次不等式（组）和一元二次不等式的解法，是解其它各种不等式（组）的基础。高次不等式、分式不等、无理不等式、指数对数不等式的解法都是通过等价转化为一元一次不等式（组）和一元二次不等式后求解。在解不等式的过程中，要注意保持字母的允许值范围不发生变化。为此，要注意不等式两边同乘以一个数或式对不等式

5、所产生的影响，要注意不等式两边同次乘方、开方或取对数等运算的可行性。在解不等式或不等式组的过程中，要熟练掌握集合的交、并运算；要充分运用数轴与图象的直观，找全辅助不等式，把每一个解不等式问题等价转化为解不等式组问题。方程与函数的思想、分类与归纳的思想、等价转化的思想及数形结合的思想在解不等式问题中都有着广泛的应用。解不等式的方法有：图象法一元二次不等式、高次不等式、三角不等式等；转化法分式不等式、无理不等式、指数对数不等式等。1、一元二次不等式的解法解一元二次不等式与一元二次方程及二次函数有密切联系求根、画图象、写解集例 1：解关于 x 的不等式ax2(a 1)x 1 0其中a 0解：由一元二

6、次方程ax2(a 1)x 1 0的根为x11,x2（1）当1知a.;11，即0 a 1时二次函数y ax2(a 1)x 1的草图为：a1故原不等式的解为(1,)a1（2）0 1,即a 1时二次函数y ax2(a 1)x 1的草图为：a.1故原不等式的解为（,1）a（3）11，即 a=1 时二次函数y ax2(a 1)x 1的草图为：a故原不等式的解为1综上，当0 a 1时原不等式的解集为(1,)；当a 1时原不等式解集为a1(,1)；当a 1时原不等式解集为。a11例 2：已知关于 x 的不等式ax2 bx c 0的解集是x|x,或x。求32关于 x 的不等式ax2 bx c 0的解集。解：此

7、题是对一元二次不等式的解进行讲行讨论知解集求原不等式中待定常数的值。11ax2 bx c 0的解集是x|x,或x 32y=ax2 bx c的草图应为：a 02b 4ac 0故：11 ba3211c32a不等式ax2 bx c 0可化为bc51x2x 0即x2x 0aa6611解得其解集为x|x 232、高次不等式的解法解高次不等式的方法是图象法，具体步骤是求根、画图象、写解集。例：解不等式x33x2 x 1 0解：方程x33x2 x 1 0可化为(x 1)(x2 2x 1)0知其根为.;.x11,x212,x312故函数y x3 3x2 x 1的草图为：因此，原不等式的解集为 x|x 12或1

8、 x 123、分式不等式的解法解分式不等式的方法是转化法，具体步骤是移项、通分、转化。f(x)f(x)0或 0（g(x)0）的形式，首先将不等式经过同解变形，化成g(x)g(x)f(x)g(x)0f(x)f(x)0 f(x)g(x)0或 0然后再利用同种变形：g(x)0g(x)g(x)x2 9x 11 7例：解不等式2x 2x 16x2 5x 4 0解：移项，通分得2x 2x 1(2x 1)(3x 4)0(x 1)22(2x 1)(3x 4)(x 1)0转化为2(x 1)0(2x 1)(3x 4)0 x 1 01解得，所求不等式的解集为x|x 1或1 x 243说明：高次不等式中对重根的处理分

9、奇次重根、偶次重根两种。如(x x1)3(x x2)(x x3)0(x x1)(x x2)(x x3)0;x x1(x x1)4(x x2)(x x3)0或x x1时不等式成立（若为(x x2)(x x3)0大于零，则x x1时不等式不成立）。4、无理不等式的解法解无理不等式的方法是通过乘方讨论的方法将其转化。g(x)0g(x)0f(x)g(x)或2f(x)0f(x)g(x).;.f(x)0f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)05、指数不等式和对数不等式的解法解指对数不等式的方法是通过函数的单调性将其转化为代数不等式（组）求解。a 1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)g(x)0logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0 a 1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)f(x)g(x)注意分类与归纳思想的正确运用。若解关于 x 的不等式，对 x 进行讨论，最终结果应求并集，如解无理不等式。若解关于x 的不等式，对除x 以外的字母进行讨论，最终结果不能求并集，只能分别表述，如解指数对数不等式。.;