水文统计基本原理与方法ppt课件

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1、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值811第三章第三章 水文统计基本原理与方法水文统计基本原理与方法资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8123.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念一、水文统计一、水文统计 水文现象是自然现象的一种，在其发生和演水文现象是自然现象的一种，在其发生和演变过程中，包含着变过程中，包含着必然性必然性的一面，也包着的一面，也包着偶然性偶然性的一面。的一面。必然现象必然现象是在一定条件下，

2、必然出现或不出是在一定条件下，必然出现或不出现的现象。现的现象。偶然现象偶然现象是在一定条件下，可能出现是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，也称也可能不出现的现象，也称随机现象随机现象。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值813 随机现象随机现象所遵循的规律称为所遵循的规律称为统计规律统计规律，研究统计规律的学科称为研究统计规律的学科称为概率论概率论，而由随机，而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为量特征和规律的学科称为数理统计学数

3、理统计学。一些水文现象具有一定的随机性，用数一些水文现象具有一定的随机性，用数理统计方法来分析研究这些现象称为理统计方法来分析研究这些现象称为水文统水文统计学计学。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值814水文统计的基本任务水文统计的基本任务 利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并以此为基础，对其未来的长期变化作出概率意义以此为基础，对其未来的长期变化作出概率意义下的定量预估，为水利

4、工程的规划、设计、施工下的定量预估，为水利工程的规划、设计、施工和运行管理提供水文依据。和运行管理提供水文依据。譬如：譬如：某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行期间期间(未来未来100100年年)的径流和洪水的大小。但是，未来的径流和洪水的大小。但是，未来100100年的径流和洪水有多大？必须做出估计。年的径流和洪水有多大？必须做出估计。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值815水文统计的基本方法和内容水文统计的基本方法和内容根据已有的资料（样本），进行频率计算，

5、根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指定频率的水文特征值；推求指定频率的水文特征值；研究水文现象之间的统计关系，应用这种关研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、插补水文特征值和作水文预报。系延长、插补水文特征值和作水文预报。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值816水文统计对水文资料的要求：水文统计对水文资料的要求：1.1.可靠性可靠性 以实测水文数据为资料，一般可直接应用。以实测水文数据为资料，一般可直接应用。2.2.一致性一致性 指同一系列水文资料属于同一类型、同一条件下产指同一系列水文资

6、料属于同一类型、同一条件下产生的。如：日平均流量和月平均流量。生的。如：日平均流量和月平均流量。3.3.代表性代表性 水文统计分析是利用已知水文资料推求可能水文情水文统计分析是利用已知水文资料推求可能水文情势，资料实测系列越长，代表性越好。势，资料实测系列越长，代表性越好。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8173.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 二、事件与随机变量二、事件与随机变量 1.1.事件事件 事件是指随机试验的结果。事件是指随机试验的结果。必然事件：必然事件：如果可以断定某一事件在

7、试验中必然发生，如果可以断定某一事件在试验中必然发生，称此事件必然事件。称此事件必然事件。不可能事件：不可能事件：可以断定试验中不会发生的事件称为不可可以断定试验中不会发生的事件称为不可能事件。能事件。随机事件：随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发某种事件在试验结果中可以发生也可以不发生，这样的事件就称为随机事件。生，这样的事件就称为随机事件。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8183.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 二、事件与随机变量二、事件与随机变量 2.2.随机变量随机变量

8、 随机事件的每次试验结果可用一个变量随机事件的每次试验结果可用一个变量X的数的数值来表示，称为值来表示，称为随机变量随机变量。可分为。可分为离散型的离散型的和和连连续型的随机变量续型的随机变量两类。两类。水文现象中的随机变量指水文现象中的随机变量指水文特征值水文特征值，如流量，如流量，降雨量、水位等。降雨量、水位等。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值819连续型随机变量连续型随机变量在一定的概率区间内取得在一定的概率区间内取得任任何值何值。自记水位过程自记水位过程 Z(t)Z(t)t t 自记雨量过程自记

9、雨量过程 P(t)P(t)t t离散型随机变量离散型随机变量在一定的概率区间内取得某在一定的概率区间内取得某些些间断值间断值。年降雨量年降雨量X=x1，X=x2，X=xn-1，X=xn年径流量年径流量W=W1，W=W2，W=Wn-1，W=Wn资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81103.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 三、总体、个体与样本三、总体、个体与样本 将随机变量所能取值的全体称为将随机变量所能取值的全体称为总体。总体。总体中的总体中的一个单体称作一个单体称作个体个体。总体是所有个体的

10、集合。从总体。总体是所有个体的集合。从总体中随机抽取一部分个体称为中随机抽取一部分个体称为样本。样本。样本所含个体的数样本所含个体的数目称为目称为样本容量样本容量(大小大小)。水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列，水文变量的总体是指自古迄今以至未来的水文系列，现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。现有的水文观测系列可以当作总体的一个样本。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81113.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 四、概率与频率四、概率与频率 1.1.概率概率 随机事件随机事件A

11、在试验结果中可能出现也可能不出现，但其在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是出现可能性的大小的数量标准就是概率概率。古典概率表达式古典概率表达式()kP An古典概率古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。古典概率满足古典概率满足“随机等可能，独立同分布随机等可能，独立同分布”。资金是运动的价值，资金的价值是

12、随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81123.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 四、概率与频率四、概率与频率 2.2.频率频率 水文事件不属古典概型事件，只能通过试验来估算概率。水文事件不属古典概型事件，只能通过试验来估算概率。设事件设事件A在在次试验中出现了次试验中出现了k次，则称次，则称为事件为事件A的频率。的频率。()kW An 当当nn时，时，W W(A A)稳定并趋于概率值，概率论中和实践已严稳定并趋于概率值，概率论中和实践已严格证明。水文上，将计算的频率作为概率的近似值。格证明。水文上，将计算的频率作为概率的近

13、似值。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81133.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 五、随机变量概率分布五、随机变量概率分布 随机变量的取值随机变量的取值x与其概率与其概率P 的对应关系，称为随机变量的对应关系，称为随机变量的的概率分布概率分布。离散型的离散型的用随机变量的分布序列表示，即用随机变量的分布序列表示，即P（X=xi）=Pi （i=1,2,n）其概率分布满足两个条件：其概率分布满足两个条件：0Pi1，且，且，Pi=1连续型的连续型的用随机变量用随机变量X大于某值大于某值xp的概率

14、的概率p表示，即表示，即F(X)=P(Xxp)=p资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8114五、随机变量概率分布五、随机变量概率分布 水文学习惯研究事件水文学习惯研究事件Xx的概率及其分布。的概率及其分布。称称 F(X)=P(Xx)为随机变量的为随机变量的分布函数分布函数，代表随机变量大于，代表随机变量大于等于某一取值的概率。等于某一取值的概率。其几何图形称为随机变量的其几何图形称为随机变量的概率分布曲线概率分布曲线，也称作也称作水文频率曲线水文频率曲线或或累积频率曲线累积频率曲线。见后图。见后图（b）资

15、金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8115 0.20.40.60.81.0 1100 1000 900 800 700 P（X x x）x x某雨量站的年雨量分布曲线某雨量站的年雨量分布曲线（1 1）年雨量超过）年雨量超过900mm900mm的概率的概率 P P（X X900900）=0.2=0.2（2 2）年雨量小于）年雨量小于800mm800mm的概率的概率P P（X X800800）=0.52=0.52P P（X X800800）=1=1.52=0.48.52=0.48（3 3）P P（X Xx x）

16、=0.1=0.1的设计值的设计值x xx x=995mm=995mm（4 4）P P（X X x x）=0.1=0.1的设计值的设计值x xP P（X X x x）=1-0.1=0.9=1-0.1=0.9x x=720mm=720mm函数函数 f(x)F(x)dF(x)/dx为概率密度为概率密度函数，简称为函数，简称为密度函数或密度曲线密度函数或密度曲线。表示随机变量。表示随机变量落入区间的概率与区间长度之比值。落入区间的概率与区间长度之比值。f（x）xdx f（x）dx 概率密度函数概率密度函数 f（x）xxp F（xp）P（Xxp）密度函数密度函数xdxxfxXPxF)()()(xf（x）

17、F（x）xF（xP）P（XxP）xP F（xP）概率密度函数与分布函数关系概率密度函数与分布函数关系资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81203.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 六、累积频率与重现期六、累积频率与重现期 1.1.累积频率累积频率 可理解为等量值和超量值累积出现的次数可理解为等量值和超量值累积出现的次数(m)与总观与总观测次数测次数(n)之比值，以百分数或小数表示。之比值，以百分数或小数表示。实际工程规划和设计并不需要知道等于某一特征值的实际工程规划和设计并不需要知道等于某一特

18、征值的频率，而需要知道大于或等于某一特征值的频率，此即频率，而需要知道大于或等于某一特征值的频率，此即累累积频率积频率。()100%imP Xxn资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81213.1 3.1 水文统计基本概念水文统计基本概念 六、累积频率与重现期六、累积频率与重现期 2.2.重现期重现期 频率比较抽象，为便于理解，常采用频率比较抽象，为便于理解，常采用重现期重现期。所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现所谓重现期是指在许多试验中，某一事件重复出现的时间间隔的平均数。在水文中，重现期用字母

19、的时间间隔的平均数。在水文中，重现期用字母 T 表表示，一般以年为单位。示，一般以年为单位。在江河水利工程水文计算中，重现期是频率的倒数。在江河水利工程水文计算中，重现期是频率的倒数。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8122当研究当研究暴雨洪水问题暴雨洪水问题时时,P（Xx）是）是暴雨洪水暴雨洪水事件发生的频率，其重现期为事件发生的频率，其重现期为)(1xXPT例如，当暴雨或洪水频率为例如，当暴雨或洪水频率为1 1%时，重时，重现期现期T100100年，称此暴雨为百年一遇的暴年，称此暴雨为百年一遇的暴雨

20、或洪水。雨或洪水。一般设计频率一般设计频率P50%资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8124 所谓所谓百年一遇百年一遇的暴雨或洪水，是指的暴雨或洪水，是指大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期内平均内平均100年发生一次年发生一次，而不能认为每隔，而不能认为每隔100年必然遇上一次。年必然遇上一次。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81253.2 3.2 统计参数与抽样误差统计参数与抽样

21、误差 一、统计参数一、统计参数 概率分布曲线完整地刻画了随机变量的变化规概率分布曲线完整地刻画了随机变量的变化规律。但随机变量特别是水文随机变量，其概率分律。但随机变量特别是水文随机变量，其概率分布的确定是十分困难的。实际上，我们有时仅需布的确定是十分困难的。实际上，我们有时仅需要知道它的一些数字特征即要知道它的一些数字特征即统计参数统计参数就足够了。就足够了。水文水利计算中常用离散特征参数水文水利计算中常用离散特征参数(均值、均方均值、均方差、变差系数、偏态系数差、变差系数、偏态系数等等)。对水文随机变量，设有实测系列值：对水文随机变量，设有实测系列值：x1,x2,x3,xn，则，则n1ii

22、n21xn1nxxxx1.1.均值均值2.2.均方差均方差n)xx(n1i2i 意义：意义：为系列值分布的中心，表示对象的平均情况，为系列值分布的中心，表示对象的平均情况，即总体水平的高低。即总体水平的高低。意义：意义：表示分布函数的绝对离散程度。均方差越大，表示分布函数的绝对离散程度。均方差越大，分布函数越分散，其值变化幅度越大；反之，亦然。分布函数越分散，其值变化幅度越大；反之，亦然。均方差对频率曲线的影响均方差对频率曲线的影响1 2 2 1f（x）x3.3.变差系数变差系数 意义：意义：表示分布函数的相对离散程度。表示分布函数的相对离散程度。Cv越大，越大，分布函数越分散；反之，亦然。分

23、布函数越分散；反之，亦然。2211()(1)1nniiiivxxKCxxnn式中：式中：为模比系数。为模比系数。iixKx例例1.1.计算均方差并比较它们的离散程度。计算均方差并比较它们的离散程度。序列序列1 1：5 5，1010，15 15 序列序列2 2：1 1，1010，19 19 例例2.2.计算变差系数（计算变差系数（CvCv）并比较它们的离散程度。）并比较它们的离散程度。序列序列1 1：5 5，1010，15 15 序列序列2 2：995995，10001000，10051005答案：答案：1 1：1 1=4.08 =4.08 2 2=7.35=7.35 2 2：X X1 1=10

24、 =10 1 1=4.08 Cv=4.08 Cv1 1=0.48=0.48 X X2 2=1000 =1000 2 2=4.08 Cv=4.08 Cv2 2=0.0048=0.0048 4.4.偏态系数偏态系数 意义：意义：表示分布函数的对称程度。表示分布函数的对称程度。Cs=0分布函数分布函数对称对称；随机变量大于均值与小于；随机变量大于均值与小于均值出现机会相等均值出现机会相等 Cs00分布函数分布函数正偏正偏；随机变量大于均值比小于；随机变量大于均值比小于均值出现的机会小均值出现的机会小 Cs00分布函数分布函数负偏负偏；随机变量大于均值比小于；随机变量大于均值比小于均值出现的机会大均值

25、出现的机会大331133()(1)nniiiisvxxKCnnCCs 0Cs0Cs 0Cs 对密度曲线的影响对密度曲线的影响 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81323.2 3.2 统计参数与抽样误差统计参数与抽样误差 二、抽样误差二、抽样误差 用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数用一个样本的统计参数来估计总体的统计参数是存在误差的，称之为是存在误差的，称之为抽样误差抽样误差。这种误差是由。这种误差是由于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的。的。样本抽

26、样误差的均方值称为样本抽样误差的均方值称为均方误均方误，是衡量抽，是衡量抽样误差的大小的常用指标样误差的大小的常用指标。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8133皮尔逊皮尔逊型分布参数矩法估计的均方误公式：型分布参数矩法估计的均方误公式：42222165231(62432124312SSCsSVSvvCvsXCCnCCCcnCcnn绝绝 对对 误误 差差样本参数的均方误（相对误差，样本参数的均方误（相对误差，%）由表中可见，当由表中可见，当n100时，时，CS的误差在的误差在40126%之间。之间。水文资

27、料一般都很短（水文资料一般都很短（n100），按矩法公式算得的），按矩法公式算得的CS值，值，抽样误差太大。抽样误差太大。EX C V C S 参数 n Cv 100 50 25 10 100 50 25 10 100 50 25 10 0 1 1 1 2 3 7 50 14 22 126 178 252 390 0 3 3 4 6 10 7 10 15 23 51 72 102 162 0 5 5 7 10 12 8 11 16 25 41 58 82 130 0 7 7 10 14 22 9 12 17 27 40 56 80 126 1 0 10 14 20 23 10 14 20 32

28、 42 60 85 134 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81353.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 一、经验频率及其计算公式一、经验频率及其计算公式 1.1.经验频率经验频率 用根据水文实测系列用根据水文实测系列(样本样本)计算出来的计算出来的频率分布近似代替总体概率分布，这种意义频率分布近似代替总体概率分布，这种意义上的累积频率称为上的累积频率称为经验经验(累积累积)频率频率。x 1200 1000 800 0 20 40 60 80 100 W（%）某地年降雨量

29、经验频率曲线某地年降雨量经验频率曲线P（X xi）m/n资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81373.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 一、经验频率及其计算公式一、经验频率及其计算公式 2.2.经验频率计算公式经验频率计算公式 如果用如果用P（Xxi）m/n 的经验分布曲线估计总体分布的经验分布曲线估计总体分布曲线，存在不合理现象。曲线，存在不合理现象。当当mn时，最末项的频率为时，最末项的频率为100%，样本末项值为总体中的最小值，不符合事实。样本末项值为总体中的最小值，

30、不符合事实。水文上用水文上用数学数学期望公式期望公式(维泊尔公式维泊尔公式)估计频率：估计频率：()100%1imP Xxn式中：式中：P为大于等于为大于等于xi的经验的经验频率；频率；m为水文变量从大至小为水文变量从大至小排列的序号；排列的序号；n为样本容量。为样本容量。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81383.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 二、经验频率曲线二、经验频率曲线 1.1.经验频率曲线的绘制：经验频率曲线的绘制：1）将实测水文数据列表，并由大到小，重新排

31、序；将实测水文数据列表，并由大到小，重新排序；2）根据经验频率公式计算经验频率；根据经验频率公式计算经验频率；3）以实测水文变量以实测水文变量xi为纵坐标，经验频率为纵坐标，经验频率Pi为横坐标，为横坐标，在概率格纸在概率格纸(或普通坐标上或普通坐标上)上点绘经验频率点，然后用上点绘经验频率点，然后用目估法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线；目估法过经验频率点群绘制一条光滑的曲线；4）根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变根据工程设计标准，在曲线上查出所对应的水文变量值。量值。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金

32、的时间价值8139资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8140正态分布频率曲线：正态分布频率曲线：纵横坐标均匀划分，在纵横坐标均匀划分，在50对称的对称的S形曲线形曲线；P-III型概率格纸：型概率格纸：将横坐标按标准正态频率曲线转换成将横坐标按标准正态频率曲线转换成“中间较密，两端中间较密，两端稀疏稀疏”不均匀划分，在不均匀划分，在50对称的直线对称的直线。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81413.3 3.3 经

33、验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 二、经验频率曲线二、经验频率曲线 2.2.经验频率曲线的延长经验频率曲线的延长 问题：问题：一般实测河流径流量一般实测河流径流量n100年，最多推求百年一年，最多推求百年一遇的洪峰量，若推求遇的洪峰量，若推求0.1%、0.01%频率下的洪峰量，则频率下的洪峰量，则运用经验累积曲线外延人为性太大，误差大。运用经验累积曲线外延人为性太大，误差大。解决办法：解决办法：理论频率公式用实测数据拟合理论频率曲理论频率公式用实测数据拟合理论频率曲线，然后运用理论频率公式外推。常用的有线，然后运用理论频率公式外推。常用的有皮尔逊皮尔逊III型公式。型公式。资

34、金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81423.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 三、理论频率曲线三、理论频率曲线 1.1.曲线的数学方程式及其特点曲线的数学方程式及其特点 )(10)()()(oaxaaeaxxf皮皮尔逊尔逊型曲线（见图）为一端有限一端无限的型曲线（见图）为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数不对称单峰曲线，概率密度函数式中，参数式中，参数，a0 0，且有：，且有：24sC2vsxC C02(1)vsCaxCf（x）x 皮皮尔逊尔逊型曲线型曲线)(1

35、0)()()(oaxaaeaxxf资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8144皮皮尔逊尔逊型型分布的积分无解析解，实用分布的积分无解析解，实用中制表查用。中制表查用。已知已知x、CV、CS，由由f(x)推求推求F(x)0()10()()()()px apxF xP x xxaedx资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8145被积函数只含一个参数被积函数只含一个参数CS。只要给定。只要给定CS就可就可以算出以算出P和和p的

36、对应值，最终制定出的对应值，最终制定出PCsp 的对应数值表。的对应数值表。pdCfPxXPspp),()()(xCvxxpp)1(vppCxx取标准化变量取标准化变量（离均系数）（离均系数）0 0.1 1 1 1 5 5 1 10 0 2 20 0 5 50 0 8 80 0 9 90 0 9 95 5 9 99 9 0 0 3 3.0 09 9 2 2.3 33 3 1 1.6 64 4 1 1.2 28 8 0 0.8 84 4 0 0.0 00 0 -0 0.8 84 4 -1 1.2 28 8 -1 1.6 64 4 -2 2.3 33 3 0 0.5 5 3 3.8 81 1 2

37、2.6 68 8 1 1.7 77 7 1 1.3 32 2 0 0.8 81 1 -0 0.0 08 8 -0 0.8 85 5 -1 1.2 22 2 -1 1.4 49 9 -1 1.9 96 6 1 1.0 0 4 4.5 53 3 3 3.0 02 2 1 1.8 88 8 1 1.3 34 4 0 0.7 76 6 -0 0.1 16 6 -0 0.8 85 5 -1 1.1 13 3 -1 1.3 32 2 -1 1.5 59 9 1 1.5 5 5 5.2 23 3 3 3.3 33 3 1 1.9 95 5 1 1.3 33 3 0 0.6 69 9 -0 0.2 24 4

38、-0 0.8 82 2 -1 1.0 02 2 -1 1.1 13 3 -1 1.2 26 6 P(%)Cs【例】【例】已知某地年平均雨量已知某地年平均雨量EX1000mm、CV 0.5、CS1.0，求，求p1%的设计年雨量。的设计年雨量。由由CS1.0，p1%查得查得 P3.02x1%（P Cv1）x（3.020.51）1000 2510（mm）资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81473.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线 三、理论频率曲线三、理论频率曲线 2.2.理论频

39、率曲线的绘制理论频率曲线的绘制 给定给定P和和Cs，从，从值表查得值表查得p，再将已知的，再将已知的 x 和和Cv代入式代入式即可求出相应的即可求出相应的xp 值。取不同的值。取不同的P值，从而可绘出理值，从而可绘出理论频率曲线。论频率曲线。)1(vppCxx资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81483.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线四、统计参数对频率曲线形状的影响四、统计参数对频率曲线形状的影响 为了避免配线时调整参数的盲目性，必须为了避免配线时调整参数的盲目性，必须了

40、解皮尔逊了解皮尔逊型分布的统计参数对频率曲线的型分布的统计参数对频率曲线的影响。影响。固定皮尔逊固定皮尔逊型频率曲线的两个参数，改型频率曲线的两个参数，改变第三个统计参数，可以使频率曲线发生很大变第三个统计参数，可以使频率曲线发生很大的变化。的变化。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81493.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线1.均值均值x的影响的影响当当Cv、Cs相同时，相同时，均值大的曲线位于均均值大的曲线位于均值小的曲线之上；均值小的曲线之上；均值大的曲线较均值小值大

41、的曲线较均值小的曲线陡。的曲线陡。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81503.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线2.变差系数变差系数Cv的影响的影响 为消除均值影响，用为消除均值影响，用模比系数模比系数K为纵坐标绘制为纵坐标绘制频率曲线。当频率曲线。当Cv0时，时，K1，频率曲线为一条水，频率曲线为一条水平线；且平线；且Cv越大，频率曲越大，频率曲线越陡。线越陡。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资

42、金的时间价值81513.3 3.3 经验频率曲线与理论频率曲线经验频率曲线与理论频率曲线3.偏态系数偏态系数Cs的影响的影响 正偏情况下，当正偏情况下，当Cv相相同时，同时，Cs越大，频率曲越大，频率曲线中部向左偏，上部越线中部向左偏，上部越陡，下部变平缓。陡，下部变平缓。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81523.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法 一、统计参数初估方法一、统计参数初估方法 水文频率分析计算中，常将水文频率分析计算中，常将EX，Cv，Cs的估的估值式称为值式称为矩法公式矩法公

43、式，但由于具有抽样误差，还不，但由于具有抽样误差，还不能作为总体统计参数。在水文频率计算能作为总体统计参数。在水文频率计算(xp)中，常中，常以矩法估计值作为初估值，采用适线法确定。以矩法估计值作为初估值，采用适线法确定。参数初估方法包括：矩法、经验关系法、三点参数初估方法包括：矩法、经验关系法、三点法、权函数法和概率权重法。法、权函数法和概率权重法。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81533.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法一、统计参数初估方法一、统计参数初估方法1.矩法矩法 矩法是用样本

44、矩估计总体矩，并通过矩和参数之间矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。一阶原点矩一阶原点矩的计算式就是的计算式就是均值均值，均方差，均方差的计算式的计算式为为二阶中心矩开方二阶中心矩开方，偏态系数，偏态系数Cs计算式中的分子则为计算式中的分子则为三阶中心矩三阶中心矩。由此，得到计算参数的公式。前述各系。由此，得到计算参数的公式。前述各系数的无偏估计值式称为数的无偏估计值式称为矩法公式矩法公式。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价

45、值81543.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法一、统计参数初估方法一、统计参数初估方法2.权函数法权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计参数，产生当样本容量较小时，用矩法估计参数，产生一定的计算误差，其中尤以一定的计算误差，其中尤以 Cs的计算误差较大。的计算误差较大。为提高为提高Cs计算精度，近年来提出了不少方法，计算精度，近年来提出了不少方法，其中以其中以 权函数法比较有效。权函数法比较有效。（马秀峰于（马秀峰于1984年年提出）提出）资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81553.4 3.

46、4 水文频率计算方法水文频率计算方法 二、适线法二、适线法原理：原理：根据经验频率点据，找出配合最佳之频根据经验频率点据，找出配合最佳之频率曲线，相应的分布参数为总体分布参数的估率曲线，相应的分布参数为总体分布参数的估计值。计值。分为分为目估适线法目估适线法（简称适线法）和（简称适线法）和优化适线优化适线法法。（1 1）绘制经验点据绘制经验点据 将实测资料由大到小排列，将实测资料由大到小排列，计算各随机变量的经验频率，点绘于概率格纸上计算各随机变量的经验频率，点绘于概率格纸上(纵纵坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率)；（2 2）初估统计初估统计参数参数

47、 用矩法公式的估算用矩法公式的估算EX和和CV，并假定，并假定CS与与CV的比值的比值K估算估算CS；（3）选定理论频率曲线线型选定理论频率曲线线型 一般选用皮尔逊一般选用皮尔逊型曲线；型曲线；目估适线法计算步骤：目估适线法计算步骤：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8158 （4）计算频率曲线计算频率曲线 根据假定的均值、根据假定的均值、Cv、Cs，查皮尔逊查皮尔逊型曲线离均系数型曲线离均系数值表值表(附表附表B),得到对应得到对应频率频率Pi的的Pi值；按前式列表计算值；按前式列表计算xPi，得到计算

48、理论，得到计算理论频率曲线的纵坐标；频率曲线的纵坐标；（5）目估适线目估适线 将理论频率曲线画在绘有经验点将理论频率曲线画在绘有经验点据的图上，若两者相吻合，则统计参数即为对总体据的图上，若两者相吻合，则统计参数即为对总体的估计值，从图上可查出设计频率的水文特征值；的估计值，从图上可查出设计频率的水文特征值；否则调整参数，重新适线。否则调整参数，重新适线。目估适线法计算步骤：目估适线法计算步骤：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8159 【例】【例】某站共有实测降水量资料某站共有实测降水量资料2424年年

49、(见见表表)，求，求频率为频率为10%和和90%的年降水量的年降水量。1.将原始资按大小次序排列，列入表将原始资按大小次序排列，列入表(4)栏。栏。计算步骤：计算步骤：2.计算经验频率计算经验频率Pm=m/(n+1)列入表列入表(5)栏，栏，并与并与xm 对应点绘于概率格纸上。对应点绘于概率格纸上。年年 份份 x x（m m m m）m m X Xm m m m/(n n+1 1)%(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)(5 5)5 5 6 6 5 5 7 7 5 5 8 8 .5 5 9 9 1 1 9 9 6 6 0 0 6 6 1 1 6 6 2 2 6 6 3 3 6 6 4 4 6

50、 6 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 6 6 8 8 6 6 9 9 1 1 9 9 7 7 0 0 7 7 1 1 7 7 2 2 7 7 3 3 7 7 4 4 7 7 5 5 7 7 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 7 7 9 9 5 5 3 3 8 8.3 3 6 6 2 2 4 4.9 9 6 6 6 6 3 3.2 2 5 5 1 1 9 9.7 7 5 5 5 5 7 7.2 2 9 9 9 9 8 8.0 0 6 6 4 4 1 1.5 5 3 3 4 4 1 1.1 1 9 9 6 6 4 4.2 2 6 6 8 8 7 7.3 3 5 5 4 4 6 6.7

51、 7 5 5 0 0 9 9.9 9 7 7 6 6 9 9.2 2 6 6 1 1 5 5.5 5 4 4 1 1 7 7.1 1 7 7 8 8 9 9.3 3 7 7 3 3 2 2.0 0 1 1 0 0 6 6 4 4.5 5 6 6 0 0 6 6.7 7 5 5 8 8 6 6.7 7 5 5 6 6 7 7.4 4 5 5 8 8 7 7.7 7 7 7 0 0 9 9.0 0 8 8 8 8 3 3.5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 5 5 1

52、 1 6 6 1 1 7 7 1 1 8 8 1 1 9 9 2 2 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 0 0 6 6 4 4.5 5 9 9 9 9 8 8.0 0 9 9 6 6 4 4.2 2 8 8 8 8 3 3.5 5 7 7 8 8 9 9.3 3 7 7 6 6 9 9.2 2 7 7 3 3 2 2.9 9 7 7 0 0 9 9.0 0 6 6 8 8 7 7.3 3 6 6 6 6 3 3.2 2 6 6 4 4 1 1.5 5 6 6 2 2 4 4.9 9 6 6 1 1 5 5.5 5 6 6 0 0 6 6.7 7 5

53、 5 9 9 1 1.7 7 5 5 8 8 7 7.7 7.5 5 8 8 6 6.7 7 5 5 6 6 7 7.4 4 5 5 5 5 7 7.2 2 5 5 4 4 6 6.7 7 5 5 3 3 8 8.3 3 5 5 0 0 9 9.9 9 4 4 1 1 7 7.1 1 3 3 4 4 1 1.1 1 4 4 8 8 1 1 2 2 1 1 6 6 2 2 0 0 2 2 4 4 2 2 8 8 3 3 2 2 3 3 6 6 4 4 0 0 4 4 4 4 4 4 8 8 5 5 2 2 5 5 6 6 6 6 0 0 6 6 4 4 6 6 8 8 7 7 2 2 7 7 6

54、 6 8 8 0 0 8 8 4 4 8 8 8 8 9 9 2 2 9 9 6 6 某某站站年年降降水水量量频频率率计计算算表表 3.3.用矩法计算系列的多年平均降水量用矩法计算系列的多年平均降水量和离差系数。和离差系数。mmxnxni4.666241599351123.04.666)124/(708165)(1112xxxnCniiv4.选定选定CV0.25，假定假定CS0.50。查表得。查表得P，求得，求得 xP（PCV1）第第一一次次配配线线 X X=6 66 66 6.4 4 C CV V=0 0.2 25 5 C CS S=2 2C CV V=0 0.5 50 0 频频率率 P P

55、 （%）P P x xP P (1 1)(2 2)(3 3)1 1 2 2.6 68 8 1 11 11 13 3 5 5 1 1.7 77 7 9 96 61 1 1 10 0 1 1.3 32 2 8 88 86 6 2 20 0 0 0.8 81 1 8 80 01 1 5 50 0 -0 0.0 08 8 6 65 53 3 7 75 5 -0 0.7 71 1 5 54 48 8 9 90 0 -1 1.2 22 2 4 46 63 3 9 95 5 -1 1.4 49 9 4 41 18 8 9 99 9 -1 1.9 95 5 3 34 42 2 x根据表中（根据表中（1）、）、

56、（3）两栏的对应数值）两栏的对应数值点绘曲线，发现曲线头点绘曲线，发现曲线头部和尾部都偏于经验频部和尾部都偏于经验频率点据之下。率点据之下。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8163第第二二次次配配线线 X X=6 66 66 6.4 4 C CV V=0 0.3 30 0 C CS S=2 2.5 5C CV V=0 0.7 75 5 频频率率 P P （%）P P x xP P (1 1)(4 4)(5 5)1 1 2 2.8 86 6 1 12 23 38 8 5 5 1 1.8 83 3 1 10

57、 03 32 2 1 10 0 1 1.3 34 4 9 93 34 4 2 20 0 0 0.7 78 8 8 82 22 2 5 50 0 -0 0.1 12 2 6 64 42 2 7 75 5 -0 0.7 72 2 5 52 22 2 9 90 0 -1 1.1 18 8 4 43 30 0 9 95 5 -1 1.4 40 0 3 38 87 7 9 99 9 -1 1.7 78 8 3 31 11 1 5.改变参数，选定改变参数，选定CV0.30，CS0.75，查表计算出各查表计算出各xP值。值。绘制频率曲线，该绘制频率曲线，该线与经验点据配合较好，线与经验点据配合较好，取为最后

58、采用的频率曲取为最后采用的频率曲线。线。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8165P P10%10%=933mm=933mm P P90%90%=433mm433mm 适线法得到的成仍具有适线法得到的成仍具有抽样误差抽样误差，而这，而这种误差目前还难以精确估算，因此对于工程种误差目前还难以精确估算，因此对于工程上最终采用的频率曲线及相应的统计参数，上最终采用的频率曲线及相应的统计参数，不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结合水文现象的物理成因及地区规律进行综结合水文

59、现象的物理成因及地区规律进行综合分析。合分析。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81673.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法 三、优化适线法三、优化适线法 优化适线法优化适线法是在一定的适线准则（即目标函数）下，是在一定的适线准则（即目标函数）下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方法。求解与经验点据拟合最优的频率曲线的统计参数的方法。优化适线法按不同的适线准则分为三种，即优化适线法按不同的适线准则分为三种，即 离差平方和最小准则（离差平方和最小准则（OLS）离差绝对值和最小准则（离

60、差绝对值和最小准则（ABS）其中以离差平方和最小准则（其中以离差平方和最小准则（OLS）最为常用。）最为常用。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81683.4 3.4 水文频率计算方法水文频率计算方法 离差平方和准则的适线法又称离差平方和准则的适线法又称最小二乘估计法最小二乘估计法。频。频率曲线统计参数的最小二乘估计是率曲线统计参数的最小二乘估计是使经验点据和同频使经验点据和同频率的频率曲线纵坐标之差的平方和达到极小率的频率曲线纵坐标之差的平方和达到极小。对于皮尔逊对于皮尔逊型曲线，使下列目标函数型曲线，

61、使下列目标函数 取极小值，即取极小值，即 式中式中 参数（参数（EX，Cv，Cs）；）；参数参数的最小二乘估计；的最小二乘估计；f（Pi，）频率曲线的纵坐标。频率曲线的纵坐标。21()(,)niiiSxf P()min()SS资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81693.5 3.5 相关分析相关分析 一、概述一、概述1.相关现象广泛存在相关现象广泛存在 2.研究两个或多个随机变量之间的联系。例如：研究两个或多个随机变量之间的联系。例如：P R ZQ。3.相关分析在水文上的应用相关分析在水文上的应用 a.水

62、文预报；水文预报；b.水文资料查补延长水文资料查补延长 注意：注意：必须先分析变量在成因上是否有联系。必须先分析变量在成因上是否有联系。4.两个变量间的关系有三种情况两个变量间的关系有三种情况 a.完全相关（函数关系）（右图）完全相关（函数关系）（右图）b.零相关（相互独立）零相关（相互独立）c.相关关系（统计相关）相关关系（统计相关）简相关简相关：研究两个变量之间的相关关系，在水文计算中：研究两个变量之间的相关关系，在水文计算中应用较多。应用较多。复相关复相关：研究：研究3个或个或3个以上变量的相关关系，在水文预个以上变量的相关关系，在水文预报中应用较多报中应用较多 也可分为：也可分为：直线

63、相关直线相关和和非直线相关非直线相关。如上图所示。如上图所示。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值81713.5 3.5 相关分析相关分析 二、线性相关二、线性相关 1.1.直线回归方程直线回归方程 将将(xi，yi)点绘在方格纸上，根据点群分布趋势配线点绘在方格纸上，根据点群分布趋势配线型。若点群分布近似直线，该直线回归方程可表示为型。若点群分布近似直线，该直线回归方程可表示为y=a+bx (1)(1)图解法图解法 通过目测确定出相关直线的方法。图上量出截距通过目测确定出相关直线的方法。图上量出截距a和斜

64、率和斜率b。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8172【例】：【例】：用相关图解法作出下表中降雨与用相关图解法作出下表中降雨与径流的相关直线径流的相关直线(2)相关分析法相关分析法 若点较分散，则采用该法对参数若点较分散，则采用该法对参数 a、b进行估计进行估计。采用最小二乘法采用最小二乘法(LSM)估计。观测点与配合的直线在纵轴估计。观测点与配合的直线在纵轴方向的离差为：方向的离差为：要使直线拟合要使直线拟合“最佳最佳”，须使离差，须使离差yi的平方和为的平方和为“最小最小”，即使即使 为极小值。为极小

65、值。欲使上式取得极小值，可分别对欲使上式取得极小值，可分别对 a 和和 b 求一阶导数，并使其求一阶导数，并使其等于零，即令等于零，即令:iiiibxayyyyniiiniiiniibxayyyy121212)()(21()0niiiyabxa21()0niiiyabxbxyniiniiirxxyyxxb121)()(yxaybxyrx式中，式中，r为相关系数，表示为相关系数，表示x、y间关系的密切程度。间关系的密切程度。niniyxniyxniniiiniiiiiiiKKKKyyxxyyxxr1122111221)1()1()1)(1()()()(yyKxxKiyixii ,niiniiyn

66、yxnx111,11)(,1)(1212nyynxxniiyniix将将a、b代入代入y=a+bx，得：，得：其中，其中，为回归线的斜率，称为为回归线的斜率，称为y倚倚x的回归系数，的回归系数，记为记为 ，即，即 2.回归方程的误差回归方程的误差 y倚倚x的回归线的均方误：的回归线的均方误：)(xxryyxyxyry xRxyxyrR2)(2nyySiiy21rSyyy倚倚x回归线的误差范围回归线的误差范围 3.相关系数及其误差相关系数及其误差 (1)相关系数：相关系数：r2=1，y与与x完全相关完全相关；r2=0，y与与x零相关或非零相关或非直线相关直线相关；0r2 0，正相关；，正相关；r 0.8，且，且Sy (10%15%)y；（4）水文统计分析通常取）水文统计分析通常取=0.05或或0.01，做显，做显著性检验。著性检验。三、曲线相关三、曲线相关(1)幂函数幂函数 y=axb (2)指数函数指数函数 y=aebx 两边取对数，并令两边取对数，并令Y=lgy，A=lga，B=blge，X=x，则有：，则有：Y=A+BX 两边取对数，并令两边取对数，并令Y=lgy，A=lga，X=