大一高数知识点总结

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1、大一高数知识点总结大一高数知识点总结大一高数知识点,重难点整理第一章基础知识部分 1.1初等函数一、函数的概念1、函数的定义函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种 刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。设有两个变量X与y, 如果对于变量x在实数集合D内的每一个值，变量y按照一定的法则 都有唯一的值与之对应，那么就称x是自变量，y是x的函数，记 作y=f (x),其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域，函数值的 集合叫做函数的值域。2、函数的表示方法(1) 解析法即用解析式(或称数学式)表示函数。如y=2x+l, y= |x|，y=lg(x+l),y二sin3x等。便于对函数进行精确地计

2、算和深入分析。(2) 列表法即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便 于差的某一处的函数值。(3) 图像法即用图像来表示函数关系的方法非常形象直观，能 从图像上看出函数的某些特性。分段函数即当自变量取不同值 时，函数的表达式不一样，如 1?2x?1, x?0?xsin,f?xy?x ?2x?1,x?00 x?0 x?0隐函数相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数， 如y=x2+2x+3,这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间 的函数关系式是由一个含x,y的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0， e可得y=3-2x，即该隐函数可化为显

3、函数。参数式函数一一若变量 x,y之间的函数关系是通过参数式方程？ x?y而由2x+y-3=0?x?y?0 等。？xt? ，?t?T?给出的，？?y?t?这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t称为参数。反函数如果在已 给的函数y=f(x)中，把y看作自变量，x也是y的函数，则所确定的 函数x=4 (y) 叫做y=f(x)的反函数，记作x=f 1(y)或y=f1(x)(以 x表示自变量).二、函数常见的性质1、单调性(单调增加、单调减少)2、奇偶性(偶:关于原点对称，f (-x) =f (x);奇： 关于y轴对称，f (-x) =-f(x).)3、周期性(T为不为零的常数，f (

4、x+T) =f (x), T为周期)4、有界性(设存在常数M0,对任意xgD,有f |(x)|M,则 称f(x)在。上有界，如果不存在这样的常数M,则称f(x)在D上无 界。5、极大值、极小值6、最大值、最小值三、初等函数1、基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角 函数共六大类函数统称为基本初等函数。(图像、性质详见P10)2、复合函数 如果y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u二 J(x),且J (x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y也是x的 函数，称为由y=f(u)与u=J (x)复合而成的复合函数，记作y=f( J (x)。3、初等函数由基本初等函数经过有限

5、次四则运算和有限次的 函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。四、函数关系举例与经济函数关系式1、函数关系举例2、经济函数关系式(1) 总成本函数总成本=固定成本+变动成本平均单位成本= 总成本/产量(2) 总收益函数一一销售总收益二销售价格X产量(3) 总利润函数总利润=销售总收益-总成本(4) 需求函数若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P为产品销售价格)1.2函数的极限一、数列的极限对于无穷数列an，当项数n无限增大时，如果 an无限接近于一个确定的常数A，则lim称A为数列an的极限， 记为a=A，或当ng时，anA。nn limllim若数列an存在 极限，也称

6、数列an收敛，例如?0, C?C(C为n?nn? limn常数)， q=0q?l)。ng若数列an没有极限，则称数列an发散。数列 极限不存在的两种情况：(1) 数列有界，但当ng时，数列通项不与任何常数无限接近， 如：1? n?1；(2) 数列无界，如数列n2。二、当X0时，函数f(X)的极限 如果当X的绝对值无限增大 (记作xg )时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A，那称A为函数f(x )当xg时的极限，记作lim f?x?A，或当xg时， f(x) Ao x?单向极限定义 如果当x或?x时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A，那么称A为函数f(x)当x或?x时得极限，记作 l

7、im?lim? ?。?f?x?A?fx?A?xn三、当XX时，函数f (x)的极限1、当XX时，函数f(x)的极限定义 如果当x无限接近X(记作X X)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f (x) 当XX时的极限，记作limf?x?A，或当XX时，f(x) A。n?2、当XX时，函数f(x)的左极限和右极限 如果当XX_(或 x?x0)时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称函数f(x)当X X时的左极限(右极限)为A，记作四、无穷大与无穷小1、无穷大与无穷小的定义 ?limfx?Af?x?x?x0?x?x0lim?A?o ? lim如果当XX时，f(x)0，就称f

8、(x)当XX时的无穷 小，记作f?x?0 ；如x?x0果当XX时，f(x)的绝对值无限增大， 就称函数f(x)当XX时为无穷大，记作lim f?x 。其中，如果当X-X时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当Xx?x0lim-X时为正无穷大，记作f?x；如果当X-X时，f(x)向负的方向无限增大，x?x0就称函数f(x)当X-X时为负无穷大，记作2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化中，如果f(x)为 无穷大，那么limf?x 。x?x0 1为无穷小；反之，如果f(x)f(x) 为无穷小，那么 1 为无穷大。 f(x) 根据这个性质，无穷大的问题 可以转化为无穷小的问题。3、无穷

9、小的性质性质1： 有限个无穷小的代数和为无穷小；性质2： 有限个无穷小的乘积为无穷小；性质3： 有界函数与无穷小的乘积为无穷小。4、无穷小的比较 设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小，记 作a=(b) ； a =0，则称a是比b低阶的无穷小；ba(2) 如果lim=g,则称a是比b高阶的无穷小；b(1) 如果lim a =c(c为非零的常数)，则称a是比b同阶的无穷小。 ba特别的，当c=1,即l im=1时，称a与b是等阶无穷小，记作a b。 b(3) 如果lim1.3极限运算法则 法则一若lim u二A, lim v二B,则lim(u土v)=lim u土lim v二A土B; 法贝卩二 若

10、 lim u=A, lim v=B，贝U lim(uw)=lim ulim v=A B； 法则三 若 lim u=A， lim v二B,且 BH0，贝lim ulimuA= vlimvB推论 若lim u=A， C为常数，kN，贝(1) lim C u=C lim u=C A；(2) lim u= (lim u)k=A注 运用这一法则的前提条件是u与v的极 限存在(在商的情况下还要求分母的极限不为零)。 k k1.4两个重要极限一、limsin x =1 x?0x lim?1?x二、?1?=e xx?1.5函数的连续性一、函数连续性的概念1. 函数在某点的连续性若函数f(x)在点X0及其左右有

11、定义，且 处连续，X0为函数f(x)的连续点。理解这个定义要把握三个要点：(1) f(x)要在点X0及其左右有定义；(2) lim f(x)=f(x0)，则称函数 f(x)在点 x0 x?x0 lim f(x)要 存在 x?x0 lim f(x)= f(x0)。 x?x0(3) 增量x=x-x0 二 f(x)- f(x0)设函数 f(x)在点 x0 及其左右有定义，如果当自变量x在点X0处的增量Ax趋近于零时， 相应的函数增量也趋近于零，即lim则称函数f(x)在点x0处连 续，x0?y?0，?x?0为f(x)的连续点。2. 函数在区间上的连续性、连续函数 如果函数f(x)在区间(a, b)

12、上每一点上连续，则称函数f(x)在区间(a，b)上连续。如果函数 f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。二、连续函数的运算与初等函数的连续性1. 连续函数的运算如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、 差、积、商(分母不为零)在这一点也连续。设函数u 在点x0 处连续，且u0x0?，函数y二f(u)点u0处连续，那么复合函数 y?f(?x0?)在点x0处也连续。2. 初等函数的连续性初等函数在其定义域内是连续的。第二章 微分与导数2.1导数的概念 设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内 有定义，当AxfO时，若？y得极限?x存在，则称y二f(x)在点x0 处

13、可导，并称此极限值为函数y=f(x)点x0处的导数，记作 limf?x0?x?f?x0?y，?x0?f? ? ?x?0?x?x?0?x lim 还可记作 yI x?x0 或 dydy | x?x0 dxdx | x?x0。? (x0)和 f? (x0)都存 在且等于A，即函数f(x)在点x0可导且f(x0)=A等价于 f? ?x0?fx0?A。f?x0?A?f?根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，该点的 导数就不存在。2 . 2导数的四则运算法则和基本公式皆一篇二：高等数学知识点归纳第一讲: 一. 数列函数:1. 类型: 极限与连续(1) 数列: *a

14、n?f(n); *an?1?f(an)(2) 初等函数:(3) 分段函数: *F(x)? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)?;* , ?ax?x0?f2(x)x?x0(4) 复合(含 f)函数：y?f(u),u?(x)(5) 隐式(方程)：F(x,y)?0 参式(数一,二)：? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数：F(x)?xaf(x, t)dt级数和函数(数一，三): S(x)?2. 特征(几何)： ?ax,x? nnn?0 ?(1) 单调性与有界性(判别)；(f(x)单调?x0,(x?x0)(f(x)?f(x0) 定号)(2) 奇偶性与周期性(应用).

15、3. 反函数与直接函数：y?f(x)?x?f二.极限性质：1. 类型：*liman; *limf(x)(含 x); *limf(x)( 含 x?x0?) n? x? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x02. 无穷小与无穷大(注： 无穷量)：3. 未定型： 0? ,1,0?,00,?0 0?4. 性质： *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论： an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b, c,)?a?0?0n!nn1n1n1nn1xnlnnxxx?1,lix?0?0,(x?0)?,lim, lim? xxx?0xex x xlnx?0 lim, e?x?0? n

16、 ?0x , x四. 必备公式：1. 等价无穷小：当 u(x)?0 时，ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x);1?csu(x)? sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x)?u(x); (1?u(x)?1?u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi2. 泰勒公式: 12 x?(x2); 2!122(2) ln(1?x)?x?x?(x); 2134(3) sinx?x?x?(x); 3! 12145(4) csx?1?x?x?(x); 2!4! ?(?1)2? x?(x2).(5) (1?x)?1?x? 2!(l)

17、 e?l?x? x五.常规方法：前提：(1) 准确判断,1. 抓大弃小(0?1 ,1,?M(其它如:，0?,00,?0);(2 )变量代换(如:？ t) 0?x ?), ?2. 无穷小与有界量乘积(?M)(注:sin ? 1 ?1,x?) x3. 1处理(其它如:0,?)4. 左右极限(包括x): 1 1x(1) (x?0);(2) e(x?); ex(x?0);(3) 分段函数: x, x, maxf(x) x 005. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则(1) 先”处理”，后法则(0xlnxxlnx最后方法)；(注意对比：lim 与 lim) x?lx?00

18、1?xl?x v(x)(2) 幂指型处理: u(x)?e v(x)lnu(x) (如: e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1)(3) 含变限积分;(4) 不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小8. 极限函数：f(x)?limF(x,n)(?分段函数)n?六.非常手段1. 收敛准则:(1) an?f(n)?limf(x) x(2) 双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a?(3) 单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f (x)?0? ?f ?fx 0( ) ?x?0?x 1112n ?)f(?)?f(?)fxd(

19、3. 积分和: lif, x) 0n?nnnn2. 导数定义(洛必达?): li4. 中值定理: limf(x?a)?f(x)?alimf (?) x x5. 级数和(数一三): ? 2nn!(1) ?an 收敛？liman?0,(如 limn)(2) lim(a1?a2an)?an, n?n?nn? n?1n?1 ? ?(3) an与？(a n?1 n ?an? 1)同敛散七.常见应用：1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)?kxn,(x?0)?(1) f(0)?f (0)f(2) (n?1) (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x?(xn)?xn n!n! ? x f(

20、t)dt?ktndt x2. 渐近线(含斜)：f(x) ,b?limf(x)?ax?f(x)?ax?b? x?x?x 1(2) f(x)?ax?b?,(?0) x(1) a?lim3. 连续性：(1)间断点判别(个数);(2) 分段函数连续性(附:极限函数，f (x)连续性)八.a,b上连 续函数性质1. 连通性： f(a,b)?m,M (注：?01, “平均” 值:？f(a)?(1?)f(b)?f(x0)2. 介值定理： (附： 达布定理)(1)零点存在定理：f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数)；(2) f(x)?0?( ? x a f(x)dx) ?0.第二讲:导数及应用(一元

21、)(含中 值定理) 一. 基本概念:1. 差商与导数: f (x)?lim ?x?0 f(x?x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f (x0)?lim x?x0?xx?x0(1) f (0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f 连续)？f(0)?0,f (0)?A) (注：lim x?0xx(2) 左右导: f? (x0),f? (x0);(3) 可导与连续；(在x?0处，x连续不可导；xx可导)2. 微分与导数： ?f?f(x?x)?f(x)?f (x)?x?(?x)?df?f (x)dx(1) 可微?可导;(2) 比较?f,df与0的大小比较(图示)；二.求导准备：1

22、. 基本初等函数求导公式; (注： (f(x) )2. 法则：(1)四则运算;(2)复合法则;(3) 反函数三. 各类求导(方法步骤)： dx1 ? dyy f(x?h)?f(x?h) h1. 定义导：(1) f (a)与 f (x)x?a;(2) 分段函数左右导;(3) lim h?0 ?F(x)x?x0 (注：f(x)?,求:f (x0),f (x)及彳(x) 的连续性) , x?xa?02. 初等导(公式加法则)：(1) u?fg(x),求:u (x0)(图形题)；(2) F(x)?(3) y? ? x a f(t)dt,求:F (x)(注：(?f(x,t)dt) ,(?f(x,t)dt

23、) ,(?f(t)dt) ) a a a xbb ?f1(x)x?x0 , 求 f? (x0),f? (x0)及 f (x0)(待定系数)？f2(x)x?x0 dyd2y.3. 隐式(f(x,y)?0)导：dxdx2(1)存在定理;(2) 微分法(一阶微分的形式不变性).(3) 对数求导法. ?x?x(t)dyd2y ,24. 参式导(数一,二)： ?, 求： dxdx?y?y(t)5. 高阶导 f (n)(x)公式：(e) ax(n) 1(n)bnn! ; )?ae; (n?1 a?bx(a?bx) nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n); (csax)(n)?a

24、ncs(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2)(uv)(n)?u(n)v?Cnuv ?Cnuv ?注： f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式： f(x)?a0?a1x?a2x2anxan? n! n四.各类应用：1. 斜率与切线(法线)；(区别：y?f(x)上点M0和过点M0的切线)2. 物理： (相对)变化率?速度;3. 曲率(数一二)： ?曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三)： (附： 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单 调性与极值(必求导)1. 判别(驻点f (x0)?0):(1) f (x)?0?f(x)?; f (x)?0?f(x)?;(2

25、) 分段函数的单调性(3) f (x)?0?零点唯一；f (x)?0?驻点唯一(必为极值，最值).2. 极值点：表格 f (x)变号)；(由 lim x?x0 f (x)f (x)f(x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0 的特点)x?x0x?x0xxx(2)二阶导f (x0)?0)注(1) f与f ,f的匹配f图形中包含的信息)；(2) 实例：由 f (x)?(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点.(3) 闭域上最值(应用例： 与定积分几何应用相结合,求最优)3. 不等式证明(f(x)?0)(1) 区别：*单变量与双变量？ *x?a,b与 x?a,?),x?(?,?)?(2)

26、 类型: *f ?0,f(a)?0; *f ?0,f(b)?0吉林大学高数知识点公式大全吉林大学高数 复习 公式 高等 数 学 公式平方关系：sif2(a )+cs八2(a)=1 tan2( a )+1二sec八2(a )ct八2(a)+1二cs2(a)积的关系：sina=tana*csa csa=cta*sina tana=sina*seca cta =cs a *csc a sec a = tana*csca csc a =sec a *cta 倒数关系：tanacta=1 sinacsca=1 csaseca=1 直角三角形 ABC 中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的

27、邻边比 斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数：cs(a + B)二csacsBsinasinB cs(a-g)=csa-csP+sin asinB sin( a 土B)二sinacsB 土csasinB t an(a+B) = (tan a+tanB)/(1 -tana tanB) tan(a B) = (tana tanB)/(1+tan atanB)三角和的三角函数：sin( a+ B+ 丫)二sinacsBcs Y+csasinBcs Y+csacs Bsi ny- sinasinBsi nY cs(a + B + 丫)二csacsBcs Y -csasinBsi ny- s

28、inacsBsi ny- sinasinBcs Y t an(a + B + Y)= (t ana+ tanB+ tany-t ana tanB tany) /(1 -t ana tan B - tanB tan 丫-t an Yt an a )吉林大学 高数 复习 公式 辅助角 公式：Asin a +Bcs a =(A八2+B八2厂(1/2)sin(a +t),其中sint二B/(A八2+B八2厂(1/2) cst二A/(A八2+B八2厂(1/2) tant二B/A Asin a+Bcsa=(A八2+B八2厂(1/2)cs(a-1), tant二A/B 倍角公式：sin(2 a )=2sin

29、 acsa =2/(tan a +ct a ) cs(2a)二cs八2(a)-sin八2(a)=2cs八2(a)-1=1-2sin八2(a) t an(2 a )=2tana/1-tan八2(a)三倍角公式 sin(3 a )=3sina -4sin八3(a) cs(3a)=4cs八3( a )-3cs a 半角公式：sin(a/2)= J (1-csa )/2) cs(a/2)= J (1+csa )/2) tan( a /2)二土 V (1-cs a )/(1+cs a )=sin a /(1+cs a ) = (1-cs a)/sin a 降幕公式 sin2(a) = (1-cs(2a)

30、/2=versin(2a)/2 cs八2(a) = (l+cs(2 a )/2=cvers(2 a )/2 tan2(a ) = (1-cs(2 a)/(1+cs(2a) 万能公式：sin a =2t an( a /2)/1+tan八2(a/2) cs a =1-tan八2( a /2)/1+taf2(a/2) tan a =2t an( a /2)/1-taf2(a/2)积化 和差公式：sinacsB=(l/2)sin(a + B)+sin(a-B) csasinB = (l/2)sin(a+B)sin(aB) csacsB=(l/2)cs( a + B)+cs(a-B)吉林大学 高数 复习

31、 公式sinasinB =-(l/2)cs(a+B)-cs(a-B)和差化积公式：sina+sinB=2sin(a+B)/2cs(a-B)/2 sin a sin & =2cs( a+B)/2sin(a B)/2 csa+csB =2cs( a + B)/2cs(a-B)/2 cs a cs & =2sin( a+B)/2sin(a-B)/2 推导公式 tana+cta=2/sin2a tanacta=2ct2a 1+cs2a =2cs八2a l-cs2a=2sin八2 a 1+sin a=(sina /2+cs a/2)2 三角函 数的角度换算公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数

32、的值相等：sin (2kn + a)=sina cs (2kn + a)=csa tan (2kn + a)=tana ct (2kn + a)=cta 公式二：设a为任意角，n + a的三角函数值与a的三角函数值之间的关 系：sin(n + a)= sina cs (n + a) =cs a tan (n + a) =t an a ct (n + a)=c ta 公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系： sin(a)=sina cs(a)=csa tan(a)=tan a ct(a)=cta 吉林大学高数 复习公式 公式四：利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关 系：

33、sin (n a)=sin a cs (n a)=cs a tan (n a)=t an a ct (n a)=eta 公式五：利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的 关系：sin(2n a)= sina cs (2n a) =cs a tan (2n a) =t an a et (2n a)=eta 公式六：n/2 土 a及3n/2 土 a与a的三角函数值之间的关系：sin (n /2+a)=cs a cs(n /2+a)= sina tan (n/2 + a)=c ta ct (n/2+a)= t an a sin (n /2a)=cs a cs (n /2a) =sin

34、 a t an(n/2a) =c ta ct ( n/2a) = tan a sin (3n /2+a)=cs a cs (3 n /2+a)=sin a tan (3 n /2+a)=c ta ct (3n/2+a)= t an a sin (3n/2 a)=cs a cs (3 n /2a)=sina tan (3 n /2a)=ct a ct (3 n /2a)= tana (以上kZ)吉林大学 高数 复习 公 式高等数学公式 (tgx)?sec2x(arcsinx)?1(ctgx)csc2x?x2(secx)?secx?tgx(a rccsx)1(cscx)cscx?ctgx?x2(a

35、x)?axlna(arctgx)?1 1?x2 (lgx)?1 axlna(arcctgx)1 1?x2 导数公式：tgxdxlncsxC ctgxdxlnsinxCdxcs2xsec2xdxtgxC secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2 sin2x?xdx?ctgx?C ?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?d x?cscx?ctgxdx?cscx?Ca2?x2?1aarctgx a?C ?dx?axdx?ax lna?C x2?a2?12alnx?a x?a?C?shxdx?chx?C ?dx1a? a2?x2?x2alna?x?

36、C?chxdx?shx?C?dxx a2?x2?arcsina?C?dx?ln(x?x2?a2 2)a2?Cx? ? 22 In n?sinxdx?csnxdx?n?1 00nIn?2 ?x2?a2dx?x2 2x2?a2?a 2ln(x?x2?a2)?C ?x2?a2dx?xx2?a2?a2 lnx?x2 2?a2 2?C ?a2?x2dx?x 2a2?x2?a2 2arcsinx a?C 篇四：高数上册知识点总结高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y二arctanx),对数函数(y=lnx),幕函数(y=x),指数函数 (y?ax)，三角函数(y二sinx)，常数函数(y二c)2、分

37、段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?13、无穷小： 高阶+低阶=低阶 例如： lim x?0x?0xx sinx4、两个重要极限：(1) lim?1 x?0x(2) lim?1?x?e x?0 1 x ?1? lim?1e x? ?x? g(x) x 经验公式： 当 x?x0,f(x)?0,g(x)?, lim?l?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x) 例如：lim?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim x? ?e?35、可导必定连续，连续未必可导。例如： y?|x|连续但不可导。6、导数的定义： lim?x?0f(x?x)?f(x)?f(x)

38、?xx?x0limf(x)?f(x0)?f?x0?x?x07、复合函数求导：df?g(x)?f ?g(x)?g (x) dx 例如：y?x?x,y ? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 18、隐函数求导：(1) 直接求导法；(2) 方程两边同时微分，再求出dy/dx x2?y2?l例如： 解：法(1) ,左右两边同时求导,2x?2yy ?0?y ? x ydyx法(2) ,左右两边同时微分,2xdx?2ydy dxy9、由参数方程所确定的函数求导：若？ ？y?g(t)dydy/dtg (t)?，贝U，其二阶导数： dxdx/dth (t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g (t)

39、/h (t)? dyd?dy/dx 2dxdxdx/dth (t) 210、微分的近似计算：f(x0?x)?f(x0)?x?f(X0)例如：计算 sin31?11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：y? sinx (x=0是x函数可去间断点)，y?sgn(x) (x=0是函数的 跳跃间断点)(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：f(x)?sin?(x=0是函数的振荡间断点)，y?断点)12、渐近线：水平渐近线：y?limf(x)?c x? ?1?x? 1(x=0 是函数的无穷间 x limf(x)?，则x?a是铅直渐近线.铅直渐近线：若，x?a斜渐近线：设斜渐

40、近线为 y?ax?b,即求 a?lim x? f(x) ,b?lim?f(x)?ax? x?x x3?x2?x?l 例如：求函数y?的渐近线x2?113、驻点：令函数y二f(x)，若f (x0)=0，称x0是驻点。14、极值点：令函数y二f(x),给定x0的一个小邻域u(x0, 6 ),对于任意xu(x0, ),都有f(x)2f(x0),称x0是f(x)的极小值点；否则，称X0是 f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。15、拐点： 连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。16、拐点的判定定理：令函数 y二f(x)，若 f (x0)=0，且 x x0,f (x) 0

41、x x0 时，f (x) 0 或 x x0,f (x) 0； x x0 时，f (x) 0,称点(x0, f(x0)为 f(x)的 拐点。17、极值点的必要条件：令函数y二f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f (x0)=0。 18、改变单调性的点：f (x0)?0，f (x0)不存在，间断点(换句话说，极值点可能是驻 点，也可能是不可导点)19、改变凹凸性的点：f (x0)?0，f (x0)不存在(换句话说，拐点可能是二阶导数等于 零的点，也可能是二阶导数不存在的点)20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是 极值点。 21、中值定理：(1) 罗尔定理：f(x)在

42、a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点？，使得f (?)?0(2) 拉格朗日中值定理：f(x)在a,b上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点？，使得 f(b)?f(a)?(b?a)f (?)(3) 积分中值定理：f(x)在区间a,b上可积，至少存在一点？，使得 b ?f(x)dx?(b?a)f(?) a 22、常用的等价无穷小代换： xsinxarcsinxarctanxtanxex?12(?x?1)ln(1?x)1?csx 12x2111 tanx?sinxx3,x?sinxx3,tanx?xx3 263 23、对数求导法：例如，y?xx，解：lny?xlnx? 1 y ?lnx?

43、1?y ?xx?lnx?1? y 24、洛必达法则：适用于“ 0? ”型,“ ”型,“ 0? ”型等。当 0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?, f (x),g (x)皆存在，且 g (x)?0,贝f(x)f (x)ex?sinx?10ex?csx0ex?sinxl lim?lim 例如，limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g (x)x?0x?0x?0x2x22 25、无穷大：高阶+低阶=高阶 例如， 26、不定积分的求法(1)公式法(2)第一类换元法(凑微分法)(3) 第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：23 ?x?1?2x?3?lim?x2x5

44、 x2?2x?l im?4 x2x5 3 a2?x2，可令 x?asint； x2?a2，可令 x?atant； x2?a2，可令 x?asect 2)当有 理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x? 1 t 27、分部积分法：udv?uv?vdu,选取u的规则“反对幕指三”剩下的作v。分部积 x3 分出现循环形式的情况，例如：ecsxdx,secxdx ? ? 28、有理函数的积分：例如：3x?22(x?1)?x11 dx?2dx?x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx 11x?1?xx?1?x1dx 需要进行拆分，令 ?x(x?1)2 x(x?l)2x(x?l)2x

45、(x?l)(x?l)2 其中，前部分？ 111? 2xx?1(x?1) 29、定积分的定义：f()x f(x)dxlim a 0 i i i1 b n 30 、定积分的性质 b(1) 当 a=b 时，？f(x)dx?0； ab a(2) 当 a b 时，？f(x)dxf(x)dx a b a?aa(3) 当 f(x)是奇函数，？f(x)dx?0,a?0 a(4) 当 f(x)是偶函数，b ?a ?f(x)dx?2?f(x)dx cb(5) 可加性：f(x)dxf(x)dxf(x)dx a a c x x d 31、变上限积分：(x)f(t)dt (x)f(t)dtf(x) dxaa d推广：d

46、x u(x) ?f(t)dt?f?u(x)?u (x) a b 32、定积分的计算(牛顿莱布尼茨公式)：b b ?f(x)dx?F(b)?F(a) a 33、定积分的分部积分法：udv?uv?vdu 例如：xlnxdx ? a b a ? a ? ?b b 34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：f(x)dxlimf(x)dx a a b bta(2)无界函数的反常积分：35、平面图形的面积：(1) A? ?f(x)dx?lim?f(x)dx a t d ?f(x)?f(x)?dx(2) A(y)?(y)?dy 2 1 2 1 a c 2(2)绕 y 轴旋转，f(x)dxV?(y)dy ? 2

47、 a c b d b 36、旋转体的体积：(1)绕x轴旋转，V?篇五:高等数学知识点总结高等数学知识点总结导数公式：2 (tanx)?secx(ctanx)cscx(secx)?secx?tanx(cscx)cscx?ct x(a)?alna(lg ax x 2 (arcsinx)?(arccsx)(arctanx)? 1?x 2 1?x1 2 1?x 2 x)? 1xlna (arcctx) 11?x 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分：tansecaxa xdxlncsxC ctxdxlnsinxCxdx?lnsecx?tanx?C ?cs?sin dx 2 xx ? ?sec?csc

48、 2 xdx?tanx?Cxdx?ctx?C dx 2 2 ?cscxdx?lncscx?ctx?C dx 2 ?sec x x?tanxdx?secx?C xdx?cscx?C x ?xdx?adx?xdx 2 2 1a1 arctanlnln xa ?C?C?C ?cscx?ct?a dx? a x?ax?aa?xa?xxa lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 2 ?chx?C?shx?C ?ln(x? x?a)?C 2 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 2 2 ? 2 In? ?sin 02 n xdx?cs n xdx? 2 n?1naa

49、a 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 2 2 2 2 sinx? 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx?2 2 2 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 ln(x?lnx?arcsin 22 ?C 2， csx?2 1?u1?u 2， u?tan2 x2， dx? 2du1?u 2一些初 等函数：两个重要极限：e?e 2e?e 2shxchx 2x ?x x ?x 双曲正弦：shx?双曲余弦：chx? 双曲正切:t hx?arshx?ln(x?archx?ln(x?ar thx? 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x x

50、?0 ?1) x lim e?ee?e xx ?x?x x? ?e ? x?1)x?1) 2三角函数公式：诱导公式：和差角公式：和差化积公式：sin()?sin?cs?cs?sin?cs()?cs?cs?sin?sin?tan()?ct()? tan?tan?1?tan?tan?ct?ct?1ct?ct? sin?sin?2sinsin?sin?2cs 2 cssin 2 2 2 cs?cs?2cscs?cs?2sin2 cssin2 22 倍角公式：sin2?2sin?cs? cs2?2cs?1?1?2sin?cs?sin?ct2?tan2?ct?12ct?2tan?1?tan? 222 2

51、 2 2 sin3?3sin?4sin?cs3?4cs?3cs?tan3? 3tan?tan?1?3tan? 2 3 33 半角公式：sintan ? 2 ? ?cs? 21?cs?1?cs? asinA 1?cs?sin?bsinB ? cs ct ? 2 ? 1?cs? 2 ? 2 1?cs?sin? 2 ? 2 ?c sin?1?cs? ? 2 ? 1?cs?1?cs? 2 ? sin?1?cs? 正弦定理：sinC 2R 余弦定理：c?a?b?2abcsC 反三角函数性质：arcsinx? ? 2 ?arccsx arctanx? ? 2 ?arcctx 高阶导数公式一 一莱布尼兹(L

52、eibniz ) 公式：n (uv)?u (n) ? ?C k?0 kn u (n?k) v (k) (n) v?nu (n?1) v? n(n?1)2! u (n?2) v n(n?1)?(n?k?1) k! u (n?k) v (k) ?uv (n) 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ?f?(?)F?(?)拉格朗日中值定理。 f(b)?f(a)F(b)?F(a)当F(x)?x时，柯西中值定理就是 曲率：弧微分公式：平均曲率：K? dss ?y?dx,其中y?tg? ?:从M点到M?点，切线斜率的倾角变 s d?ds y?(1?y?

53、) 2 3 2 化量；？s：MM?弧长。M点的曲率：直线：K?0; K?lim ?s?0 ?.半径为 a 的圆：K? 1a .定积分的近似计算：b 矩形法：f(x) ab ban (y0y1yn1)梯形法：f(x) a b ba1 (y0yn)y1yn1n2ba3n (y0?yn)?2(y2?y4yn?2)?4(y1?y3yn?1)抛物线法：f(x) a 定积分应用相关公式：功：Fs 水压力：F?p?A引力：F?k mlm2r 2 ,k为引力系数 函数的平均值：y? 1b?a b ?b?a a 1 b f(x)dx 均方根：a f(t)dt 2 空间解析几何和向量代数：空间2点的距离：向量在轴

54、上的投影：d?MlM 2 ? (x2?xl)?(y2?yl)?(z2?zl) 222 PrjuAB?cs?,?是 AB 与 u 轴的夹角。 Prju(al?a2)?Prjal?Prja2 a?b?a?bcs?axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cs?k , axbx?ayby?azbz ax?ay?az?bx?by?bz 2 2 2 2 2 2 i c?a?b?ax bx jayby az,c?a?bsin?. 例：线速度：bz aybycy azbzcz v?r. ax向量的混合积：abc?(a?b)?c?bxcx 代表平行六面体的体积。 ?a?b?ccs?,? 为锐角

55、时，平面的方程：1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 ，其中 n?A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1 d? Ax0?By0?Cz0?D A?B?C空间直线的方程：2 2 22、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：xx0mt xx0yy0zz0 t,其中 s?m,n,p;参数方程：yy0ntmnpzzpt 0 22 22二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面：xaxa 2222 xa 222 ? yb ? 2 zc ?1 xy 2p2q ?z (,p,q 同号)? ybyb 2222 ?

56、 zczc 2222 ?1 ?(马鞍面)1多元函数微分法及应用 全 微分：dz? ?z?xdx? ?z?y dy du? ?u?xdx? ?u?ydy? ?u?zdz 全微分的近 似计算：多元复合函数的求导法 ?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y： dz?z?u?z?v z?fu(t),v(t) dt?u?t?v?t?z?z?u?z?v z?fu(x,y),v(x,y)? ?x?u?x?v?x 当 u?u(x,y), v?v(x,y)时， du? ?u?xdx? ?u?y dy dv? ?v?xdx? ?v?ydy 隐函数的求导公式：FFFdydy?dy 隐函数 F(x,y)?0?x2?(?x) + (?x)? dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z 隐函数 F(x,y,z)?0? ?xFz?yFz 2