基本不等式的应用

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1、基本不等式的应用基本不等式的应用一基本不等式一基本不等式a2b21.（1）若a,b R，则a b 2ab(2)若a,b R，则ab（当且仅当a b时取“=”）2a b*2.(1)若a,b R，则）ab(2)若a,b R，则a b 2 ab（当且仅当a b时取“=”222a b(当且仅当a b时取“=”(3)若a,b R，则ab）2*23.若x 0，则x11）;若x 0，则x 2(当且仅当x 1时取“=”）2(当且仅当x 1时取“=”xx若x 0，则x1 2即x1 2或x1-2(当且仅当a b时取“=”）xxx4.若ab 0，则ab 2(当且仅当a b时取“=”）ba若ab0，则ababab）2

2、即 2或-2(当且仅当a b时取“=”bababaa b2a2b25.若a,b R，则(（当且仅当a b时取“=”）)22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值应用一：求最值例 1：求下列函数的值域11（1）y3x 2 2（2）yx2xx1解：（1）y3x 2 222x13x 2 2 6 值域为 6，+）2x1x2；x1x=2x1（2）当 x0 时，y

3、x2x11当 x0 时，yx=（x）2xx值域为（，22，+）解题技巧：解题技巧：技巧一：凑项技巧一：凑项例 1：已知x 5，求函数y 4x21的最大值。44x51解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)g不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x5511Q x,54x 0，y 4x2 54x3 23144x554x当且仅当54x 1，即x 1时，上式等号成立，故当x 1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数技巧二：凑系数例 1.当时，求y x(82x)的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题

4、为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将y x(82x)凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号 当 x2时，y x(82x)的最大值为 8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。变式：设0 x 3，求函数y 4x(3 2x)的最大值。2232x 3 2x9解：0 x 32x 0y 4x(3 2x)22x(3 2x)2 222当且仅当2x 3 2x,即x 330,时等号成立。42技巧三技巧三：分离分离x27x10(x 1)的值域。例 3.求y x1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有

5、（x1）的项，再将其分离。当,即时,y 2（x1)45 9（当且仅当 x1时取“”号）。x1技巧四技巧四：换元：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。(t 1)27(t 1）+10t25t 44y=t 5ttt4当,即 t=时,y 2 t5 9（当 t=2即 x1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g(x)a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用

6、最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)x的单调性。的单调性。x值。即化为y mg(x)例：求函数y x25x 42的值域。2解：令x24 t(t 2)，则y x 5x24x2 4 1 t (t 2)tx2 41因t 0,t1，但t 解得t 1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为y t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y 1t1t1t5。2所以，所求函数的值域为,。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.5211x23x1y 2sin x,x(0,),x 3(3),(x 0)（2）y 2x（1）y sin xxx32已知0 x1，求

7、函数y条件求最值条件求最值1.若实数满足ab 2，则3a 3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a 3b2 3 3 2 3ababx(1x)的最大值.；30 x2，求函数y x(23x)的最大值.3 6当3a 3b时等号成立，由ab 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是 6变式：若log4x log4y 2，求11的最小值.并求 x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意

8、取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知x 0,y 0，且191，求x y的最小值。xy191，x y 19x y 292 xy 12故x ymin12。xyxyxy错解错解：Qx 0,y 0，且错因：解法中两次连用基本不等式，在x y 2 xy等号成立条件是x y，在19 29等号成立xyxy条件是19即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。19 y9x19正解正解：Q x 0,y 0,1，x y x y10 610 16xyxyxy当且仅当19y9x时，上式等号成立，又1，可得

9、x 4,y 12时，x ymin16。xyxy变式：（1）若x,y R且2x y 1，求11的最小值xy(2)已知a,b,x,y R且ab1，求x xyy的最小值技巧七、已知技巧七、已知 x x，y y为正实数，且为正实数，且 x x 2 2y y 2 21 1，求，求 x x 1 1y y2 2的最大值的最大值.2 2a 2b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab。21同时还应化简 1y中 y 前面的系数为，x 1y2x2221y 22 2 x21y 222下面将 x，1y 2分别看成两个因式：22 2xx(1y 2221y 22y 21 2 )x 22223即 x 1y2

10、2 x2241y 2322241 1技巧八：已知技巧八：已知 a a，b b为正实数，为正实数，2 2b bababa a3030，求函数，求函数 y yabab的最小值的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。302b302b2 b230b法一：a，abbb1b1b1由 a0 得，0b152t2

11、34t311616令 tb+1，1t16，ab2（t）34t2ttt1 ab18 y当且仅当 t4，即 b3，a6时，等号成立。18法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab令 u ab则 u22 2 u300，5 2 u3 21 ab 3 2，ab18，y18点评：本题考查不等式16t8ta b的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等ab（a,b R）2（a,b R）式ab a2b30出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式a b，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.ab（a,b R）2变式：1.已知 a0

12、，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方技巧九、取平方5、已知 x，y为正实数，3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值.aba 2b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单223x 2y 2（3x）2（2y）2 23x2y 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10(3x)2(2y)210(3x2y)20 W 20 2 5变式:求函数y 2x152x(1 x 5)的最大值。

13、22解析：注意到2x1与52x的和为定值。y2(2x152x)2 4 2(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8又y 0，所以0 y 2 2当且仅当2x1=52x，即x 3时取等号。故ymax 2 2。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。应用二：利用基本不等式证明不等式应用二：利用基本不等式证明不等式1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 1111 8abc1）正数 a，b，c 满足 ab

14、c1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc例 6：已知 a、b、cR，且abc 1。求证：分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又11abc2 bc，可由此变形入手。1aaaa解：Qa、b、cR，abc 1。12 ac111abc2 bc2 ab。同理1，1。1bbaaaacc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 12 bc 2 ac 2 ab。当且仅当时取等号。a b c 111 gg83abcabc应用三：基本不等式与恒成立问题应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x 0,y 0且191，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围

15、。xy19x y9x9y10y9x1，1.1xykxkykkxky解：令x y k,x 0,y 0,1103 2。k 16，m,16kklgalgb,Q 1a b(lga lgb),R lg()，则P,Q,R的大小关系是.22应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a b 1,P 分析：a b 1lga 0,lgb 0Q 1（lgalgb)lgalgb p2a b1R lg()lgab lgab QRQP。22基本不等式练习题（基本不等式练习题（1 1）1、若实数 x，y满足x y 4，求 xy的最大值229的最小值;x13、若x 0，求y x的最大值x9

16、4、若 x5)的最小值.x52、若 x0,求f(x)4x6、若 x，yR，x+y=5，求 xy的最值7、若 x，yR，2x+y=5，求 xy的最值8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值基本不等式练习题（基本不等式练习题（2 2）1 x (x 3)的最小值.x32、求y x(5 x)(0 x 5)的最大值.13、求y x(14x)(0 x)的最大值。4124、求y 3x (x 0)的最大值.x15、若x 2，求y 2x5的最小值x2x2 x16、若x 0，求y 的最大值。xx237、求y 的最小值.2x 21、求y 8、（1）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少（2）段长为 36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少2