不等式关系与不等式[1]

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1、第三章第三章不等式不等式3.13.1 不等式关系与不等式不等式关系与不等式教学目的：教学目的：1.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;不等式就是对两个代数式的大小的比较。不等式就是对两个代数式的大小的比较。2.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;3.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;教学重点：教学重点：1.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;2.不等式的基本性质的应用.教学难点：教学难点：1.用不等式(组)表示不等关系;2.差值比较法：作差变形判断差

2、值的符号;3.不等式基本性质的应用.教学过程教学过程：一、引入新课：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.而在数学中,我们则是用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：二、讲解新课：(一一)用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系引例引例 1 1 限速40km/h 的路标,指示司机在行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:v 40引例引例 2 2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂

3、肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是用不等式组来表示 f 2.5%p 2.3%问题问题 1:1:设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点,则d|AB|.问题问题 2:2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解解:设杂志社的定价为x元,则销售的总收入为(8x2.50.2)x万元,0.1那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x2.50.2)x 200.1问题问题 3:3:某钢铁

4、厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数量不能超(8过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解解:假设截得500mm 的钢管x根,截得600mm 的钢管y根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:1500 x600y 4000;3x y;x 0;y 0.(二二)不等式的基本性质不等式的基本性质1.1.判断两个实数

5、大小的充要条件判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a,b,在a b,a b,a b三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:a b a b 0a b a b 0a b a b 0由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了2.2.不等式的定义不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明:(1)不等号的种类:,.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集R.3.3.同向不等式与异向不等式同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如a b,c d,是同向不等式.异向

6、不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如a b,c d,是异向不等式.4.4.不等式的性质不等式的性质定理定理 1 1：如果a b,那么b a；如果b a,那么a b.(对称性)即a b b a证明:a ba b 0由正数的相反数是负数,得(a b)0即ba 0b a(定理的后半部分略)点评：点评：定理 1 即a b b a定理定理 2 2：如果a b且b c,那么a c.(传递性)即a b,b c a c证明：a b,b ca b 0,b c 0根据两个正数的和仍是正数得(a b)(b c)0即a c 0a c点评：点评：(1)根据定理 l,定理 2 还可以表示为c b,b a c a;(2

7、)不等式的传递性可以推广到n个的情形.定理定理 3 3：如果a b,那么a c bc.即a b a c bc(加法性质)证明：a ba b 0(a c)(b c)0即a c b c点评：点评：(1)定理 3 的逆命题也成立;(2)利用定理 3 可以得出,如果a b c,那么a c b,也就是说,不等式中任何一项改变符号2后,可以把它从边移到另一边.定理定理 4 4：如果a b且c 0,那么ac bc;如果a b且c 0,那么ac bc.(乘法性质)证明：ac bc (a b)ca ba b 0当c 0时,(a b)c 0即ac bc当c 0时,(a b)c 0即ac bc定理定理 5 5：如果

8、a b且c d,那么a c b d(相加法则)即a b,c d a c b da b a c bc a c b dc d bc b da b a b 0证法二：a bc d 0 a c b dc d c d 0证法一：点评：点评：这一定理可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理定理 6:6:如果a b 0且c d 0,那么ac bd.(相乘法则)证明：a b,c 0ac bc又c d,b 0,bc bd由、可得ac bd.说明：说明：(1)所有的字母都表示正数，如果仅有a b,c d，就推不出ac bd的结论.(2)这一

9、定理可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.定理定理 7:7:若a b 0,则 a b(n N 且 n 1).说明：说明：(1)定理 7 是定理 6 的特殊情形;(2)当两边都是正数时，两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向。定理定理 8:8:若a b 0,则na 有两种情形,即na 行“穷举”.证明：假定na不大于nb,这有两种情况na 由定理 7 和定理 1,当na 当na 所以na nnnnnnnb(nN且n 1).(指数运算性质)点拨：点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的

10、“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面b和na nb,所以不能仅仅否定了na nb,就“归谬”了事,而必须进b或者na nbb时,有a b;b时,显然有a bn这些都同已知条件a b 0矛盾b.点评：点评：(1)反证法证题思路是:反设结论找出矛盾肯定结论.(2)当两边都是正数时，两边同时开方所得的不等式和原不等式同向。定理定理 9 9：若a b且ab 0,则证明：11.(倒数性质)ab11baabab3又a b,ab 0b a 0,11ab11b a 0abab5.5.不等式的基本性质小结不等式的基本性质小结(1)a b b a;a b b a(定理 1,对称性)(2)a b,b c

11、 a c(定理 2,传递性)(3)a b a c bc(定理 3,加法单调性)(4)a b,c d a c b d(定理 3 推论,同向不等式相加)(5)a b,c d a c b d(异向不等式相减)(6)a.b,c 0 ac bc;a b,c 0 ac bc(定理 4,乘法单调性)(7)a b 0,c d 0 ac bd(定理 4 推论 1,同向不等式相乘)(8)a b 0,0 c d(9)a b,ab 0ab(异向不等式相除)cd11(倒数关系)ab(10)a b 0 an bn(n Z,且n 1)(定理 4 推论 2,平方法则)(11)a b 0 na nb(n Z,且n 1)(开方法

12、则)(*)a b 0,0 a b;a b 0,0 a b(*)a 0,b 0,则a b 三、讲解范例：三、讲解范例：(一一)用不等式表示不等关系用不等式表示不等关系例例 1 1 如图,函数y f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系,y g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本).解解:略例例 2 2 某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么

13、条件?解解:略例例3 3 某厂使用两种零件A,B,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A,2个B;乙需要6个A,8个B.某个月,该厂能用的A最多有14000个,B最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来.解解:略例例 4 4 若需要在长为4000mm 的圆钢上,截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组?解解:略(二二)不等式的基本性质不等式的基本性质4aaa1;a b 1;a b 1bbb42例例 1 1 已知x 0,比较(x 1)与x x 1的大

14、小.22解解:略引伸引伸:在例中,如果没有x 0这个条件,那么两式的大小关系如何?结论结论:例 1 是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差变形判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例例 2 2 已知a b 0,m 0,试比较解解:略例例 3 3 已知a b 0,0 c d,求证:证明证明:略例例 4 4 已知x y且y 0,比较解解:略思考题思考题:1.设a,b 0,nN,且a b,比较(a b)(a b)与2(a2.比较a b c与abbc ca的大小.222*nnn1b mb与的大小.a maabcdx与1的大小.ybn

15、1)的大小.114,N,试比较M和N的大小.xyx y例例 5 5 若1 a b 5,1 a b 3,求3a 2b的范围.3.已知x,y均为正数,设M 解解:略类型题类型题:已知f(x)ax bx,如果1 f(1)2,2 f(1)4.求证:7 f(2)14.分析分析:利用f(1)与f(1)设法表示a,b然后再代入f(2)的表达式中,从而用f(1)与来表示f(2),最后运用已知条件确定f(2)的取值范围.证明证明:略思考题思考题:211同时成立的条件.ab112.ab 0,|a|b|,比较与的大小.ablogsinlogsin3.若a b 0,c d 0,求证:.a cb d4.设函数f(x)的

16、图象为一条开口向上的抛物线.已知x,y均为不等正数,p 0,q 0且p q 1,求证:f(px qy)pf(x)qf(y)1.若a,bR,求不等式a b,四、课堂练习四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号:2)26 2 6;(2)(3 2)2(6 1)2;11(3);(4)当a b.0时,log1alog1b.6 55 222(1)(3 2.选择题:5(1)若a 0,1 b 0,则有()A.a ab ab B.ab ab a C.ab a ab D.ab ab a(2)logm2 logn2成立当且仅当()An m 1或1 m n 0 B1 m n 0Cn m 1或1 n m 0或m

17、 1 n 0 Dm n 13.比较大小：(1)(x 5)(x 7)与(x 6)(2)log12224.如果x 0,比较(x 1)与(x 1)的大小.2222211与log13232a 1)(a22a 1)与(a2 a 1)(a2 a 1)的大小.1226.已知2x 4y 1,比较x y与的大小.2025.已知a 0,比较(a 7.比较2sin与sin2的大小(0 2).1t 1的大小.logat与loga22329.设a 0且a 1,比较loga(a 1)与loga(a 1)的大小.b10.如果a,b 0,求证:1 b aa8.设a 0且a 1,t 0,比较3.23.2 一元二次不等式及其解法

18、一元二次不等式及其解法教学目的：教学目的：1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系“三个二次”之间的关系;2.熟练掌握一元二次不等式的解法;3.掌握简单的分式不等式、高次不等式以及绝对值不等式的解法;4.能利用分类讨论的思想讨论简单的含参一元二次不等式解法;5.理解图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想.教学难点：教学难点：1.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系;2.分类讨论的数学思想.教学过程教学过程：一、引入新课：一、引入新课：阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网,现在有两家 ISP 公司可供选择,收费标准不一样.计算并比较两种不

19、同的收费方式,由此抽象出不等式的关系,引出一元二次不等式的概念.二、讲解新课：二、讲解新课：1.1.一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 (1)(1)一元二次不等式一元二次不等式含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.(2)(2)一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法求一般的一元二次不等式ax bx c 0(a 0)或ax bx c 0(a 0)的解集,我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根,再根据函数图像与x轴的相应位置确定一元二次不等式的解集.利用“二次函数”图像和性质解一元二次不等式,首先

20、要明确“二次函数”的开口方向及其在x轴上的截距.下表给出“三个二次”之间的关系,这是解一元二次不等式的核心:6222判别式 b2 4acy 0y 0y 0二次函数y ax2bx c(a 0)的图像一元二次方程x1x2xx1=x2x有两个相等实数根xax2bxc 0(a 0)的根有两相异实数根x1,x2(x1 x2)x1 x2 x|x b2a没有实数根ax2bx c 0(a 0)的解集x|x x1或x x2b2aRax2bx c 0(a 0)的解集x|x1 x x2口诀:二次不等式,系数先化正;大于取两边,小于取中间.(3)(3)解一元二次不等式的一般步骤解一元二次不等式的一般步骤利用不等式的性

21、质,将不等式进行同解变形为一般形式(其中a 0):ax bx c 0或ax bx c 0或ax bx c 0或ax bx c 0计算判别式 b 4ac的值当 0时,解方程ax bx c 0得两不等的实根x1,x2,不妨设x1 x2,则ax bx c 0的解集为x|x x1或x x2ax bx c 0的解集为x|x x1或x x2ax bx c 0的解集为x|x1 x x2ax bx c 0的解集为x|x1 x x2当 0时,解方程ax bx c 0得两相等的实根x1,x2,则ax bx c 0的解集为x|x x1ax bx c 0的解集为Rax bx c 0的解集为ax bx c 0的解集为x

22、|x x1当 0时,解方程ax bx c 0没有实根,则ax bx c 0的解集为Rax bx c 0的解集为Rax bx c 0的解集为ax bx c 0的解集为2.2.简单的分式不等式解法简单的分式不等式解法22222222222222222222f(x)0(0)f(x)g(x)0(0)g(x)f(x)g(x)0(0)f(x)(2)0(0)g(x)g(x)0 (1)3.3.简单的绝对值不等式解法简单的绝对值不等式解法7 (1)|f(x)|a(a 0)f(x)a或f(x)a (2)|f(x)|a(a 0)a f(x)a4.4.含参数不等式解法分类讨论含参数不等式解法分类讨论在处理系数含有参数

23、的二次不等式问题时,务必注意对参数进行讨论.(1)二次项系数含参数时,一般要分三种情况讨论:a 0,a 0,a 0(2)对判别式也分三种情况讨论:0,0,0(3)对不等式对应方程的根x1,x2也分三种情况讨论:x1 x2,x1 x2,x1 x2三、讲解范例：三、讲解范例：例例 1 1 解下列不等式x 4x5 02x x1 0解解：二次方程x 4x5 0,4 0,方程无解.又函数y x 4x5的图像开口向上,与 x 轴无交点,故不等式的解集为R.法 1:注意到二次项系数小于0,函数图像开口向下2222121由图像可得,不等式的解集为x|x ,或x 122法 2:第一步“系数化正”（同解变换）,不

24、等式可化为2x x1 01第二步“求出零点”,方程的解为x1,x212又方程2x x1 0的解为x1,x212第三步“大于取两边,小于取中间”（分类讨论）,不等式的解集为x|x ,或x 1评注评注:利用“二次函数”图像,结合上表固然可以灵活的解决各种一元二次不等式问题,但第小题法 2 所用的“口诀”方法在解决一元二次不等式、一元高次不等式及一元分式不等式中都有着非常广泛的应用,其中所包含的同解变换思想、分类讨论思想值得同学们认真体会;另外,它的算法“步骤”更适合初学者掌握.练习练习 1:1:解下列不等式：x 4x4 03x 7x3 022122x 3x2 06x x2 022答案答案:x|x

25、2或x 127 137 1321 x x|x 或x x|6632例例 2 2 解下列不等式：2x111x x3xx4 0,解解：通分、移项(同解变换),不等式可化为x3它的同解不等式为(x4)(x3)0解得不等式解集为x|x 4,或x 3分类讨论：81x 0,原不等式可化为x 1,解得x 1或x 1,故x 122x 0,原不等式可化为x 1,解得x1,0)(0,1,故1 x 0综上,不等式得解集为x|1 x 0,或x 1评注评注:解简单的分式不等式及高次不等式其实跟解二次不等式的道理是相通的,无外乎将其尽量化成一次式的乘积,然后通过讨论求解.其等价性类似此例：2x4 0 x4 0 x4 0 或

26、(x4)(x3)0 x3x3 0 x3 0第 2 小题还有一种解法比较普遍,即先通分,将不等式一边化为0,然后“系数化正”、“求出零点”、“穿线求值”,此法谓“穿根法”.练习练习 2:2:解下列不等式：x1x3 0 x(x2)x3 0(1 x)(1|x|)0答案答案:x|x 3或x 1x|x 2,或0 x 3x|x 1,且x 1例例 3 3 已知不等式ax2bx2 0的解集为x|12 x 13,试求实数a,b的值;若不等式ax2ax1 0的解集为R,求实数a的取值范围.解解:由题意知1 122,3是方程ax bx2 0的二实根,由韦达定理得b 11 b 2a232 a 1213 a 12分两种

27、情况:1a 0,原不等式可化为1 0,显然成立2a 0,则a 0,得 a24a 04 a 04 a 0练习练习 3:3:(1)已知关于x的不等式ax2bx2 0的解集是x|x 2,或x 12,求不等式ax2bx2 0的解集;(2)已知关于x的不等式(m2 2m 3)x2(m 3)x 1 0的解集为R,求实数m的取值范围.答案答案:(1)x|12 x 2 (2)m(15,3例例 4 4 解关于x的不等式x2(a1a)x10(a 0,aR).解解:方程x2(a 11a)x 1 0的两个根为a,a且a 1a21(a 1)(a 1)aaa当a 1或1 a 0时,a 11a,原不等式的解集为(a,a)9

28、当a 1或0 a 1时,a 当a 1时,a 11,原不等式的解集为(a,)aa1,原不等式的解集为a2例例 5 5 解关于x的不等式2x mx 2 0解解:当 4 m 4时,不等式解集为R当m 4时,不等式的解集为x|x 当m 4orm 4时,m4 m m216 m m216orx 不等式的解集为x|x 442例例 6 6 解关于x的不等式mx 2x 1 0解解:当m 1时,不等式的解集为R当m 1时,不等式的解集为x|x 1当0 m 1时,不等式的解集为x|x 11 m1 1 morx mm121 1 m1 1 m x 当m 0时,不等式的解集为x|mm当m 0时,不等式的解集为x|x 练习

29、练习 4 4:(1)解关于x的不等式(x2)(ax2)0 (2)解关于x的不等式x (m m)x m 0答案答案:(1)当a 0时,有x|x 222322)0,得x|x 2aa2当a 0时,即(x 2)(x)0a2当0 a 1时,得x|x orx 2a当a 1时,得x|x 22当a 1时,得x|x 2orx a (2)当m 0orm 1时,不等式的解集为2当m 1orm 0时,不等式的解集为x|m x m 当a 0时,即(x 2)(x 当0 m 1时,不等式的解集为x|m x m例例 7 7 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm 和汽车的速度xkm/h 有如下的2112xx在一次交通事故中

30、,测得这种车的刹车距离大于39.5m,20180那么这辆汽车刹车前的速度是多少？(精确到0.01km/h)解解:设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h112xx 39.5根据题意,我们得到20180关系:s 10移项整理得：x 9x7110 0显然 0,方程x 9x7110 0有两个实数根即x1 88.94,x2 79.94所以不等式的解集为x|x 88.94,或x 79.94在这个实际问题中x 0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例例 8 8 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值22y(元)之间有如下的关系y 2x2

31、220 x若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车,根据题意,我们得到2x 220 x 6000移项整理得x 110 x3000 0因 为 100 0,所 以 方 程x 110 x3000 0有 两 个 实 数 根x1 50,x2 60由二次函数的图象,得不等式的解为50 x 60因为x只能取正整数所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51 59辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.2223.33.3 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与

32、简单的线性规划问题教学目标：教学目标：1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;3.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;4.培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;5.通过本节学习,着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想,理解如何用“形”去研究“数”,如何用“数去解释“形”.教学难点：教学难点：1.二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax By C 0(或 0)

33、表示Ax By C 0得哪一区域;2.准确求得线性规划问题的最优解及最优解是整数解;3.把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答.教学过程：教学过程：一、讲授新课一、讲授新课1.1.二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域:先 讨 论 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以 二 元 一 次 不 等 式x y 1 0 的 解 为 坐 标 的 点 的 集 合(x,y)|x y 1 0所在的平面区域.由x y 1 0得y x 1,令y y0 x01,则点(x0,y0)在直线y x 1,即x y 1 0上,点(x0,y)在点(x0,y0)的上方,即在直线x y 1 0的上方.所以在平面直角

34、坐标系中，以二元一次不等式x y 1 0的解为坐标的点的集合x,y|x y 1 0是在直线x y 1 0右上方的平面区域.一般地,二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组11成的平面区域.说明:二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上,(x,y)|Ax By C 0(x,y)|Ax By C 0(x,y)|Ax By C 0作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.推导:举例说明.2.2.判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法判断二元一次不等式表示哪一侧平面

35、区域的方法:方法 1:记住下列一般性结论:(1)若B 0,则Ax By C 0表示直线Ax By C 0上方的平面区域.Ax By C 0表示直线Ax By C 0下方的平面区域.(2)若B 0,则Ax By C 0表示直线Ax By C 0下方的平面区域.Ax By C 0表示直线Ax By C 0上方的平面区域.(3)若B 0,A 0,则AxC 0表示直线AxC 0右侧的平面区域.AxC 0表示直线AxC 0左侧的平面区域.若B 0,A 0,则AxC 0表示直线AxC 0左侧的平面区域.AxC 0表示直线AxC 0右侧的平面区域.方法 2:取特殊点检验;原因:由于对在直线Ax By C 0

36、的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax By C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0 By0C的正负即可判断Ax By C 0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地特殊地,当C 0时,常取原点检验.对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域.求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤:先依不等式作直线,注意虚实;取点:在直线的某一侧取一点;确定符号,即确定直线某一侧的符号;若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分.3.3.线性规划问题：线性规划问题：引例引例:已知f(

37、x)px q且 4 f(1)1,1 f(2)5,求f(3)的取值范围.错解:由24 p q 1 0 p 3,1 q 71 4p q 5而f(3)9p q利用不等式性质得7 f(3)9p q 26.p f(1)p q 3正解:由 4f(2)4p q q 3而 4 1,1 5,f(3)9p q 所以f(3)1,20错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习-线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了.128533(1)(1)基本概念：基本概念：设z 2x y,式中变量满足下列条件:x 4y 33x 5y 25,求z的最大值和最小值.x 1线性规划的基本概

38、念:线性约束条件：线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量x1,x2,xn的限制条件称为约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量x,y的约束条件,这组约束条件都是关于x,y的一次不等式,故又称线性约束条件.线性目标函数：线性目标函数：(关于变量x1,x2,xn达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于x,y的一次式z 2x y是欲达到 最 大 值 或 最 小 值 所 涉 及 的 变 量x,y的 解 析 式,叫 线 性 目 标 函 数.(例 如 关 于x,y的 解 析 式：z 2x y,z x2 y2等等的叫做目标函数).线性规划问题：线性规划问题：一般地,求线性目标函数在线性约束条

39、件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：可行解、可行域和最优解：a.满足约束条件的解(x,y)叫可行解b.由所有可行解组成的集合叫做可行域.可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线l1,l2,ln的斜率为k1,k2,kn，而且目标函数的直线的斜率为k,则当ki k ki1时，直线li与li1相交的顶点一般是最优解;特

40、别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行(k ki)时,其最优解可能有无数个.c.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.线性规划问题：线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.(2)(2)用图解法解决线性规划的一般步骤：用图解法解决线性规划的一般步骤：画:画出约束条件表示的可行域;移:作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;求:根据直线方程求解出最优解;算:根据最优解算出最优值(最大值或最小值);特:若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.4.4.实际问题中的线性规划：实际问题中的线性规划：(1

41、)建模:注意审题,根据题意列出线性规划模型;(2)求解:利用图解法求解模型(注意实际意义).二、例题解析：二、例题解析：(一一)平面区域的表示：平面区域的表示：例例 1 1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域.解解:略13例例 2 2 作出(x y 2)(x y 4)0表示的平面区域.解解:略x y 5 0表示的平面区域例例 3 3 画出不等式组x y 0 x 3解解:略x 2y 1 0例例 4 4(1)画出不等式组2x y 5 0所表示的平面区域;y x 2 (2)求由不等式y 2及x y x 1所表示的平面区域.解解:略例例5 5已 知 直 线l的 方 程 为Ax By C 0,点M

42、1(x1,y2),M2x2,y2为 直 线l异 侧 的 任 意 两点,M1,M3(x3,y3)为直线l同侧的任意两点.求证:(1)Ax1 By1C与Ax2 By2C异号;(2)Ax1 By1C与Ax3 By3C同号.证明证明:(1)M1,M2在直线l的异侧,则l必交M1M2于M0设M0分M1M2之比为,则M1M0M0M2易得 Ax1 By1C 0Ax2 By2C所以Ax1 By1C与Ax2 By2C异号;(2)M1,M3在直线l的同侧,而M1,M2在直线l异侧所以M3,M2在l异侧由(1)得Ax3 By3C与Ax2 By2C异号;所以Ax1 By1C与Ax3 By3C同号(二二)线性规划的基本

43、概念：线性规划的基本概念：x 2y 2例例 1 1 已知x,y满足不等式2x y 1,求z 3x y的最小值.x 0,y 0解解:略评述评述:简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;（3）在可行域内求解目标函数的最优解.2x y 300 x 2y 250例例 2 2 已知x,y满足不等式组,试求z 300 x 900y的最大值时的点的坐标,及相应的z的最大x 0y 0值.解解:略143x y 300例例 3 3 求z 600 x

44、 300y的最大值,使式中的x,y满足约束条件x2y 252的整数值.解解:略x 0,y 0例例 4 4 在约束条件:2x 5y 10,2x 3y 6,2x y 10下,求z x y的最大值.解解:略小结小结:用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:画:画出约束条件表示的可行域;移:作出目标函数,并平移确定出最优解的位置;求:根据直线方程求解出最优解;算:根据最优解算出最优值(最大值或最小值);特:若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格.(三三)线性规划的应用：线性规划的应用：例例 1 1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 1 t,需耗A种矿石 10 t

45、、B种矿石 5 t、煤 4 t;生产乙种产品需耗A种矿石 4 t、B种矿石 4 t、煤 9 t.每 1 t甲种产品的利润是 600 元,每 1 t乙种产品的利润是 1000 元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过 300 t、B种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t,甲、乙两种产品应各生产多少(精确到 0.1 t),能使利润总额达到最大？分析：将已知数据列成下表：产品消耗量资源甲产品（1 t）乙产品(1 t)资源限额（t）22A种矿石（t）B种矿石(t)煤(t)利润（元）10546004491000300200360例例 2 2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种

46、规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板使所用钢板张数最少？例例 3 3 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,若采用甲种原料,每吨成本 1000 元,运费 500 元,可得产品 90 千克;若采用乙种原料,每吨成本为1500元,运费400元,可得产品100千克,如果每月原料的总成本不超过6000元,运费不超过 2000 元,那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？例例 4 4 某工厂家具车间造A、B型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张A、B型桌子分别需要 3 小

47、时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张A、B型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产A、B型桌子各15A规格21B规格12C规格13今需要A、B、C三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且多少张,才能获得利润最大？简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，其求解的格式与步骤是：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，其求解的格式与步骤是：（1）寻找线性约束条件,线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;（3）在可行域内求解

48、目标函数的最优解（四）整数解的问题：（四）整数解的问题：例例 1 1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 260 万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤,西车站每年最多能运 360 万吨煤,甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1元/吨和1.5元/吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案,能使总运费最少?1 x y 4,例例 2 2 设实数x,y满足不等式组y 2 2x 3.（1）求点(x,y)所在的平面区域;（2）设a 1,在（1）所求的区域内,求函数f(x,y)y ax的最值.例

49、例 3 3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨，每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元,每 1 吨乙种棉纱的利润是900 元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大?例例 4 4 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：规格类型钢管类型甲种钢管乙种钢管A规格B规格C规格221341今需A、B、C三种规格的钢管各 13、

50、16、18 根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最少?例例 5 5 有一批钢管,长度都是 4000mm,要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯,且这两种毛坯数量之比按大于截取最合理？1配套,怎样33.43.4 基本不等式基本不等式:ab 教学目的：教学目的：a b21.推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理;2.理解这个定理的几何意义,并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等;3.会应用此定理求某些函数的最值;4.通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形.教学重点：教学重点：1.用数形结合的思想理解基本不等式,并

51、从不同角度探索不等式ab a b的证明过程;2162.均值不等式定理的应用.教学难点：教学难点：1.用基本不等式求最大值和最小值及等号成立条件;2.解题中的转化技巧;教学过程教学过程：一、复习引入一、复习引入-不等式的基本性质不等式的基本性质:在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客,你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?二、讲解新课：二、讲解新课：1.重要不等式:如果a,bR,那么a b 2ab(当且仅当a b取等号)2.定理:如果a,b是正数,那么说明:)我们称22ab 2 ab(当且

52、仅当a b取等号)2a b为a,b的算术平均数,称ab为a,b的几何平均数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的2算术平均数不小于它们的几何平均数.a b)a2 b2 2ab和ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数,而后者要求a,b都是2正实数.)“当且仅当”的含义是充要条件.D DababA Aa aC Cb bB Ba ba2b推论:如果a,b都是正数,那么ab 1122ab2(当且当a b时等号成立)如果ab 0,那么DDba 2(当且当a b时等号成立)ab3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为a b的线段为直径作圆,在直径AB上取点C,使AC a,CB b.过点C

53、作垂直于直径AB的弦DD,那么CD2 CACB,即CD ab这个圆的半径为且仅当点C与圆心重合;即a b时,等号成立.4.推广(3次)a ba b,显然,它不小于CD,即ab,其中当22定理:如果a,b,c R,那么a b c 3abc(当且仅当a b c时取“”)推论:如果a,b,c R,那么5.利用“均值不等式”求最值(1)xy为定值P,那么当x y时,和x y有最小值2 P(积为定值,和有最小值)(2)x y为定值S,那么当x y时,积xy有最大值(和为定值,积有最大值)注：这两个结论常常应用于求解最值问题;具体应用时,要注意“一正、二定、三相等”;17333a b c3abc(当且仅当

54、a b c时取“”)312S4当条件不完全具备时,应创造条件.三、讲解范例：三、讲解范例：(一一)公式的简单应用：公式的简单应用：例例 1 1 已知x 0,当x取什么值时,x281x2的值最小?最小值是多少?解解:略例例 2 2 求下列函数的最小值,并求相应的x值.(1)y x 1x 1(x 0)(2)y x 5x 2x 1x 1(3)y 2x23x(x 0)(4)y x21x4(x 0)(5)y sin x 9x25sin x(0 x)(6)y x2 4解解:略例例 3 3 求下列函数的最大值,并求相应的x值.(1)y 4x214x5(x 54);(2)y x(1 x2)(0 x 1)(3)

55、y 3x2 2x3(0 x 3x22)(4)y x2 x1(x 2).解解:略例例 4 4 设a,b为正数,且a b 1,求证:2a 1 2b 1 2 2证明证明:略(利用算术平均数和平方平均数的关系)例例 5 5(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab cd)(ac bd)4abcd(2)已知a,b,cR,求证:a2b2b2 c2c2 a22(a b c)证明证明:(1)ab cd 2 abcd,ac bd 2 abcd (2)a2b2(a b)222即a2b22(a b)b2 c2(b c)2即b2222c2(b c)c2 a2(c a)222即c2 a22(c a)例例 6 6 若

56、a,b,c为各不相等的正数,且a bc 1,求111abc的范围.解解:1a1b1ca b caa b cba b cc 3(baacacbb)(ac)(bc)9当且仅当a b c时取等号但是a,b,c为各不相等的正数,所以111abc 9(二二)公式变形的应用：公式变形的应用：18例例 7 7(1)已知lgx lg y 2,求1x1y的最小值;(2)已知x 0,y 0且2x 5y 20,求lgx lg y的最大值;(3)已知x 2y 1,求2x 4y的最小值;(4)已知0 x 2,求x(83x)的最大值.解解:略例例 8 8(1)已知a b 0,求a1(ab)b的最小值.(2)已知0 x 1

57、3,求x2(13x)的最大值.解解:(1)因为a b 0,所以a b 0所以a1(ab)b(a b)b 1(a b)b 33(a b)b1(a b)b 3当a b b 1(a b)b即b 1,a 2时取等号.(2)因为0 x 13,所以13x 0所以x2(13x)4 334192x2x(13x)492735当且仅当x 29时取等号.例例 9 9 设a 0,b 0且a b2221,求a 1b2的最大值.解解:a 1b2a2(1b2)122a2(1b2)1 2a21b2232(2)42当2a21b2即b 232,a 2时取等号.例例 1010 已知正数x,y,满足x y 1求:(1)2x1y的最小

58、值;(2)求xy 1xy的最小值;(3)求1x xy 1 y的最小值.解解:(1)212x 2yx xyxyy 32yxxy 3 2 2当x 2y即x 2 2,y 2 1时取等号 (2)因为x y 1,所以0 xy 14,令t xy则xy 11xy t t,利用“双钩”函数单调性,可知xy 1xy174当x y 12时取等号19 (3)x 11 1xy1725y xy 2 xyxyyx441当x y 时取等号2(三三)公式的实际应用：公式的实际应用：例例 1111 在ABC中,C 90,AC 3,BC 4,一条直线分ABC的面积为相等的两部分,且夹在AB与BC之间线段EF为最短,求EF的长.(

59、精练)解解:略例例 1212 一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解解:略例例 1313 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m,深为3m,如果池底每1m的造价为150元,池壁每1m的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？解解:略例例 1414 某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每1m长的造价40元,两侧墙砌砖,每1m长的造价45元,顶部每1m造价20元,计算：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少;(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长？解解:略例例 1515 今有一台天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗？说明你的理由.解解:略222220