应用基本不等式的条件

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4、本不等式的条件，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。应用基本不等式的条件第 1 篇知识与技能：理解并掌握不等式的三个性质，能运用性质，用不等号连接某些代数式，进行不等式的变形。过程与方法：经历自主学习，小组交流合作学习，以及课堂上的成果汇报，培养学生自主分析问题，解决问题的能力，养成与他人交流，共同学习，共同进步的学习方法。情感态度与价值观：在自主分析，交流合作，成果汇报的活动中，感受学习的乐趣，体会与人合作的快乐。教学难点：正确运用不等式的性质。教学重点：理解并掌握不等式的性质 3。教学过程：一、创设情境 引入新课利用一台平衡的天平提出问题，引入新课1、给不平衡的天平两边同时加入相同

5、质量的砝码，天平会有什第 2 页 共 27 页么变化？2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。二、合作交流 探究新知1、问题情景：数学老师比 语文老师年龄小。1、10 年后谁的年龄大？2、20 年之后呢？3、5 年之前呢？假设数学，语文两位老师的年龄分别为 a，b，则 aa+10a+20a52、探索与发现一组：已知 53，则 5+2 3+252 32二组：已知11333想一想不等号的方向改变吗？3、归纳：不等式的性质 1：

6、不等式两边都加（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变如果 ab，那么 a+c如果 ab，那么 a+c b+c，ac bc。第 3 页 共 27 页不等号方向不改变！4、大胆猜想不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变不等式两边都乘（或除以）同一个数（不为零），不等号的方向呢？5、探索与发现已知 4一组：4X2 6X（2）；426（2）。思考不等号方向改变吗？不等式两边都乘（或除以）一个不为零的数，不等号方向改不改变和什么有关？6、不等式的性质 2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果 ab，且 c0，那么

7、 acbc，如果 a0，那么 ac7、不等式的性质 3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。如果 ab，且 c如果 a三、巩固提高 拓展延伸例 1：判断下列各题的推导是否正确？为什么（学生口答）（1）因为 7。55。7，所以7。55。7；第 4 页 共 27 页（2）因为 a+84，所以 a4；（3）因为 4a4b，所以 ab；（4）因为12，所以a1a2；（5）因为 32，所以 3a2a（1）正确，根据不等式基本性质 3（2）正确，根据不等式基本性质 1（3）正确，根据不等式基本性质 2（4）正确，根据不等式基本性质 1（5）不对，应分情况逐一讨论当 a0 时，3a2a（不

8、等式基本性质 2）当 a=0 时，3a=2a当 a0 时，3a2a（不等式基本性质 3）考考你！04，哪里错了？已知 mn，两边都乘以 4，得 4m4n，两边都减去 4m，得 04n4m，即 04（nm），两边同时除以（nm），得 04。等式与不等式的性质1。不等式的三个性质。2。等式与不等式的性质对比。先前后比较，再定不等号四、总结归纳第 5 页 共 27 页1、等式性质与不等式性质的不同之处；2、在运用“不等式性质 3时应注意的问题 学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础。五、布置作业1、必做题：教科书第 134 页习题 9。

9、1 第 4、5 题2、选做题：教科书第 134 页习题 9。1 第 7 题应用基本不等式的条件第 2 篇教学目标:通过对具体实例的学习，使学生能够了解生活中的不等量关系，理解不等式的概念，知道什么是不等式的解，为以后学习不等式的解法奠定基础.知识与能力:1.通过对具体事例的分析和探索，得到生活中不等量的关系.2.通过理解得到不等式的概念，从而使学生经历实际问题中数量的分析、抽象过程，体会现实中有各种各样错综复杂的数量关系.3.了解不等式的意义，知道不等式是用来刻画生活中的数量关系的.4.知道什么是不等式的解.过程与方法:1.引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系.第 6 页

10、共 27 页2.引导并帮助学生列出不等式，分析不等式的成立条件.3.通过分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.4.通过习题巩固和加深对概念的理解.情感、态度与价值观:1.通过学生的分析和抽象过程使他们体会现实中错综复杂的数量关系，从而培养其抽象思维能力.2.通过分组讨论学习，体会在解决具体问题的过程中与他人合作的重要性，培养学生的团体协作精神，使学生获得合作交流的学习方式.3.通过联系与发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义教育.4.通过创设问题串，让学生仔细观察、对比、归纳、整理，尝试对有理数进行分类，体验教学活动充满着探索性和创造性.教学重、难点及教学突破重点:不等式的概

11、念和不等式的解的概念.难点:对文字表述的数量关系能列出不等式.教学突破:由于学生在以前已经对数量的大小关系和含数字的不等式有所了解，但还没有接触过含未知数的不等式，在学生分析问题的时候注意引入现实中大量存在的数量间的不等关系，研究它们的变化规律，使学生知道用不等式解决实际问题的方便之处.在本节的教学中能够在组织学生讨论的过程中适当地渗透变量的知识，让学生感受其中的函数思想，并引导学生发现不等式的解与方程的解之间的区第 7 页 共 27 页别.在处理本节难点时指导学生练习有理数和代数式的知识，准确“译出”不等式.教学过程：一.研究问题：世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班

12、有 27 名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了 27 张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买 30张票.但有的同学不明白.明明只有 27 个人,买 30 张票,岂不浪费吗?那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢二.新课探究：分析上面的问题:设有 x 人要进世纪公园,若 x30，应该如何买票?若 x结论：至少要有多少人进公园时，买 30 张票才合算?概括：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号,2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.3、不等式的分类：恒不等式：-71+4,a+2a+1.条件不等式：x+36,

13、a+23,y-3-5.三.基础训练.例 1、用不等式表示：a 是正数;b 不是负数;c 是非负数;x 的平方是非负数;x 的一半小于-1;y 与 4 的和不小于 3.注：不等式表示代数式之间的不相等关系，与方程表示相等关系相对应;第 8 页 共 27 页研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系.例 2、用不等式表示：a 与 1 的和是正数;x 的 2 倍与 y 的 3倍的差是非负数;x 的 2 倍与 1 的和大于1;a 的一半与 4 的差的绝对值不小于 a.例 3、当 x=2 时，不等式 x-1注：检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就

14、成立，否则就不成立.代入法是检验不等式的解的重要方法.学生练习：课本 P42 练习 1、2、3.四.能力拓展学校组织学生观看电影，某电影院票价每张 12 元，50 人以上(含50 人)的团体票可享受 8 折优惠，现有 45 名学生一起到电影院看电影，为享受 8 折优惠，必须按 50 人购团体票.请问他们购买团体票是否比不打折而按45 人购票便宜;若学生到该电影院人数不足 50 人，应至少有多少人买团体票比不打折而按实际人数购票便宜.解：按实际 45 人购票需付钱_ 元，如果按 50 人购买团体票则需付钱 50X12X80%=480 元，所以购买团体票便宜.设有 x 人到电影院观看电影，当 x_

15、时，按实际人数买票_张，需付款_元，而按团体票购票需付款_元，如果买团体票合算，那么应有不等式_，由得，当 x=45 时，上式成立，让我们再取一些数据试一试，将结果填入下表：第 9 页 共 27 页x12x 比较 480 与 12x 的大小 4830404142由上表可见，至少要_人时进电影院，购团体票才合算.五.小结:不等式的定义，不等式的解.对实际问题中探索得到的不等式的解，不仅要满足数学式子，而且要注意实际意义.六.作业:课本 P42 习题 8.1 第 1、2、3 题.补充题：1.用不等式表示：(1)与 1 的和是正数;(2)的与的的差是非负数;(3)的 2 倍与 1 的和大于 3;(4

16、)的一半与 4 的差的绝对值不小于.(5)的 2 倍减去 1 不小于与 3 的和;(6)与的平方和是非负数;(7)的 2 倍加上 3 的和大于-2 且小于 4;(8)减去 5 的差的绝对值不大于2.小李和小张决定把省下的零用钱存起来.这个月小李存了 168元，小张存了 85 元.下个月开始小李每月存 16 元，小张每月存 25 元.问几个月后小张的存款数能超过小李?(试根据题意列出不等式，并参照教科书中问题 1 的探索，找出所列不等式的解)3.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车 12 辆和 6 辆，现需要第 10 页 共 27 页调往 A 县 10 辆，调往 B 县 8 辆，已知从甲仓库调运一

17、辆农用车到 A县和 B 县的运费分别为 40 元和 80 元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和 B 县的运费分别为 30 元和 50 元，(1)设从乙仓库调往 A 县农用车辆，用含的代数式表示总运费 W 元;(2)请你用尝试的方法，探求总运费不超过 900 元，共有几种调运方案?你能否求出总运费最低的调运方案.应用基本不等式的条件第 3 篇【教学目标】1知识与技能：进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。3情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精

18、神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。【教学重点】基本不等式 的应用【教学难点】利用基本不等式 求最大值、最小值。【教学过程】1.课题导入 1重要不等式：如果 2基本不等式：如果a,b 是正数，那么 3.我们称 的算术平均数，称 的.几何平均数.成立的条件是不同的：前者只要求 a,b 都是实数，而后者要求 a,b 都是正数。2.讲授新课 例 1(1)已知 m0,求证。思维切入因为 m0,所以可把 和分别看作基本不等式中的 a 和 b,直接利用基本不等式。证明因为 m0,，由基本不等式得 当且仅当=，即 m=2 时，取等号。规律技巧总结 注意：m0 这一前提条件和=144 为定

19、值的前提条件。(2)求证:.思维切入 由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接第 11 页 共 27 页使用基本不等式,无法约掉字母 a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证.证明 当且仅当=a-3 即 a=5 时,等号成立.规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2 的造价为 150 元，池壁每 1m2 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理

20、。解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为 l 元，根据题意，得 当 因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.3.随堂练习 1.已知 x&

21、ne;0，当 x 取什么值时，x2 的值最小?最小值是多少?2课本第 101 页的练习4,习题 3.4.课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式第 12 页 共 27 页中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。5.作业设计 课本第 101 页习题A组的第 2、4 题应用基本不等式的条件

22、第 4 篇一、内容和内容解析1.内容梳理等式性质及其蕴含的思想方法；不等式的基本性质及其研究方法；不等式的其他性质.2.内容解析等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类.从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”.“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征.从运算角度看，有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不变；也有其派生出来的在“乘方”“开方”等运算中的不变性.不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性

23、有“自反性”和“传递性”两种.“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现.“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现.运算中的第 13 页 共 27 页不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法”等运算，得出新的不等关系.由于“正数乘正数大于 0”“负数乘正数小于 0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异.实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位.利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为

24、理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想证明修正再证明得出性质”的方法探究出其他的性质.结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下，类比等式基本性质，探究不等式的基本性质.二、目标和目标解析1.目标（1）梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法，即实数序关系的特性和运算中的不变性.（2）运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质；体会“运算中的不变性”在研究不等式的基本性质中的“引路人”的作用，发展学生逻辑推理素养.（3）运

25、用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；第 14 页 共 27 页运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能够梳理出等式的基本性质，并探究总结出等式的基本性质包含两个方面，其一是实数序关系的特性，即等式自身的特性，包括“对称性”和“传递性”；其二是在加法、乘法运算中的不变性.（2）学生能够运用类比的方法，从“实数序关系的特性（等式自身的特性）”和“运算中的不变性”两个方面，猜想并证明不等式的基本性质，并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异.（3）学生能从运算的角度出发，猜测并进行证明不等式的一些常用性质（性质 5

26、，6，7）；并能说出为什么性质 14 称为“基本性质”.（4）学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系.三、教学问题诊断分析不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的.学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理.高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维，因此学生会有以下几个方面的困难.1.学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中第 15 页 共 27 页的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质

27、是学生熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性.2.学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质 3和性质 4，而性质1 和性质 2 学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.3.学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和

28、不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中，要帮助学生运用“分析法”进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路，引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.本节课的教学难点为：梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质.四、教学过程设计（一）确定研究内容，明确研究方法导入语：同学们，通过上节课的学习，我们知道现实世界的大小第 16 页 共 27 页关系包括相等关系和不等关系两类，数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质，不等式到底都有哪些性质呢？今天我们

29、一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样，都是对大小关系的刻画，我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发，来研究不等式的性质.好！我们一起走进“等式性质与不等式性质”.设计意图：此环节以单元教学理念为指导，着眼于学生的最近发展区，唤醒学生与所研究内容相关的认知。开门见山，直接引入课题，学生能够明确学习目标，带着目标开展学习活动.（二）复习等式性质，梳理思想方法问题 1：请你回忆一下等式都有哪些性质？预设方案：预案一 性质 3，4，5 学生比较熟悉，能相互补充说出，但说不出性质 1，2.追问 1：这三条性质有什么共性？可以看作是运用了什么相同的方法“得到的”？师生活动：教师板书这三条性

30、质.学生在教师引导下归纳这 3 条性质是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立.教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不变性的特点.教师进一步指出，性质 3 中减法可以看成加法，即两边同加，性质 5 中的除法可以看成乘法，即两边同乘 1/c，高中数学加减乘除的运算更趋于一般性，第 17 页 共 27 页所以可以将其合并.由于数学的基本运算有加法和乘法，所以这些性质可称为等式的基本性质.数学基本运算可派生出像乘方、开方等运算的结论，就是一些常用的性质.追问 2：等式是否还有其他性质？师生活动：教师点出还有些等式的性质，我们在无意识地使用，之所以大家说不出来，因为

31、它们太显然了，是相等关系本身蕴含的性质.比如说，一个相等关系，即两个相等的实数，无论哪个写在等号左边或右边，等式均成立，即“如果 a=b，则 b=a”，此性质与 a,b的顺序无关，它反映了等式自身的特性.追问 3：从等式自身性质的角度是否还有其他性质？师生活动：在教师指导下，学生说出性质 2，教师板书.教师点出此性质也反映了等式自身的特性.预案二 学生相互补充能说出性质 1，2，3，4，5，其中性质 3，4，5 是学生比较熟悉的，但对性质 1，2 只有少数学生能回答出来.追问：为什么大多数人答不出性质 1，2？师生活动：（这个追问实际上也对学生起到了思想方法上的提示作用）教师点出“等式的这两条

32、性质，我们无意识地在使用，但说不出来，因为它们太显然了，是相等关系本身蕴含的”；接着梳理性质3，4，5 蕴含的思想方法（如预案一）.预案三 学生相互补充说出性质 1，2，3，4，5（如果学生不预习、也不允许学生在课堂上看教科书，这种情况几乎不会发生）.学生回忆、交流并相互补充，口答等式性质，教师板书 5 条性质.第 18 页 共 27 页追问：观察等式的 5 条基本性质，哪些性质具有共性？是什么共性？哪些基本性质可以看作是运用了相同的方法（发现的视角相同）得到的？具体的角度是什么？师生活动：学生发现性质3，4，5 具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，然后发现性质 1，2 蕴含的共性.问题

33、 2：你能归纳一下等式基本性质蕴含了哪些思想方法吗？师生活动：学生总结，发现等式的基本性质的方法有“相等关系自身的特性”和“相等关系对运算保持不变”两种.教师强调这两个方面是研究等式基本性质中体现的思想方法.设计意图：通过问题1 和问题 2，学生回忆、分析等式的基本性质，通过对性质分类、归纳和深入分析，梳理等式的基本性质中蕴含的思想方法，突破本课时的教学难点，为研究不等式的基本性质做好铺垫.（三）探究不等式的性质，体会类比探究方法问题 3：初中我们通过由特殊到一般的方法，归纳过一些不等式的性质.现在，你打算如何研究不等式的性质？预设方案：学生领悟到研究不等式的性质可类比发现等式性质及其蕴含的思

34、想方法.追问：从什么视角来研究不等式的性质？师生活动：学生表述，从不等式的“自身”和“运算”两个视角研究不等式的基本性质.设计意图：由学生自主发现研究问题的方法，提高学生对等式性第 19 页 共 27 页质中蕴含的思想方法的理解和对类比学习方法的认识.问题 4：类比等式的基本性质蕴含的“自身特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？师生活动：教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导.预设方案：学生猜想不等式自身特性有“如果，那么”.但学生会认为这是显然成立的事实，不能从逻辑推理角度进行证明.追问 1：你打算怎么进行证明？师生活动：学生证明预设两种方案：方案一：学生

35、运用数轴说明 a,b 的大小关系.教师评价此方法是从几何角度分析代数性质的，其直观性较强，能帮助我们感受到此性质反映了“不等式自身的特性”.同时教师指出数学结论要从逻辑推理角度进行严格的证明.教师继续提问，能否进行证明？（见方案二）方案二：教师视情况引导，目前只能用两个实数大小关系的基本事实，别无他法.学生分析，若要得出 b追问 2：此性质与等式性质 1 有何异同？师生活动：学生发现由于不等号是有方向的，实数位置对调后，符号也要对调.设计意图：让学生自主进行类比研究，体会性质 1 反映的是不等关系自身的特性.学生在利用两个实数大小关系的基本事实证明的过程中，感受到数学问题的证明均有章可循，有理

36、有据.第 20 页 共 27 页追问 3：你还有什么结论？通过性质1 的证明中的启示，能否修证你的证明过程？预设方案：学生猜想不等式自身特性有“如果 ab,bc，那么ac”.学生的证明预设两种方案.预案一：学生利用实数的几何意义，即在数轴上找到三个数，分析其大小关系（学生受到性质 1 证明过程的启发，一般不会采用此方法）；预案二：学生分析证明思路，若要证明ac，只需证a-c0.学生容易想到与 a-b0，b-c0 建立联系.考虑到 a-c=（a-b）+（b-c），只需判断此代数式的符号.追问：如何证明（a-b）+（b-c）大于 0？师生活动：学生联想实数的基本事实，“正数加正数是正数”问题得证.

37、教师指出，实数的一些基本事实在证明中的有着重要的作用，让学生体会代数证明的逻辑性和严谨性.设计意图：此性质的探究过程，一方面使学生经历类比的探究过程，另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想要有证明，证明要有依据”.问题 5：类比等式性质中蕴含的“运算中的不变性”的思想方法，你能猜想并证明不等式的基本性质吗？师生活动：教师组织学生先独立思考再讨论.教师参与小组讨论之中，适当指导.预设方案：学生猜想“不等式在加法运算中 保号性”，即“如第 21 页 共 27 页果 ab，那么a+cb+c”.在前两个性质证明的基础上，学生能够分析要证 a+cb+c，只需证（a+c）-（b+c）与

38、的大小关系，也就是 a-b与 0 的大小关系.得出如下证明：由 ab，得 a-b0，所以（a+c）-（b+c）0,即 a+cb+c.追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：1.学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向.教师点明文字语言表达具有“直白”的特点，有助于理解其本质，即反映了不等式在加法运算中的“保号性”.教师指出“减法”与“加法”在运算中是一致的，加法是基本运算，进而此性质为基本性质.2.通过教师课件展示 a+c,b+c 的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意

39、到可用运动方向表达实数 c 的正负.教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题.设计意图：对同一个概念进行多元联系表示，有利于揭示概念的本质.不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解。追问：是否还有其他结论？第 22 页 共 27 页预设方案：学生猜想“不等式在乘法运算中的规律性”，即不等式两边同乘同一个实数的结论，并用数学语言表达.师生活动：学生猜想“如果 ab,c0，那

40、么 acbc”，“如果 ab,c追问：不等式的两边同乘一个数，为何要分类讨论？师生活动：教师引导学生分析，此结论在于比较 ac 与 bc 的大小，由两个实数大小关系的基本事实，即判断 ac-bc 与 的大小关系，这显然与条件中的 a-b 有关，自然能考虑通过 ac-bc=（a-b）c，从而判断此式的正负。由于a-b0，（a-b）c 的正负由 c 的正负决定，从而需要分析讨论，这样学生也自然有了证明的思路.追问 1：用文字语言怎样表述此性质？师生活动：学生表述，“不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向”.教师强调文字语言具有较为“直白”

41、的特点，让学生感受此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”.教师还要再次强调可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质.设计意图：此性质对学生来说比较熟悉，此环节能使学生巩固类比的学习方法，体会此性质反映的是不等式在乘法运算中的不变性、规律性.问题 6：加法乘法是数学的基本运算，因此上述四条性质是不等式的基本性质.不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？师生活动：学生总结出两者都具有“自身特性”和“运算中的不第 23 页 共 27 页变性、规律性”。由于不等号具有方向性，“自反性”和“两边同乘负数时，不等号变号”是不等式表现出的

42、特性.设计意图：总结等式基本性质与不等式基本性质的差异，并能从本质上理解不等号变号的原因.问题 7：利用不等式的基本性质，你还可以猜想并证明不等式的其他性质吗？追问：在基本性质3 中，不等式的两边同加同一个实数。如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？预设方案：学生猜想“大数加大数，大于小数加小数”，即“如果 ab,cd，那么 a+cb+d”.证明方法有两种：方法一：学生分析证明方法，若要证a+cb+d，只需证（a+c）-（b+d）0，与已知联系，也就是证明（a+c）-（b+d）0。由已知a-b0,c-d0，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证

43、.教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时占据“一席之地”.追问：此方法是利用不等式的基本性质“发现”的。能否利用不等式的基本性质，证明你发现的这个新性质？学生探索证法二（如下）.方法二：学生从性质3 中得到启发，要证 a+cb+d，需要构造与a+c 和 b+d 相关的不等式，联想不等式基本性质，可有以下证明.由性质 3，得 a+cb+c，c+bd+b；由性质 2，得 a+cb+d.第 24 页 共 27 页教师评价，此方法是基于不等式的基本性质的应用，逻辑性很强.指出此性质为性质 5.设计意图：数学结论之间相互关联

44、，挖掘结论间的关系，能使学生整体把握知识，形成整体认知.此性质的证明为综合运用不等式的基本性质证明不等关系提供了范例.追问：在基本性质4 中，不等式的两边同乘同一个实数。如果同乘不同的实数，你有何结论？预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果 ab,cd，那么 acbd”.追问：在不等式的基本性质中，乘法运算不具备“保号性”，主要原因是负数的影响。你认为上述猜想是否正确？如何修正？师生活动：学生回答，不等式基本性质4 中强调，两边同乘负数不等号要变方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”.同时，学生与性质 4 进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的.教师评价，这是缩

45、小范围修正错误的方法，由学生课后进行证明.教师指出此性质为不等式性质 6.追问 2：如果性质 6 中 a=c,b=d，你有何新的结论？师生活动：学生可以得出“如果 ab0，那么 a2b2”，并能推广到“如果 ab0，那么 anbn（n∈N*,n2）”.教师指出这是不等式的性质 7，它是性质 6 的特例.教师指出以“不等式在运算中的不变性、规律性”为研究抓手，我们还能推导出很多不等关系，鼓励同学们多发现、提出和证明一些结论.第 25 页 共 27 页设计意图：1.让学生经历“猜想证明修正再证明得出性质理解”的研究数学问题的过程，加深学生对类比学习的理解；2.让学生充分认识到“运算中的不

46、变性、规律性”在研究不等式性质中的“引路人”作用，加深学生对“代数性质”的认识，从而发展“四基”，提高“四能”.（四）不等式性质的简单应用过渡语：上节课所学的两个实数大小的基本事实与本节课所得到的 7 条不等式的性质是我们今后解决不等式问题的基本依据，下面我们就来看看如何借助它们来解决不等式的简单问题.设计意图：本题利用不等式基本性质，体现“分析法”的证明思路和“综合法”的表达方式，提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识.（五）课堂小结，布置作业问题 8：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？预设方案：学生能回答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质.追问：类比探究都要经历什么过程？师生活动：学生总结，教师帮助整理：经历“前备经验归纳特点类比猜想推理证明（修正）理解表达探究个性应用反思”的过程.第 26 页 共 27 页设计意图：从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中.作业：习题 2.1 第 6，7，8，10，11 题第 27 页 共 27 页